Презентация Кратчайшие пути в графе топологическая сортировка онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Кратчайшие пути в графе топологическая сортировка абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 54 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Презентации » Устройства и комплектующие » Кратчайшие пути в графе топологическая сортировка
Оцените!
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:54 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.02 MB
- Просмотров:98
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№5 слайд
![Кратчайшие пути Длиной](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img4.jpg)
Содержание слайда: Кратчайшие пути
Длиной кратчайшего пути из u в v называется δ(u, v) = min { w(p) | p = (u, …, v) путь в графе G }
Считаем минимум пустого множества min =
Кратчайшим путём из u в v называется путь из u в v, для которого w(p) = δ(u, v)
Кратчайших путей может быть несколько
№7 слайд
![Корректность определения и](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img6.jpg)
Содержание слайда: Корректность определения и рёбра отрицательной длины
Условие w(e) >= 0 можно заменить на менее строгое условие отсутствия циклов отрицательной длины
Если циклов отрицательной длины нет, то длина кратчайшего пути определена корректно
Кратчайший путь не содержит циклов
Путей без циклов конечное число
Если есть цикл отрицательной длины, то для любых вершин u, v из такого цикла δ(u, v) = -, но кратчайшего пути нет
длину любого пути из u в v можно уменьшить, обойдя цикл ещё один раз
№9 слайд
![Алгоритм Дейкстры -- схема](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img8.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры -- схема
Вычисляем расстояния от вершины-источника до остальных вершин графа
Строим множество S вершин графа, кратчайшие расстояния от которых до источника известны
На каждом шаге
добавляем в S вершину vmin, которая ближе всего к источнику среди оставшихся вершин V \ S
обновляем расстояния от источника до соседей vmin
№16 слайд
![Алгоритм Дейкстры S --](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img15.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры
// S -- множество вершин v, для которых min
// расстояние δ(s,v) от источника s уже найдено
// d[v] – известная оценка сверху для δ(s,v)
Пока S != V
Выбираем вершину u V \ S c наименьшим d[u]
Добавляем вершину u к множеству S
Обновляем d[v] для всех соседей u
№17 слайд
![Алгоритм Дейкстры Dijkstra](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img16.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры
Dijkstra( граф G = (V,E), вершина s из V)
S {s};
D[s] 0;
D[v] = w (s, v) для всех v != s;
пока S ≠ V
выбрать вершину u V \ S, для которого D[u] принимает наименьшее значение;
добавить u к S;
для каждого соседа v вершины u
D[v] = min (D[v], D[u] + w(u, v));
№18 слайд
![Алгоритм Дейкстры С N --](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img17.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Дейкстры С
// N -- число вершин в графе, s – источник
void sp(const int G[], int N, int s, int dmin[])
{
int *blue = calloc(N, sizeof(*blue)), i;
if (blue == 0) return;
for (i = 0; i < N; ++i) dmin[i] = G[s*N+i];
dmin[s] = 0; blue[s] = 1; // Красим вершины множества S в синий цвет
for (i = 0; i < N; ++i) {
int jmin = -1, j;
for (j = 0; j < N; ++j)
if (!blue[j] && (jmin == -1 || dmin[j] <= dmin[jmin]))
jmin = j;
if (jmin == -1) break; // Достижимые вершины кончились
blue[jmin] = 1; // расстояние найдено
for (j = 0; j < N; ++j) // Обновляем расстояния до соседей jmin
if (!blue[j] && d[jmin]+G[j*N+jmin] < dmin[j])
dmin[j] = dmin[jmin]+G[j*N+jmin];
}
free(blue);
}
№19 слайд
![Сложность алгоритма Дейкстры](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img18.jpg)
Содержание слайда: Сложность алгоритма Дейкстры по времени
Сложность операции поиска min и операции обновления элемента зависит от типа dmin
Массив
Пирамида из пирамидальной сортировки
Фибоначчиева куча (Тарьян, Фредман 1984)
Обязательно знать оценки сложности поиска min и обновления элемента
Реализация операций и доказательство оценок -- по желанию
№21 слайд
![Алгоритм Беллмана-Форда](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img20.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда
Вычисление кратчайших путей в графе c ребрами и/или циклами отрицательной длины за O(|V| × |E|) операций
Bellman, Richard (1958). "On a routing problem". Quarterly of Applied Mathematics 16: 87–90. MR 0102435.
Ford, Lester Randolph, Jr.; Fulkerson, D. R. (1962). Flows in Networks. Princeton University Press.
