Презентация Кратчайшие пути в графе топологическая сортировка онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: КРАТЧАЙШИЕ пути в графе Топологическая сортировка Лекция 17-18

Содержание слайда: План лекции Кратчайшие пути Алгоритм Дейкстры Алгоритм Беллмана-Форда Алгоритм Флойда-Уоршелла Топологическая сортировка

Содержание слайда: Кратчайшие пути Пусть G = (V, E) – ориентированный граф и w: E  R+ -- функция стоимости ребер G Длиной ребра e называется значение w (e) Длиной пути p = (v0, v1, … , vk) называется сумма w(p) = ∑ w(vi-1, vi ) длин ребер, входящих в p

Содержание слайда: Кратчайшие пути Длиной кратчайшего пути из u в v называется δ(u, v) = min { w(p) | p = (u, …, v) путь в графе G } Считаем минимум пустого множества min  =  Кратчайшим путём из u в v называется путь из u в v, для которого w(p) = δ(u, v) Кратчайших путей может быть несколько

Содержание слайда: Пример

Содержание слайда: Корректность определения и рёбра отрицательной длины Условие w(e) >= 0 можно заменить на менее строгое условие отсутствия циклов отрицательной длины Если циклов отрицательной длины нет, то длина кратчайшего пути определена корректно Кратчайший путь не содержит циклов Путей без циклов конечное число Если есть цикл отрицательной длины, то для любых вершин u, v из такого цикла δ(u, v) = -, но кратчайшего пути нет длину любого пути из u в v можно уменьшить, обойдя цикл ещё один раз

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры -- схема Э́дсгер Ви́бе Де́йкстра 1930 – 2002 Edsger Wybe Dijkstra Dijkstra, E. W. (1959). "A note on two problems in connection with graphs". Numerische Mathematik 1: 269–271.

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры -- схема Вычисляем расстояния от вершины-источника до остальных вершин графа Строим множество S вершин графа, кратчайшие расстояния от которых до источника известны На каждом шаге добавляем в S вершину vmin, которая ближе всего к источнику среди оставшихся вершин V \ S обновляем расстояния от источника до соседей vmin

Содержание слайда: Пример (Википедия) – шаг 1 S = , d[] = { 0 ,  ,  ,  ,  ,  } ==> vmin = 1 ==> S = {1} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 ,  ,  , 14 }

Содержание слайда: Пример – шаг 2 S = {1}, d[] = { 0 , 7 , 9 ,  ,  , 14 } ==> vmin = 2 ==> S = {1, 2} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 , 22 ,  , 14 }

Содержание слайда: Пример – шаг 3 S = {1, 2}, d[] = { 0 , 7 , 9 , 22 ,  , 14 } ==> vmin = 3 ==> S = {1, 2, 3} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 ,  , 11 }

Содержание слайда: Пример – шаг 4 S = {1, 2}, d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 ,  , 11 } ==> vmin = 6 ==> S = {1, 2, 3, 6} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 , 20 , 11 }

Содержание слайда: Пример – шаг 5 S = {1, 2, 3, 6}, d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 , 20 , 11 } ==> vmin = 4 (зависит от того, как мы ищем минимум) ==> S = {1, 2, 3, 4, 6} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 , 20 , 11 }

Содержание слайда: Пример – шаг 6 S = {1, 2, 3, 6}, d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 , 20 , 11 } ==> vmin = 5 ==> S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ==> d[] = { 0 , 7 , 9 , 20 , 20 , 11 }

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры // S -- множество вершин v, для которых min // расстояние δ(s,v) от источника s уже найдено // d[v] – известная оценка сверху для δ(s,v) Пока S != V Выбираем вершину u V \ S c наименьшим d[u] Добавляем вершину u к множеству S Обновляем d[v] для всех соседей u

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры Dijkstra( граф G = (V,E), вершина s из V) S  {s}; D[s]  0; D[v] = w (s, v) для всех v != s; пока S ≠ V выбрать вершину u  V \ S, для которого D[u] принимает наименьшее значение; добавить u к S; для каждого соседа v вершины u D[v] = min (D[v], D[u] + w(u, v));

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры С // N -- число вершин в графе, s – источник void sp(const int G[], int N, int s, int dmin[]) { int *blue = calloc(N, sizeof(*blue)), i; if (blue == 0) return; for (i = 0; i < N; ++i) dmin[i] = G[s*N+i]; dmin[s] = 0; blue[s] = 1; // Красим вершины множества S в синий цвет for (i = 0; i < N; ++i) { int jmin = -1, j; for (j = 0; j < N; ++j) if (!blue[j] && (jmin == -1 || dmin[j] <= dmin[jmin])) jmin = j; if (jmin == -1) break; // Достижимые вершины кончились blue[jmin] = 1; // расстояние найдено for (j = 0; j < N; ++j) // Обновляем расстояния до соседей jmin if (!blue[j] && d[jmin]+G[j*N+jmin] < dmin[j]) dmin[j] = dmin[jmin]+G[j*N+jmin]; } free(blue); }

Содержание слайда: Сложность алгоритма Дейкстры по времени Сложность операции поиска min и операции обновления элемента зависит от типа dmin Массив Пирамида из пирамидальной сортировки Фибоначчиева куча (Тарьян, Фредман 1984) Обязательно знать оценки сложности поиска min и обновления элемента Реализация операций и доказательство оценок -- по желанию

Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда Если есть ребера длины < 0, то алгоритм Дейкстры может вычислить dmin[vmin] > δ(s, vmin) если есть вершина vS и путь p отрицательной длины из v в vmin по вершинам V\S – см. рисунок Как вычислять кратчайшие пути в этом случае?

Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда Вычисление кратчайших путей в графе c ребрами и/или циклами отрицательной длины за O(|V| × |E|) операций Bellman, Richard (1958). "On a routing problem". Quarterly of Applied Mathematics 16: 87–90. MR 0102435. Ford, Lester Randolph, Jr.; Fulkerson, D. R. (1962). Flows in Networks. Princeton University Press.

Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда -- схема /* Вычисляем длины кратчайших путей от источника до вершин графа в порядке увеличения числа ребер в пути */ dmin[s] = 0, dmin[v] =  для v != s Для i = 1, …, |V|-1 // кратчайшем пути <= |V|-1 ребер Для каждой вершины v dnext[v] = min { dmin[v], dmin[u]+w(u,v) } dmin = dnext // обычно значение min{…} записывают сразу в dmin Если dmin[u]+w(u,v) < dmin[v] для одного из ребер (u, v), то G содержит цикл отрицательной длины

Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда C int BellmanFord(const int G[], int N, int s, int dmin[]) { int i, v, u; for (i = 0; i < N; ++i) dmin[i] = G[s*N+i]; dmin[s] = 0; for (i = 1; i < N; ++i) for (v = 0; v < N; ++v) for (u = 0; u < N; ++u) if (dmin[v] > dmin[u] + G[u*N+v]) dmin[v] = dmin[u] + G[u*N+v]; for (v = 0; v < N; ++v) for (u = 0; u < N; ++u) if (dmin[v]>dmin[u]+G[u*N+v]) return 0; return 1; }

Содержание слайда: Алгоритм Флойда-Уоршелла Вычисление кратчайших расстояний между всеми парами вершин графа Warshall, Stephen (January 1962). "A theorem on Boolean matrices". Journal of the ACM 9 (1): 11–12 Floyd, Robert W. (June 1962). "Algorithm 97: Shortest Path". Communications of the ACM 5 (6): 345

Содержание слайда: Алгоритм Флойда-Уоршелла -- схема // Нумеруем вершины числами от 1 до N // Вычисляем dmin[i, j] = кратчайшее расстояние от вершины i до // вершины j // Сложность по времени O(N^3) // Вычисляем кратчайшие расстояния d[k, i, j] от вершины i до вершины j // для путей с промежуточными вершинами из множества {1,…,k} Для i, j = 1, …, N d[0, i, j] = 0, если i=j w(i, j), если (i, j)  E ∞ , если (i, j)  E Для k = 1, …, N Для i, j = 1, …, N d[k, i, j] = min(d[k-1, i, j], d[k-1, i, k] + d[k-1, k, j]) // dmin[i, j] == d[N, i, j]

