Презентация Постановка и решение вспомогательной задачи онлайн

Содержание слайда: Лекция 13. Цель. Поставить и решить вспомогательную задачу Б и закончить рассмотрение задачи о радиальном распределении температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы. Обосновать необходимость использования метода конечных элементов (МКЭ) для расчета полей температуры в облучаемых образцах. Приступить к постановке задачи расчета поля температуры МКЭ для цилиндрического образца. План. 1. Постановка и решение вспомогательной задачи Б. 2.Решение задачи о поле температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы. 3. Постановка задачи расчета поля температуры МКЭ для цилиндрического образца.      

Содержание слайда: Поле температуры в образце ( Задача Б) На поверхности цилиндра с коэффициентом теплопроводности λ0,1 задана температура Т1 , внутри цилиндра действуют внутренние источники тепла qv01, в центре цилиндра температура имеет экстремум. Граничные условия:   dT/dr | r= 0 = 0 (19)   T | r= R1= Т1 (20)

Содержание слайда: Поле температуры, определение потоков. Поле температуры описывается уравнением (13) и (14). Из (19) C1 = 0, тогда из (20) определяем:   С2 = Т1+ qv,0,1 R21/4 λ0,1   Поле температуры в цилиндре (образце) имеет вид:   Т=Т1+ qv,0,1 (R21-r2)/4 λк, к+1   Поток тепла с поверхности цилиндра:   Qk = - 2π λ0,1 R1 dT/dr | r= R1 = πqv,0,1R21 = πqv,0,1(R21 – R20),   где R0 = 0 Определяем потоки тепла, пользуясь результатами задач, рассмотренных выше: n Qn = Σ πqv,k,k+1(R2k+1 – R2k) при R0 = 0. k=0  

Содержание слайда: Решение задачи А. Используем граничные условия для определения постоянных. Решение можно представить в следующем виде:   Т = Тk+1 + qv,k,k+1/2 λк, к+1[(R2k+1 – r2)/2 – R2kln(Rk+1/r) ] +   (Qk/2 πλк, к+1) ln(Rk+1/r) (15)   Тk - Тk+1 = (qv,k,k+1/2 λк, к+1)[(R2k+1 – R2k)/2 – R2kln(Rk+1/ Rk) ] +   (Qk/2 πλк, к+1) ln(Rk+1/ Rk) (16)   Qk+1 = - 2π λk,k+1 Rk+1 dT/dr | r= Rk+1= πqv,k,k+1(R2k+1 – R2k) + Qk (17)   Тk - Тk+1 = Av,k,k+1+ Ak,k+1 (18)

Содержание слайда: Поле температуры по радиусу облучательного устройства.   Используя краевое условие (6), имеем:   Tn -Tc = Qn/2 παRn   Определяем перепады температуры: - на оболочке   Тn-1 - Тn = Av,n-1,n+ An-1,n ,   - в газовой прослойке:   Tn -Tc = Qn-2,n-1 /hn-2,n-1   - на к-ом экране:   Тk - Тk+1 = Av,k,k+1+ Ak,k+1 ,   - в к-1 прослойке:   Тk-1 - Тk = Qk-1,k /hk-1,k

Содержание слайда: Расчет поля температуры облучаемого образца методом конечных элементов. Исследование свойств материалов в реакторном эксперименте осложняется наличием интенсивных тепловыделений в испытуемом образце. Следствием этого являются градиенты температуры по объему образца и появление термонапряжений, которые в ряде случаев могут приводить к разрушению образца. Существенными могут оказаться явления, обусловленные наличием градиента плотности тепловыделения в материале. В целом, требования к оценке поведения образца в реакторном эксперименте должны быть более строгими, расчеты температурных полей более подробными и точными. Для расчета температурных полей в образце реакторной установки целесообразно воспользоваться методом конечных элементов.

Содержание слайда: Постановка задачи, условия однозначности. 1.Геометрические условия задают цилиндрический осе симметричный образец. 2.Физические условия задают распределение источников тепловыделения в образце и коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры. 3.Временные условия рассматривают стационарную задачу: dT/dτ =0 (21)

Содержание слайда: Постановка задачи, граничные условия . На торцевых поверхностях образца предлагается использовать два варианта граничных условий: - условия первого рода:   T|z=0, 0≤ r ≤ R = T (0, r) (22) T|z=H, 0≤ r ≤ R = T (H, r) (23)   - условия третьего рода:   - λ dT/dr |z=0, 0≤ r ≤ R = α (0,r) [T (0, r) – Tc0] (24) - λ dT/dr |z=H, 0≤ r ≤ R = α (H,r) [T (H, r) – TcH] (25)   На внешней боковой поверхности цилиндрического образца задаются граничные условия третьего рода:   Q= 2πRα(z,r) [T (z, r) – Tcr] (26)

Содержание слайда: Решение задачи методом конечных элементов. Дискретизация геометрической области проводится по представленной схеме. Определение стационарных двумерных полей температуры основано на простейшем варианте метода конечных элементов. Граничные условия, как уже отмечалось, задают либо температуру, либо тепловой поток. В соответствии с методом конечных элементов и с учетом симметрии задачи цилиндрический образец разбивается на N кольцевых элементов и М элементов по высоте.

Содержание слайда: Уравнения теплового баланса (1) Ищется решение стационарного уравнения теплопроводности: div [ λ(T) grad T( r )] + qv(r) =0 , (27)  где Т(r) - температура образца; λ(Т) - коэффициент теплопроводности в общем случае, зависящий от температуры; qv(r)- плотность внутренних источников тепла может быть функцией координат. Возьмем толщину кольцевых элементов постоянной. Затем для каждого элемента составляется уравнение теплового баланса, при этом предполагается, что величины λ и qv постоянны для данного элемента.

Содержание слайда: Уравнения теплового баланса (2) В рассматриваемом случае уравнения теплового баланса элементов принимают вид: N(i) Σ γ(i,j)[T(i)-T(j)] + qv(i)S(i)+QL(i) = 0 (28) j=1 где S(i)- площадь получаемого при таком разбиении элемента; Т(i)- температура элемента; qv(i) плотность внутренних источни­ков тепла; QL(i)- поток тепла в элемент из внешней среды; γ( i,j)- коэффициент, характеризующий перенос тепла между соседними i-ым и j -ым элементами; N(i)- число элементов, обменивающихся теплом с элементом, равно четырем во внутренней области и трем для элементов, лежащих на границе области. При составлении системы уравнений (28) предполагалось, что потоки тепла Q между соседними элементами пропорциональны разности температур в этих элементах:   Q = γ( i,j) [T(i)-T(j)] (29)   Выражение, определяющее γ( i,j) , может быть получено при рассмотрении соотношения для потока тепла между i-ым и j -ым элементами в радиальном направлении:   Q = λ Lij grad T | ij (30)   где λ - коэффициент теплопроводности материала; L- протяженность границы между элементами; grad T | ij - градиент температуры на границе между i-ым и j -ым элементами.