№22 слайд
![Алгоритм Беллмана-Форда --](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img21.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда -- схема
/* Вычисляем длины кратчайших путей от источника до вершин графа в порядке увеличения числа ребер в пути */
dmin[s] = 0, dmin[v] = для v != s
Для i = 1, …, |V|-1 // кратчайшем пути <= |V|-1 ребер
Для каждой вершины v
dnext[v] = min { dmin[v], dmin[u]+w(u,v) }
dmin = dnext
// обычно значение min{…} записывают сразу в dmin
Если dmin[u]+w(u,v) < dmin[v] для одного из ребер (u, v), то G содержит цикл отрицательной длины
№23 слайд
![Алгоритм Беллмана-Форда C int](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img22.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Беллмана-Форда C
int BellmanFord(const int G[], int N, int s, int dmin[])
{
int i, v, u;
for (i = 0; i < N; ++i) dmin[i] = G[s*N+i];
dmin[s] = 0;
for (i = 1; i < N; ++i)
for (v = 0; v < N; ++v)
for (u = 0; u < N; ++u)
if (dmin[v] > dmin[u] + G[u*N+v])
dmin[v] = dmin[u] + G[u*N+v];
for (v = 0; v < N; ++v)
for (u = 0; u < N; ++u)
if (dmin[v]>dmin[u]+G[u*N+v]) return 0;
return 1;
}
№24 слайд
![Алгоритм Флойда-Уоршелла](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img23.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Флойда-Уоршелла
Вычисление кратчайших расстояний между всеми парами вершин графа
Warshall, Stephen (January 1962). "A theorem on Boolean matrices". Journal of the ACM 9 (1): 11–12
Floyd, Robert W. (June 1962). "Algorithm 97: Shortest Path". Communications of the ACM 5 (6): 345
№25 слайд
![Алгоритм Флойда-Уоршелла --](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img24.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм Флойда-Уоршелла -- схема
// Нумеруем вершины числами от 1 до N
// Вычисляем dmin[i, j] = кратчайшее расстояние от вершины i до
// вершины j
// Сложность по времени O(N^3)
// Вычисляем кратчайшие расстояния d[k, i, j] от вершины i до вершины j
// для путей с промежуточными вершинами из множества {1,…,k}
Для i, j = 1, …, N d[0, i, j] =
0, если i=j
w(i, j), если (i, j) E
∞ , если (i, j) E
Для k = 1, …, N
Для i, j = 1, …, N
d[k, i, j] = min(d[k-1, i, j], d[k-1, i, k] + d[k-1, k, j])
// dmin[i, j] == d[N, i, j]
№26 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img25.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка
Топологической сортировкой ориентированного графа G = (V, E) называется нумерация Т вершин V такая, что для каждой дуги (v, u) графа G верно T(v) < T(u)
Если возможна топологическая сортировка G, то в G нет циклов
Почему?
Если в G нет циклов, то возможна топологическая сортировка G
Алгоритм топологической сортировки
№27 слайд
![Алгоритм топологической](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img26.jpg)
Содержание слайда: Алгоритм топологической сортировки
Вход
Ориентированный граф G = (V, E)
Выход
Топологическая сортировка G – нумерация Т такая, что что для каждой дуги (v, u) графа G верно T(v) < T(u)
t = 1;
Для i = 1, …, N
Найти вершину v такую, что нет дуг входящих в v
Если нет такой вершины, то граф содержит цикл – почему?
T[v] = t;
t = t+1;
Удалить из E все дуги исходящие из v, удалить v из V
№32 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img31.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком
Частичным порядком на множестве А называется отношение R на А такое, что
верно a R b, верно b R c => верно a R c (транизтивность)
не верно a R а (иррефлексивность)
Следствие свойств (1) и (2)
если верно a R b, то не верно b R a (антисимметричность)
№33 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img32.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком
Примеры частичных порядков
Зависимость по записи/чтению данных между операторами в программе без циклов
Зависимость курсов в учебной программе по излагаемому материалу
Зависимость строительных и т.п. работ
Томас Хэрриот (англ. Thomas Harriot) (1560 год — 2 июля 1621 года) — английский астроном, математик, этнограф и переводчик
Придумал знаки для операций сравнения: «>» (больше) и «<» (меньше)
Впервые привез картофель в Великобританию и Ирландию
№34 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img33.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком
Если G = ( V, E ) -- ациклический граф, то отношение R = E -- частичный порядок на множестве V
Если отношение R частичный порядок на конечном множестве A, то G = ( A, R ) -- ациклический граф
Пример
1 < 8, 1 < 5, 5 < 8,
5 < 9, 6 < 9, 3 < 6,
3 < 7
№35 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img34.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком
Линейный порядок R на множестве А -- это такой частичный порядок, что для любые a и b из А сравнимы
либо a R b, либо b R a, либо a = b
Линейный порядок на конечном множестве А = {a1, a2,..., an} можно задать перестановкой ap1, ap2,..., apn такой, что api R api+1
№36 слайд
![Топологическая сортировка](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img35.jpg)
Содержание слайда: Топологическая сортировка – связь с частичным порядком
Частичный порядок R на множестве А вложен в линейный порядок R', если R' – это линейный порядок и RR', т. е. a R b влечет a R' b для всех а и b из А
Алгоритм топологической сортировки вычисляет линейный порядок, в который вложен данный частичный порядок
№38 слайд
![Транзитивное замыкание графа](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img37.jpg)
Содержание слайда: Транзитивное замыкание графа
Пусть G= (V, E) ориентированный граф. Транзитивным замыканием графа G называется граф G’= (V, E’), в котором из вершины v в вершину w идет ребро существует путь (длины 0 или больше) из v в w в графе G.
E’:
(a, b)E & (b, c) E (a, b)E’ & (b, c) E’ & (a, c) E’
№40 слайд
![Обозначим через tij k наличие](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img39.jpg)
Содержание слайда: Обозначим через tij(k) наличие пути из вершины с номером i в вершину с номером j с промежуточными вершинами из множества {1, 2, …, k}. M – матрица смежностей графа G.
Обозначим через tij(k) наличие пути из вершины с номером i в вершину с номером j с промежуточными вершинами из множества {1, 2, …, k}. M – матрица смежностей графа G.
M[i, j] , если k = 0,
tij(k) =
tij(k-1) (tik(k-1) tkj(k-1) ), если k1
T(n) содержит искомое решение.
№42 слайд
![Пусть G V, E заданный граф.](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img41.jpg)
Содержание слайда: Пусть G = (V, E) – заданный граф.
Пусть G = (V, E) – заданный граф.
Для каждой вершины v V мы будем помнить ее предшественника.
Релаксация – постепенное уточнение верхней оценки на вес
кратчайшего пути в заданную вершину.
Свойства оптимальности.
Лемма 1. Отрезки кратчайших путей являются кратчайшими:
Если p(v1, v2, … , vk) – кратчайший путь из v1 в vk и 1 ≤ i ≤ j ≤ k,
то pij = (vi, vi+1, … , vj) есть кратчайший путь из vi в vj
Следствие 1. Рассмотрим кратчайший путь p из s в v. Пусть (u,v) –
последнее ребро этого пути. Тогда δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v).
Следствие 2. Для любого ребра (u,v) E справедливо
δ(s,v) ≤ δ(s,u) + w(u,v).
№50 слайд
![Компьютерная сеть была](/documents_6/0b624876e34a8c992cedcf988cf98c0e/img49.jpg)
Содержание слайда: Компьютерная сеть была названа ARPANET, все работы финансировались
за счёт Министерства обороны США. Затем сеть ARPANET начала активно
расти и развиваться, её начали использовать учёные из разных областей
науки. В 1973 году к сети были подключены первые иностранные
организации из Великобритании и Норвегии, сеть стала международной.
Стоимость пересылки электронного письма по сети ARPANET составляла
50 центов.
В 1984 году у сети ARPANET появился серьёзный соперник,
Национальный фонд науки США (NSF) основал обширную
Межуниверситетскую сеть NSFNet, которая имела гораздо бо́льшую
пропускную способность (56 кбит/с), нежели ARPANET.
В 1990 году сеть ARPANET прекратила своё существование, полностью
проиграв конкуренцию NSFNet.
Скачать все slide презентации Кратчайшие пути в графе топологическая сортировка одним архивом:
Похожие презентации
-
Кратчайший путь в неориентированном графе без весов
-
Кратчайшие пути и остовные деревья в графах
-
Кратчайшие пути, максимальные потоки и минимальные разрезы на орграфах
-
Применение алгоритма Флойда для решения задачи о кратчайшем пути
-
Сортировка строкового массива на Delphi
-
Алгоритмы сортировки на массивах
-
Методы улучшения алгоритмов сортировок. Лекция 7
-
Пирамидальная сортировка. Лекция 8
-
Метод сортировки пирамидой
-
Алгоритмы сортировки. Лекция 13