Содержание слайда: Топологическая сортировка Топологической сортировкой ориентированного графа G = (V, E) называется нумерация Т вершин V такая, что для каждой дуги (v, u) графа G верно T(v) < T(u) Если возможна топологическая сортировка G, то в G нет циклов Почему? Если в G нет циклов, то возможна топологическая сортировка G Алгоритм топологической сортировки

Содержание слайда: Алгоритм топологической сортировки Вход Ориентированный граф G = (V, E) Выход Топологическая сортировка G – нумерация Т такая, что что для каждой дуги (v, u) графа G верно T(v) < T(u) t = 1; Для i = 1, …, N Найти вершину v такую, что нет дуг входящих в v Если нет такой вершины, то граф содержит цикл – почему? T[v] = t; t = t+1; Удалить из E все дуги исходящие из v, удалить v из V

Содержание слайда: Топологическая сортировка -- пример

Содержание слайда: Топологическая сортировка -- пример

Содержание слайда: Топологическая сортировка с матрицей смежности

Содержание слайда: Топологическая сортировка с иерархическими списками 1< 2; 3< 1; 4<1; 2< 5; 2< 6;

Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком Частичным порядком на множестве А называется отношение R на А такое, что верно a R b, верно b R c => верно a R c (транизтивность) не верно a R а (иррефлексивность) Следствие свойств (1) и (2) если верно a R b, то не верно b R a (антисимметричность)

Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком Примеры частичных порядков Зависимость по записи/чтению данных между операторами в программе без циклов Зависимость курсов в учебной программе по излагаемому материалу Зависимость строительных и т.п. работ Томас Хэрриот (англ. Thomas Harriot) (1560 год — 2 июля 1621 года) — английский астроном, математик, этнограф и переводчик Придумал знаки для операций сравнения: «>» (больше) и «<» (меньше) Впервые привез картофель в Великобританию и Ирландию

Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком Если G = ( V, E ) -- ациклический граф, то отношение R = E -- частичный порядок на множестве V Если отношение R частичный порядок на конечном множестве A, то G = ( A, R ) -- ациклический граф Пример 1 < 8, 1 < 5, 5 < 8, 5 < 9, 6 < 9, 3 < 6, 3 < 7

Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком Линейный порядок R на множестве А -- это такой частичный порядок, что для любые a и b из А сравнимы либо a R b, либо b R a, либо a = b Линейный порядок на конечном множестве А = {a1, a2,..., an} можно задать перестановкой ap1, ap2,..., apn такой, что api R api+1

Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком Частичный порядок R на множестве А вложен в линейный порядок R', если R' – это линейный порядок и RR', т. е. a R b влечет a R' b для всех а и b из А Алгоритм топологической сортировки вычисляет линейный порядок, в который вложен данный частичный порядок

Содержание слайда: Заключение Кратчайшие пути Алгоритмы Дейкстры, Беллмана-Форда, Флойда-Уоршелла Топологическая сортировка Алгоритм, связь с отношениями порядка

Содержание слайда: Транзитивное замыкание графа Пусть G= (V, E) ориентированный граф. Транзитивным замыканием графа G называется граф G’= (V, E’), в котором из вершины v в вершину w идет ребро  существует путь (длины 0 или больше) из v в w в графе G. E’: (a, b)E & (b, c)  E  (a, b)E’ & (b, c)  E’ & (a, c)  E’

Содержание слайда: Построение транзитивного замыкания графа. Пример

Содержание слайда: Обозначим через tij(k) наличие пути из вершины с номером i в вершину с номером j с промежуточными вершинами из множества {1, 2, …, k}. M – матрица смежностей графа G. Обозначим через tij(k) наличие пути из вершины с номером i в вершину с номером j с промежуточными вершинами из множества {1, 2, …, k}. M – матрица смежностей графа G. M[i, j] , если k = 0, tij(k) = tij(k-1)  (tik(k-1)  tkj(k-1) ), если k1 T(n) содержит искомое решение.

