Презентация Динамическое программирование. Примеры задач онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Динамическое программирование. Примеры задач абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 46 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:46 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:803.00 kB
- Просмотров:56
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Динамическое программирование. Примеры задач
Федор Царев
Спецкурс «Олимпиадное программирование»
Лекция 5
№2 слайд
Содержание слайда: Цель лекции
Изучить еще несколько примеров задач, решаемых с помощью динамического программирования, и их решения
№3 слайд
Содержание слайда: Признаки возможности применения ДП
Возможность разбиения задачи на подзадачи (метод «разделяй-и-властвуй»)
Наличие свойства оптимальности для подзадач – оптимальный ответ для большой задачи строится на основе оптимальных ответов для меньших
Наличие перекрывающихся подзадач
№4 слайд
Содержание слайда: Этапы решения задачи методом динамического программирования
Разбиение задачи на подзадачи
Построение рекуррентной формулы для вычисления значения функции (включая начальные условия)
Вычисление значения функции для всех подзадач (важен порядок вычисления)
Восстановление структуры оптимального ответа
№5 слайд
Содержание слайда: Наибольшая возрастающая подпоследовательность
Задана последовательность чисел a1, a2, …, an
Необходимо найти возрастающую подпоследовательность наибольшей длины
1 5 3 7 1 4 10 15
№6 слайд
Содержание слайда: Перебор?
Число различных подпоследовательностей: (2n – 1)
Можно применять для n ≤ 20
№7 слайд
Содержание слайда: Разбиение на подзадачи
Идея: найти наибольшую возрастающую подпоследовательность среди первых i элементов: a1, a2, …, ai
Попробуйте построить рекуррентную формулу
Более точно: найти наибольшую возрастающую подпоследовательность среди первых i элементов: a1, a2, …, ai, последний элемент в которой - ai
№8 слайд
Содержание слайда: Рекуррентная формула
d[i] – длина наибольшей возрастающей подпоследовательности, которая заканчивается в ai
№9 слайд
Содержание слайда: Начальные условия
Можно сделать немного проще
Считаем, что в начало добавлен a0=–∞, а d[0] = 0
Теперь можно не делать никаких предположений, так как всегда найдется некоторый индекс j
№10 слайд
Содержание слайда: Пример (1)
№11 слайд
Содержание слайда: Пример (2)
№12 слайд
Содержание слайда: Пример (3)
№13 слайд
Содержание слайда: Пример (4)
№14 слайд
Содержание слайда: Пример (5)
№15 слайд
Содержание слайда: Пример (6)
№16 слайд
Содержание слайда: Пример (7)
№17 слайд
Содержание слайда: Пример (8)
№18 слайд
Содержание слайда: Пример (9)
№19 слайд
Содержание слайда: Программа
d[0] := 0;
for i := 1 to n do begin
max := 0;
for j := 1 to i – 1 do begin
if (a[j] < a[i]) and
(d[j] > max) then begin
max := d[j];
end;
end;
d[i] := max + 1;
end;
№20 слайд
Содержание слайда: Восстановление ответа
Где находится длина L наибольшей возрастающей подпоследовательности?
№21 слайд
Содержание слайда: Вычисление с сохранением информации для восстановления ответа
d[0] := 0;
prev[0] := -1;
for i := 1 to n do begin
max := 0;
bestj := -1;
for j := 1 to i – 1 do begin
if (a[j] < a[i]) and
(d[j] > max) then begin
max := d[j];
bestj := j;
end;
end;
d[i] := max + 1;
prev[i] := bestj;
end;
№22 слайд
Содержание слайда: Восстановление ответа
procedure restore(i : integer);
begin
if (i > 0) then begin
restore(prev[i]);
write(a[i]);
end;
end;
№23 слайд
Содержание слайда: Пример
№24 слайд
Содержание слайда: Время работы
Время работы этого алгоритма – O(n2)
Можно ли быстрее?
№25 слайд
Содержание слайда: Более быстрый алгоритм
Похоже, что от вычисления d[i] никуда не деться
Попробуем вычислять d[i] быстрее
Пусть last[i] – минимальное последнее число в возрастающей подпоследовательности длины i
№26 слайд
Содержание слайда: Свойство массива last
Этот массив является неубывающим
Действительно, пусть i < j, но last[i] > last[j]
Из подпоследовательности длины i можно сделать подпоследовательность длины j, поэтому last[j] ≤ last[i] (last[j] – минимальный, last[i] – некоторый)
№27 слайд
Содержание слайда: Вычисление d[i]
Находим место в массиве last, на которое следует поставить a[i] – такую позицию j, что last[j-1] < a[i] ≤ last[j]
Это означает, что максимальная длина подпоследовательности, которая заканчивается в a[i] есть j (d[i] = j)
Позицию j надо искать с помощью двоичного поиска
Время работы алгоритма – O(nlogn)
№28 слайд
Содержание слайда: Упражнения
Продумать, как сохранять информацию для восстановления ответа
Реализовать этот алгоритм
№29 слайд
Содержание слайда: Задача о рюкзаке
Есть рюкзак вместимостью W и n предметов, каждый из которых характеризуется ценностью pi и весом wi
Необходимо выбрать несколько предметов так, чтобы их суммарная ценность была максимальна, а суммарный вес не превышал W
№30 слайд
Содержание слайда: Разбиение на подзадачи
Два параметра – число обработанных предметов и вместимость рюкзака
c[i][j] – максимальная суммарная стоимость, которую можно набрать первыми i предметами так, чтобы их вес не превосходил j
№31 слайд
Содержание слайда: Рекуррентная формула
№32 слайд
Содержание слайда: Начальные условия
c[0][j] = 0 для j=0…W
c[i][0] = 0 для i=0…n
№33 слайд
Содержание слайда: Два способа реализации
Метод заполнения таблицы можно реализовать двумя способами
«Динамика назад» (этот метод использовался во всех рассмотренных задачах)
«Динамика вперед»
№34 слайд
Содержание слайда: «Динамика вперед»
for i := 0 to n do begin
for j := 0 to W do begin
c[i][j] := -INF;
end;
end;
for i := 0 to n – 1 do begin
for j := 0 to W do begin
if (c[i][j] = -INF) then continue;
c[i+1][j]:=max(c[i][j], c[i+1][j]);
if (j + w[i + 1] <= W) then begin
c[i + 1][j + w[i + 1]] = max(c[i][j] + p[i+1],
c[i + 1][j + w[i + 1]]);
end;
end;
end;
№35 слайд
Содержание слайда: Восстановление ответа
Необходимо запоминать для каждого состояния (i, j) надо ли брать очередной предмет
Реализуйте сами!
№36 слайд
Содержание слайда: Время работы алгоритма
Время работы этого алгоритма – O(nW)
Таким образом, он применим только для относительно небольших значений весов предметов
№37 слайд
Содержание слайда: Упражнения
Решите задачу о рюкзаке для случая, когда имеется неограниченное число предметов каждого типа
Решите задачу о рюкзаке для случая, когда предметы можно брать не полностью (не золотые слитки, а золотой песок)
Решите смешанную задачу о рюкзаке – часть предметов можно брать только полностью, а остальные – можно и не полностью
№38 слайд
Содержание слайда: Оптимальная триангуляция многоугольника
Задан выпуклый многоугольник
Необходимо разбить его на треугольники, проведя несколько диагоналей
Суммарный периметр треугольников должен быть как можно меньшим
Кстати, сколько придется провести диагоналей, если в многоугольнике N углов?
№39 слайд
Содержание слайда: Нумерация вершин многоугольника
Вершины (n+1)-угольника нумеруются числами от 0 до n
При этом когда говорится о вершине «номер k» имеется в виду вершина «номер k mod n» (то есть vn=v0, …)
№40 слайд
Содержание слайда: Разбиение на подзадачи
После вырезания одного треугольника, многоугольника распадается на два, которые можно рассматривать отдельно
№41 слайд
Содержание слайда: Строение оптимального решения
Рассмотрим оптимальную триангуляцию заданного (n+1)-угольника v0,v1, …, vn
Ребро v0vn входит в некоторый треугольник
Пусть это треугольник v0vnvk
Тогда стоимость триангуляции равна
Стоимость этого треугольника +
Стоимость триангуляции v0, v1, …, vk +
Стоимость триангуляции vk, vk+1, …, vn
№42 слайд
Содержание слайда: Рекуррентная формула
d[i][j] – минимальная стоимость триангуляции многоугольника vi-1…vj (1≤i<j≤n)
Ответ находится в d[1][n]
№43 слайд
Содержание слайда: Восстановление ответа
Для каждой подзадачи необходимо запомнить оптимальное значение числа k
Реализуйте самостоятельно!
№44 слайд
Содержание слайда: Упражнения
Пусть стоимостью треугольника считается его площадь. Как найти оптимальную триангуляцию?
Пусть необходимо минимизировать суммарную длину проведенных диагоналей. Как найти оптимальную триангуляцию в этом случае?
№45 слайд
Содержание слайда: Выводы
Рассмотрены три примера задач, решаемых методом динамического программирования
Метод заполнения таблицы может быть реализован двумя способами – «динамика вперед» и «динамика назад»
Необходимо следить за тем, чтобы не выполнялись переходы из недостижимых состояний
№46 слайд
Содержание слайда: Спасибо за внимание!
Вопросы? Комментарии?
fedor.tsarev@gmail.com
Скачать все slide презентации Динамическое программирование. Примеры задач одним архивом:
