Презентация Поток и циркуляция векторного поля онлайн

Содержание слайда: Поток и циркуляция векторного поля Лекция 3

Содержание слайда: Ориентированная поверхность. Вектор нормали Пусть Σ : – кусочно-гладкая двусторонняя ориентированная поверхность (в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость и указать нормаль к поверхности). Ориентация поверхности задается выбором направления нормали: γ = = γ = = =

Содержание слайда: Поток векторного поля γ Поверхность разбиваем на частей площадью . Выбираем и находим нормаль . Каждому элементу поверхности ставим в соответствие векторный элемент поверхности Пусть на поверхности задано непрерывное векторное поле ,. Элементарный поток - число векторных линий, проходящих через элемент поверхности в единицу времени в направлении нормали: Полный поток – интегральная сумма : Поток - поверхностный интеграл 2 рода.

Содержание слайда: Пример вычисления потока Найдем поток векторного поля через часть сферы + отсекаемой цилиндром Для верхней полусферы , 1) = = ; . Переменную выражаем через уравнение поверхности: = Тогда поток находим как двойной интеграл по проекции сферического сегмента на плоскость в круг . В цилиндрической системе координат: =

Содержание слайда: Поток через замкнутую поверхность Пусть пространственная область является односвязной, замкнутой и ограниченной, а замкнутая поверхность Σ является границей области. Для вычисления потока поля через такую поверхность объем разбивают на элементарные объемы . Элементарный поток через границы в направлении нормали, внешней по отношению к объему, равен дивергенции векторного поля: Определение дивергенции: дивергенция – мощность потока, приходящаяся на единицу объема. Поток через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали – = , Теорема Остроградского- Гаусса. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

Содержание слайда: Циркуляция векторного поля Циркуляцией дифференцируемого векторного поля называют интеграл векторного поля по замкнутой кривой которая ограничивает некоторую односвязную поверхность Σ. Интеграл зависит от направления обхода. За положи- Σ тельное направление обхода принимают такое, когда область Σ остается слева (из конца вектора нормали кажется , что движение по кривой идет против часовой стрелки). Найдем циркуляцию (работу) поля по бесконечно малому замкнутому прямоугольному контуру со сторонами , ориентированному параллельно координатной плоскости При положительном направлении обхода контура нормаль к поверхности (части плоскости), охваченной контуром элемент площади поверхности . При этом работу можно находить как скалярное произведение вектора поля на вектор перемещения вдоль границы области.

Содержание слайда: Ротор. Теорема Стокса = = (П)- поток вектора Это соотношение справедливо при любой ориентации контура. Определение ротора . Ротором векторного поля называется вектор, проекция которого в каждой точке дифференцируемости поля на направление нормали к поверхности, охваченной контуром, равна плотности циркуляции . Теорема Стокса. Циркуляция дифференцируемого векторного поля по произвольному кусочно – гладкому замкнутому контуру равна потоку вектора через какую-либо поверхность, ограниченную этим контуром

Содержание слайда: Пример вычисления циркуляции Найдем циркуляцию векторного поля по линии пересечения поверхностей Шаг 1. Сложный замкнутый контур из трех кривых γ ограничивает часть поверхности параболоида Нормаль образует тупой угол с осью ; ; Шаг 2. Шаг 3. Находим поток ротора через поверхность параболоида : =

Содержание слайда: Уравнения Дж. Максвелла (уравнения классической электродинамики) 1. Закон Гаусса , где – плотность электрических зарядов 2. – магнитных зарядов не существует 3. - закон Фарадея 4. - закон Био-Савара