Содержание слайда: Алгоритм построения транзитивного замыкания графа Tranzitive_Clusure(M, n) { T(0)  M; for k  1 to n do for i 1 to n do for j  1 to n do tij(k)  tij(k-1)  (tik(k-1)  tkj(k-1) ); return T(n); }

Содержание слайда: Пусть G = (V, E) – заданный граф. Пусть G = (V, E) – заданный граф. Для каждой вершины v  V мы будем помнить ее предшественника. Релаксация – постепенное уточнение верхней оценки на вес кратчайшего пути в заданную вершину. Свойства оптимальности. Лемма 1. Отрезки кратчайших путей являются кратчайшими: Если p(v1, v2, … , vk) – кратчайший путь из v1 в vk и 1 ≤ i ≤ j ≤ k, то pij = (vi, vi+1, … , vj) есть кратчайший путь из vi в vj Следствие 1. Рассмотрим кратчайший путь p из s в v. Пусть (u,v) – последнее ребро этого пути. Тогда δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v). Следствие 2. Для любого ребра (u,v)  E справедливо δ(s,v) ≤ δ(s,u) + w(u,v).

Содержание слайда: Техника релаксации Для каждого ребра (u,v) храним d[v] – верхнюю оценку кратчайшего пути из s в v. Initialize (G,s){ for (для v  V) { d[v] ← ∞ Π[v] ← NULL; } d[s] ← 0; }

Содержание слайда: Релаксация ребра (u,v): Релаксация ребра (u,v): значение d[v] уменьшается до d[v+w(u,v)] (если второе второе значение меньше первого) Relax (u, v, w) { If (d[v] > d[u] +w(u,v)){ d[v] = d[ u] +w(u,v); Π[v] ← u; } }

Содержание слайда:

Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры Dijkstra(G,w,s){ Initialize(G,s); S ← ø; Q ← V; //очередь с приоритетами While (Q ≠ ø){ u ← Exstract_min(Q); //выбрать ближайшую S ← S U {u}; for (для v  Adj[u]) Relax ( u, v, w); } }

Содержание слайда:

Содержание слайда: Реализация с дополнительным массивом - O(n2) Массив D[v] содержит стоимость текущего кратчайшего пути из s в v.

Содержание слайда: Пример № S u D[u] D[1] D[2] D[3] D[4] 0 {0} - - 2 +∞ +∞ 10 {0, 1} 1 2 2 5 +∞ 9 {0, 1, 2} 2 5 2 5 9 9 {0, 1, 2, 3} 3 9 2 5 9 9 4 {0, 1, 2, 3, 4} 4 9 2 5 9 9

Содержание слайда: Компьютерная сеть была названа ARPANET, все работы финансировались за счёт Министерства обороны США. Затем сеть ARPANET начала активно расти и развиваться, её начали использовать учёные из разных областей науки. В 1973 году к сети были подключены первые иностранные организации из Великобритании и Норвегии, сеть стала международной. Стоимость пересылки электронного письма по сети ARPANET составляла 50 центов. В 1984 году у сети ARPANET появился серьёзный соперник, Национальный фонд науки США (NSF) основал обширную Межуниверситетскую сеть NSFNet, которая имела гораздо бо́льшую пропускную способность (56 кбит/с), нежели ARPANET. В 1990 году сеть ARPANET прекратила своё существование, полностью проиграв конкуренцию NSFNet.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Floyd-Warshall(M, n) { Floyd-Warshall(M, n) { D(0)  M; for k  1 to n do for i 1 to n do for j  1 to n do dij(k)  min(dij(k-1), dik(k-1) + dkj(k-1) ); return D(n); }

Содержание слайда:

Содержание слайда: