Презентация Состояние и функционирование систем онлайн

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Лекция №3 Состояние и функционирование систем 3.1. Состояние системы 3.2. Статические и динамические свойства динамических систем 3.3. Пространство состояний 3.4. Устойчивость динамических систем.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Состояние и функционирование систем Как говорилось ранее, система создается для того, чтобы получить желаемые значения (состояния) её целевых выходов. Примеры. 1. Приложение должно выполнять на компьютере некоторые необходимые действия. 2. Печка должна давать тепло, но не меньше и не больше необходимого. 3. Предприятие должно давать кому-то прибыль, кому-то товары Иногда нас будут интересовать значения и нецелевых выходов если они представляют опасность или неприятности для кого-либо.   3.1. Состояние системы В общем случае значения выходов системы зависят от следующих факторов: значений (состояния) входных переменных: начального состояния системы; функции системы.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Отсюда вытекает одна из наиболее важных задач системного анализа — установление причинно-следственных связей выходов системы с её входами и состоянием.   3.1.1. Состояние системы и его оценка Понятие состояние характеризует мгновенную «фотографию» временной «срез» системы. Состояние системы в определённый момент времени — это множество её существенных свойств в этот момент времени. При этом можно говорить о состоянии входов, внутреннем состоянии и состоянии выходов системы. Состояние входов системы представляется вектором значений входных параметров: X = (x1, ..., xn) и фактически является отражением состояния окружающей среды (это не нужно понимать буквально :). Внутреннее состояние системы представляется вектором значений её внутренних параметров (параметров состояния): Z = (z1, …, zv) и зависит от состояния входов Х и начального состояния Z0: Z = Fl(X, Z0).

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Пример. Параметры состояния: температура двигателя автомобиля, психологическое состояние человека, изношенность оборудования, уровень квалификации исполнителей работы.   Внутреннее состояние практически ненаблюдаемо, но его можно оценить по состоянию выходов (значениям выходных переменных) системы Y = (y1, ..., ym) благодаря зависимости Y= F2(Z). При этом следует говорить о выходных переменных в широком смысле: в качестве координат, отражающих состояние системы, могут выступать не только сами выходные переменные, но и характеристики их изменения – скорость, ускорение и т. д. Таким образом, внутреннее состояние системы S в момент времени t может характеризоваться множеством значений её выходных координат и их производных в этот момент времени: Пример. Состояние финансовой системы России можно характеризовать не только курсом рубля к доллару, но и скоростью изменения этого курса, а также ускорением (замедлением) этой скорости.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Однако необходимо заметить, что выходные переменные не полностью, неоднозначно и несвоевременно отражают состояние системы.   Примеры. 1. У больного повышенная температура (у > 37 °С), но это характерно для различных внутренних состояний. 2. Если у предприятия низкая прибыль, то это может быть при разных состояниях организации.   3.1.2. Процесс Если система способна переходить из одного состояния в другое (например, S1→S2→S3...), то говорят, что она обладает поведением – в ней происходит процесс.   В случае непрерывной смены состояний, процесс Р можно описать функцией времени: P=S(t), а в дискретном случае — множеством: P {St1, St2, …, Stn}

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем По отношению к системе можно рассматривать два вида процессов: внешний процесс - последовательная смена, воздействий на систему, т. е. последовательная смена состояний окружающей среды; внутренний процесс - последовательная смена состояний системы, которая наблюдается как процесс на выходе системы. Дискретный процесс сам может рассматриваться как система, состоящая из совокупности состояний, связанных последовательностью их смены.   3.1.3. Статические и динамические системы В зависимости от того, изменяется ли состояние системы со временем, ее можно отнести к классу статических пли динамических систем.   Статическая система - это система, состояние которое практически не изменяется в течение определенного период Динамическая система - это система, изменяющая свое состояние во времени. Итак, динамическими будем называть такие системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем. 

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Итак, динамическими будем называть такие системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем. Имеется ещё одно уточняющее определение: система, переход которой из одного состояния в другое совершается не мгновенно, а в результате некоторого процесса, называется динамической.   Примеры. 1. Панельный дом — система из множества взаимосвязанных панелей — статическая система. 2. Экономика любого предприятия — это динамическая система. 3. В дальнейшем нас будут интересовать только динамические системы. 3.1.4. Функция системы Свойства системы проявляются не только значениями выходных переменных, но и её функцией, поэтому определение функций системы является одной из первых задач её анализа или проектирования. Заметим, что термин «динамический» в русском языке неоднозначен; здесь он будет использован в самом широком смысле как обозначение любых изменений во времени.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Понятие «функция» имеет разные определения: от общефилософских до математических.   Функция как общефилософское понятие. Общее понятие функции включает в себя понятия «предназначение» (целевое назначение) и «способность» (служить каким-то целям). функция — внешнее проявление свойств объекта.   Примеры. 1. Налоговая служба имеет функцию сбора налогов. 2 Функция информационной системы — обеспечение информацией лица, принимающего решения. 3. Функция картины в известном мультфильме — закрывать дырку в стене. Система может быть одно- или многофункциональной. В зависимости от степени воздействия на внешнюю среду и характера взаимодействия с другими системами, функции можно распределить по возрастающим рангам:   - пассивное существование, материал для других систем (мебель в офисе);

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем обслуживание системы более высокого порядка (выключатель в компьютере); противостояние другим системам, среде (выживание, охранная система, система защиты); поглощение (экспансия) других систем и среды (уничтожение вредителей растений, осушение болот); преобразование других систем и среды (компьютерный вирус, пенитенциарная система).   Функция в математике. Функция — это одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Формально функцию можно определить так: Элемент множества Еy произвольной природы называется функцией элемента х, определённой на множестве Еx произвольной природы, если каждому элементу х из множества Еx соответствует единственный элемент у € Еy. Элемент х называется независимой переменной, или аргументом. Функция может задаваться: аналитическим выражением, словесным определением, таблицей, графиком и т. д.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Функция как кибернетическое понятие. Философское определение отвечает на вопрос: «Что может делать система?». Этот вопрос правомерен как для статических, так и для динамических систем. Однако для динамических систем важен ответ на вопрос: «Как она это делает?». В этом случае, говоря о функции системы, будем иметь в виду следующее:   Функция системы — это способ (правило, алгоритм) преобразования входной информации в выходную.   Функцию динамической системы можно представить логико-математической моделью, связывающей входные (X) и выходные (Y) координаты системы, — моделью «вход-выход»: Y = F(Х), где F - оператор (в частном случае некоторая формула), называемый алгоритмом функционирования, — вся совокупность математических и логических действий, которые нужно произвести, чтобы по данным входам Х найти соответствующие выходы Y.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Удобно было бы представить оператор F в виде некоторых математических соотношений, однако это не всегда возможно. В кибернетике широко используется понятие «чёрный ящик». «Чёрный ящик» является кибернетической моделью или моделью «вход-выход», в которой не рассматривается внутренняя структура объекта (либо о ней абсолютно ничего не известно, либо делается такое допущение). В этом случае о свойствах объекта судят только на основании анализа его входов и выходов. (Иногда употребляют термин «серый ящик», когда о внутренней структуре объекта всё же что-либо известно.) Задачей системного анализа как раз и является «осветление» «ящика» — превращение чёрного в серый, а серого — в белый. Условно можно считать, что функция F состоит из структуры St и параметров : F={St,A}, что в какой-то мере отражает соответственно структуру системы (состав и взаимосвязь элементов) и её внутренние параметры (свойства элементов и связей).

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.1.5. Функционирование системы Функционирование рассматривается как процесс реализации системой своих функций. С кибернетической точки зрения: Функционирование системы — это процесс переработки входной информации в выходную. Математически функционирование можно записать так: Y(t) = F(X(t)). Функционирование описывает, как меняется состояние системы при изменении состояния её входов. 3.1.6. Состояние функции системы Функция системы является ее свойством, поэтому можно говорить о состоянии системы в заданный момент времени, указывая ее функцию, которая справедлива в этот момент времени. Таким образом, состояние системы можно рассматривать в двух разрезах: состояние её параметров и состояние её функции, которая, в свою очередь, зависит от состояния структуры и параметров: Знание состояния функции системы позволяет прогнозировать значения её выходных переменных. Это успешно удается для стационарных систем. Систему считают стационарной, если её функция практически не изменяется в течение определенного периода ее существования.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Для такой системы реакция на одно и то же воздействие не зависит от момента приложения этого воздействия. Ситуация значительно осложняется, если функция системы меняется во времени, что характерно для нестационарных систем. Систему считают нестационарной, если её функция изменяется со временем. Нестационарность системы проявляется различными её реакциями на одни и те же возмущения, приложенные в разные периоды времени. Причины нестационарности системы лежат внутри неё и заключаются в изменении функции системы: структуры (St) и/или параметров (А). Иногда стационарность системы рассматривают в узком смысле, когда обращают внимание на изменение только внутренних параметров (коэффициентов функции системы).  

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Пример. Рассмотрим зависимость прибыли от продажи некоторого товара (П) от цены на него (Ц). Пусть сегодня эта зависимость выражается математической моделью: П=-50+30Ц-3Ц2 Если через некоторое время изменится ситуация на рынке, то изменится и наша зависимость – она станет например такой: П=-62 + 24Ц -4Ц2 3.1.7. Режимы динамической системы Следует различать три характерных режима, в которых может находиться динамическая система: равновесный, переходной и периодический. Равновесный режим (равновесное состояние, состояние равновесия) — это такое состояние системы, в котором от может находиться сколь угодно долго в отсутствие внешних возмущающих воздействий или при постоянных воздействиях. Однако надо понимать, что для экономических и организационных систем понятие «равновесие» применимо достаточно условно.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Пример. Простейший пример равновесия — шарик, лежащий на плоскости. Под переходным режимом (процессом) будем понимать процесс движения динамической системы из некоторого начального состояния к какому-либо её установившемуся режиму – равновесному или периодическому. Периодическим режимом называется такой режим, когда система через равные промежутки времени приходит в одни и те же состояния.   3.2. Статические и динамические свойства динамических систем 3.2.1. Статические и динамические модели По признаку учёта зависимости объекта моделирования от времени различают статические и динамические характеристики систем, отражаемые в соответствующих моделях. Статические модели (модели статики) отражают функцию системы - конкретное состояние реальной или проектируемой системы (своего рода его «мгновенную фотографию»)

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Примеры. Закон Ома, описание показателей эффективности организацией в некоторый момент времени. Динамические модели (модели динамики) отражают функционирование системы – процесс изменения состояний реальной или проектируемой системы. Они показывают различия между состояниями, последовательность смены состояний и развитие событий с течением времени. Примеры. Описание процесса изменения спроса на какой-либо товар под влиянием рекламы, изменение температуры электроплиты при её включении, описание процесса изменения показателей эффективности за некоторый период времени. Отличие статических и динамических моделей заключено в учёте времени: в статике его как бы не существует, а в динамике это основной элемент.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.2.2. Статические характеристики систем В узком смысле к статической характеристике системы можно отнести её структуру. Однако нас чаще будут интересовать свойства системы по преобразованию ходов и выходов (т.е. функция системы) в установившемся режиме, когда отсутствуют изменения значений как входных, так и выходных переменных. Такие свойства определяются как статические характеристики. Статическая характеристика - это зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме. Статическая характеристика может быть представлена: математической моделью вида Y = F(X) графической моделью. Пример. Статическая характеристика в виде математической модели вида у = a + bх графически будет выглядеть как график прямой линии.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.2.3. Динамические характеристики систем Следующий шаг в исследовании систем состоит в том, чтобы понять и описать, как система «работает», что происходит с ней самой и с окружающей средой в ходе реализации поставленной цели. Для описаний функционирования системы используются динамические модели. Для разных объектов и систем разработано большое количество динамических моделей, описывающих процессы с различной степенью детальности: от самого общего понятия динамики, движения вообще, до формальных математических моделей конкретных процессов типа уравнений движения в механике или волновых уравнений в теории поля. Свойства динамических систем определяет динамические характеристики. Динамическая характеристика - это реакция системы на возмущение (зависимость изменения выходных переменных входных и от времени). Динамическая характеристика может быть представлена: математической моделью в виде дифференциального уравнения математической моделью в виде решения дифференциального уравнения

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем графической моделью, состоящей из двух графиков: графика изменения возмущения во времени и графика реакции выхода на это возмущение - графической зависимости изменения выхода во времени.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.2.4. Элементарные динамически звенья. При исследовании динамики систем часто невозможно составить математическое описание всей системы сразу. Для облегчения этой задачи систему разбивают на отдельные элементы и для каждого из них составляют дифференциальные уравнения, которые записываются на основе соответствующих физических законов. Для отображения динамических свойств элементов системы независимо от их физической природы используют понятие динамического звена. Динамическое звено – это часть системы или элемента, описываемая определенным дифференциальным уравнением. Динамическим звеном можно представить элемент, совокупность элементов, автоматическую систему в целом.   Любую динамическую систему можно условно разложить на динамические «атомы» – элементарные динамические звенья. Упрощенно элементарным динамическим звеном можно считать звено с одним входом и одним выходом.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Элементарное звено должно быть звеном направленного действия: звено передает воздействие только в одном направлении с входа на выход, так что изменение состояния звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на вход. Поэтому при разбиении системы на звенья направленного действия математическое описание каждого звена может быть составлено без учета связей его с другими звеньями. Соответственно математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность независимых друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями. Дифференциальные уравнения элементов имеют порядок не выше второго, поэтому типовые звенья описываются дифференциальными уравнениями нулевого, первого и второго порядка. Таким образом, разновидностей элементарных динамических звеньев немного, и все многообразие конструктивных элементов схем с точки зрения общности их динамических характеристик можно свести к небольшому числу эквивалентных им звеньев. Для линейных систем можно выделить ограниченную совокупность элементарных динамических звеньев, которых образуют своего рода «таблицу Менделеева» динамики.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Все звенья различают по виду уравнений, определяющих характеристики переходных процессов, возникающих в них при одинаковых исходных условиях и одинаковом виде возмущения. Для оценивания поведения элементарного звена обычно на его вход подают тестовые сигналы определенной формы. Наиболее часто используются такие виды возмущающих сигналов. 1. Ступенчатое воздействие : a(t)= 0 при t<0 =а при t>=0 Частым случаем ступенчатого воздействия является единичное воздействие, которое описывается так называемой единичной функцией: x(t)=0 при t<0 =1 при t>=0

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 2. Импульсное воздействие (единичный импульс или дельта функция) x(t) = σ(t) : σ(t)=∞ при t=0 и σ(t)=0 при t=<>0 Следует заметить, что σ (t) и единичная ступенчатая функция связаны соотношением: σ(x)= d1(t)/dt 3. Периодический сигнал: либо в виде синусоиды, либо в виде прямоугольной волны.   3.2.5. Виды типовых звеньев и их переходные функции Воздействие на вход системы вызывает изменение её выхода y(t) – переходный процесс, именуемый переходной функцией. Переходная (временная) функция — это реакция выходной переменной звена на изменение входа. В дальнейшем мы будем рассматривать типовые звенья и характер изменения их выходов при единичном ступенчатом возмущении. В частности, будем анализировать такие динамические характеристики каждого звена: дифференциальное уравнение, его описывающее, его частное решение и переходную функцию звена при единичном воздействии — кривую разгона h(t). Таким образом, h(t) = y(t) при x(t) = 1(t).

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем В случае импульсного возмущения переходная характеристика называется весовой или импульсной переходной функцией и обозначается g(t), т. е. g(t) = y(t) при x(t) = σ(t); при этом: g(t)=h’(t)=dh/dt Обычно при исследовании динамики значения выхода и входа рассматривают не в абсолютных значениях, а в отклонениях от некоторых установившихся значений, т. е. в начальном установившемся режиме x(0) = 0 и у(0) = 0. Безынерционное звено (усилительное, безъёмкостное, масштабирующее или пропорциональное) описывается уравнением: y(t) = kx(t), где k — коэффициент пропорциональности или усиления (здесь и во всех последующих уравнениях).

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Примеры. 1. Газовая плита: при повороте ручки регулировки расхода газа практически мгновенно устанавливается новая температура пламени. 2. Швейная машина: при повороте ее колеса практически мгновенно иголка займет новое положение. Рис. 3.5. Реакция безынерционного (а) и инерционного (б) звеньев.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Инерционное звено (апериодическое, ёмкостное, релаксационное) описывается дифференциальным уравнением: Ty’(t) + y(t) = kx(t) При возмущении звена единичным ступенчатым воздействием его переходный процесс описывается уравнением y(t) = kx(t)(1-e-t/T) где Т — постоянная времени, определяемая ёмкостью звена и его пропускной способностью. Постоянная времени — это условное время изменения выходной величины от начального значения до нового установившегося значения, если бы изменение происходило с постоянной скоростью.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Переходная функция звена представлена на рис. 5.5.5. Скорость изменения функции характеризуется её производной. Поскольку графически производная в заданной точке определяется как тангенс угла наклона касательной в этой точке, то Т можно определить, проведя касательную к точке наибольшей крутизны кривой разгона от оси времени до асимптоты — установившегося значения выходной переменной у (линии, к которой у стремится). Постоянную времени можно определить и как время, за которое выходная переменная достигнет 63 % своей установившейся величины: при t — Т получаем: y(t) = k(1 – e-l) = k(1 – 0,37) =0,63k Пример При увеличении затрат на рекламу какого-либо товара новый устойчивый спрос на этот товар устанавливается также с динамическим запаздыванием.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Дифференцирующее звено. Идеальное (безынерционное) дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением: y(t) = kx'(t) Переходная функция звена представлена на рис. Во всех точках, кроме нулевой, значение у равно нулю; в нулевой точке у за бесконечно малое время «успевает» увеличиться до бесконечности и вернуться в ноль. Такого, конечно, в реальной жизни быть не может, поэтому рассмотрим «реальный» вариант дифференцирующего звена – реальное дифференцирующее звено. Рис. Реакция идеального (безынерционного) звена

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Реальное дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением, в котором, в отличие от реального звена, дополнительно появляется инерционный член Ty'(t): Ty'(t) + y(t) = kx'(t) При возмущении звена единичным ступенчатым воздействием переходный процесс в звене описывается уравнением: y(t)=kx(t)e-t/T Переходная функция звена представлена на рис. 3.6.б. Реальное дифференцирующее звено не является элементарным его можно заменить соединением двух звеньев: идеального дифференцирующего и инерционного: Z=kx' и Ty’ + y = kz Пример. Рассмотрим связь спроса и цены на товар повседневного спроса, например хлеб. При повышении цены на товар в первый же момент произойдет спад спроса на некоторую величину, но в дальнейшем он будет повышаться практически до первоначального уровня.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Интегрирующее звено (астатическое, нейтральное) описывается дифференциальным уравнением y(t) = kx(t). Переходный процесс в звене описывается решением этого уравнения: y(t)=k*in(0,t)x(τ) d(τ) при x(t) = l(t) получаем y(t) = kt. Переходная функция звена представлена на рис.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Примеры. 1. Изменение уровня в ёмкости при несбалансированности прихода и расхода жидкости. 2. Изменение количества товара на складе при неравенстве его поступления и отпуска.   Колебательное звено в общем виде описывается следующим уравнением: T1y" + T2y'(t) + y(t) = kx(t) Колебательное звено получается при наличии в нём двух ёмкостных элементов, способных запасать энергию двух видов и взаимно обмениваться этими запасами. Звено чистого (транспортного) запаздывания повторяет по форме входной сигнал, но с запаздыванием по времени. y(t) = kx(t - τ), где τ - время запаздывания.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.3. Пространство состояний   Поскольку свойства системы выражаются значениями ее выходов, то состояние системы можно определить как вектор значений выходных переменных Y = (y1,..,ym). Выше говорилось (см. разд. 3.1.1), что среди составляющих вектора Y, кроме непосредственно выходных переменных появляются произвольные от них. Поведение системы (её процесс) можно изображать разными способами. Например, при m выходных переменных могут быть следующие формы изображения процесса: в виде таблицы значений выходных переменных для дискретных моментов времени t1,t2…tk; в виде m графиков в координатах yi - t, i = 1 ,..., m; в виде графика в m-мерной системе координат. Остановимся на последнем случае. В m-мерной системе координат каждой точке соответствует определённое состояние системы. Множество возможных состояний системы Y (Y Є Y) рассматривают как пространство состояний (или фазовое пространство) системы, а координаты этого пространства называют фазовыми координатами. В фазовом пространстве каждый его элемент полностью определяет состояние системы. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется фазовой, или изображающей, точкой.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Фазовая траектория — это кривая, которую описывает фазовая точка при изменении состояния невозмущенной системы (при неизменных внешних воздействиях). Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом. Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики.   Построить и наглядно представить фазовый портрет можно только на плоскости, т. е. когда фазовое пространство является двухмерным. Поэтому метод фазового пространства, который в случае двухмерного фазового пространства называется методом фазовой плоскости, эффективно используется для исследования систем второго порядка. Фазовой плоскостью называется координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы. Неподвижными (особыми или стационарными) называются точки, положение которых на фазовом портрете с течением времени не изменятся. Особые точки отражают положения равновесия.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Использование фазовой плоскости вполне оправдано, поскольку состояние системы как минимум определяется двумя переменными: значением выходной координаты системы и скоростью ее изменения. В дальнейшем будем считать, что на оси абсцисс фазовой плоскости откладываются значения выходной координаты y1 = y, а на оси ординат - скорость её изменения y2 = y' (рис. 5.11). Тогда для фазовых траекторий невозмущенной системы справедливы следующие свойства: через одну точку фазовой плоскости проходит только одна траектория; в верхней полуплоскости изображающая точка движется слева направо, а в нижней - соответственно наоборот; на оси абсцисс производная dy2/dy1 = ∞ всюду, за исключением точек равновесия, поэтому фазовые траектории пересекают ось абсцисс (в неособых точках) под прямым углом. Линейная система имеет единственную особую точку - начало координат. Нелинейные системы характеризуются большим разнообразием фазовых портретов - они могут иметь несколько особых точек.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 3.4. Устойчивость динамических систем.   Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем и является фундаментальным понятием, используемым в физике, биологии, технике, экономике, а также кибернетике. Понятие устойчивости применяется для описания постоянства какой-либо черты поведения системы, понимаемого в весьма широком смысле. Это может быть постоянство состояния системы (его неизменность во времени) или постоянство некоторой последовательности состояний, «пробегаемых» системой в процессе ее движения, или постоянство числа определенного биологического вида, живущего на земном шаре, и т. п. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушения последних. Устойчивость есть категория, относящаяся, прежде всего, к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, называют устойчивым состоянием равновесия. Состояние устойчивости (устойчивое состояние) – это такое равновесное состояние системы, в которое, она возвращается после снятия возмущающих воздействий.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Устойчивость в экономических системах, несмотря на кажущуюся аналогию с техническими, — гораздо более сложное понятие. Поэтому использовать это понятие для экономических систем можно только условно, в основном для предварительного описания их поведения. Об устойчивости и всевозможных движениях системы можно судить по фазовому портрету. Фазовый портрет в окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит одному и только одному из трёх типов точек: асимптотически устойчивой; нейтрально устойчивой; неустойчивой. Точная и строгая формулировка понятия устойчивости применительно к состоянию равновесия динамической системы была дана выдающимся русским учёным Александр Михайлович Ляпуновым. Неподвижная точка системы а называется устойчивой (или аттрактором), если для любой окрестности N точки а существует некоторая меньшая окрестность этой точки N' € N, такая, что любая траектория, проходящая через N', остается в N при возрастании t.

Содержание слайда: В более широком понятии аттрактор определяется следующим образом: Аттрактор (от лат. attraho - притягиваю к себе) - область устойчивости, куда стремятся траектории в фазовом пространстве. Аттракторы могут быть обычными точками в фазовом пространстве, а могут иметь более сложную топологию, являясь, к примеру, замкнутыми кривыми (так называемыми предельными циклами). Неподвижная точка системы а называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и, кроме того, существует такая окрестность N точки, где любая траектория, проходящая через N, стремится к а при t →∞. Любая асимптотически устойчивая неподвижная точка устойчива. Но не каждая устойчивая неподвижная точка является асимптотически устойчивой. Неподвижная точка системы а, которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой. Неподвижная точка системы, которая не является устойчивой, называется неустойчивой (или репеллером). Репеллер (от лат. repelIо — отталкиваю, отгоняю) — область в фазовом пространстве, где траектории, даже начинающиеся очень близко от особой точки, отталкиваются от неё. Это значит, что существует такая окрестность N неподвижной точки, что для любой окрестности N’ € N имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через N' и не остаётся в N.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Резюме 1. Состояние системы в определенный момент времени - это множество её существенных свойств в этот момент времени. 2. Различают состояние входов системы, ее внутреннее состояние и состояние выходов. Поскольку внутреннее состояние практически ненаблюдаемо, то его можно оценивать по состоянию выходов (значениям выходных переменных) системы. При этом в качестве координат, отражающих состояние системы, могут выступать не только сами выходные переменные, но и характеристики их изменения: скорость, ускорение и т. д. 3. Последовательную смену состояний будем называть процессом. 4. В зависимости от того, изменяется ли состояние системы со временем, различают статические системы, не изменяющие свое состояние, и динамические системы, изменяющие свое состояние. 5. Важной характеристикой системы является ее функция, которая рассматривается, с одной стороны, как назначение, с другой — как способ (правило, алгоритм) преобразования входной информации в выходную. 6. Процесс реализации системой своих функций называют функционированием. 7. Если функция системы практически не изменяется со временем, то ее считают стационарной. Для нее реакция на одно и то же воздействие не зависит от момента приложения этого воздействия. Если функция системы изменяется со временем, то её считают нестационарной.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем 8. Динамическая система может находиться в одном из трех характерных режимов: равновесном, переходном и периодическом. 9. По признаку учёта зависимости объекта моделирования от времени различают статические и динамические характеристики систем, отражаемые в соответствующих моделях. 10. Статическая характеристика показывает зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме, а динамическая — реакцию системы на возмущение (зависимость изменения выходных переменных от входных и времени). 11. Для отражения динамических свойств элементов системы независимо от их физической природы используют понятие динамического звена. Динамика линейной системы любой природы может включать в себя элементарные динамические процессы, которые можно представить в виде следующих элементарных динамических звеньев: безынерционное, инерционное, дифференцирующее, интегрирующее, колебательное и звено чистого запаздывания. 12. Поведение динамической системы можно изображать: в виде таблицы значений выходных переменных для дискретных моментов времени; в виде множества графиков, показывающих процесс изменения выходных переменных во времени; в виде графика (фазовой траектории) в пространстве состояний (фазовом ространстве).

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Важной характеристикой динамических систем является устойчивость, которая понимается как свойство системы возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушения последних. Литература   Лернер А.Я. Начала кибернетики. — М.: Наука, 1967. — 400 с. Мантуров О.В. и др. Толковый словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — 539 с. Математические модели в госуправлении - http://distance.ru/files/unik/rnat.rnodeLgos/mat_inodel_gos08.html. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. — М Высш. шк., 1989. — 367 с. Системный анализ и структуры управления Г. Шорина Философский словарь. / под ред. М.М. Розенталя. — М.: Политиздание 1972. — 496 с.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Контрольные вопросы и задания   Дайте определение процесса. Как можно оценить внутреннее состояние системы? Дайте определение процесса. Как можно описать процесс? Дайте определение: статической системы; динамической системы. Дайте определение понятия «функция». Расположите функции по возрастающим рангам Нарисуйте графическую модель «черного ящика» Что понимается под функционированием? Покажите математическую модель функционирования Дайте определение: стационарной системы; нестационарной системы. В чем заключаются причины нестационарности?

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем   Как проявляется нестационарность в математических моделях? В каких режимах может находиться динамическая система? Дайте определение: состояния равновесия; переходного режима; периодического режима. Что описывает модель статики системы? Приведите пример статической характеристики. Что описывает модель динамики системы? Приведите пример динамической характеристики. Приведите примеры моделей динамической системы. Дайте определение переходного процесса. Перечислите виды возмущающих сигналов, используемых при исследовании динамических характеристик системы. Дайте определение переходной функции.

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем   Напишите уравнение и приведите примеры: безынерционного звена; инерционного звена; идеального дифференцирующего звена; реального дифференцирующего звена; интегрирующего звена; колебательного звена; звена чистого запаздывания; инерционного звена второго порядка. Изобразите переходные функции для всех видов звеньев при ступенчатом воздействии. Перечислите формы отображения переходных процессов. Дайте определение: пространства состояний; фазовой точки; фазовой траектории; фазового портрета; особой точки. Перечислите свойства фазовых траекторий. Изобразите пример: равновесного режима в пространстве состояний; переходного режима в пространстве состояний; периодического режима в пространстве состояний. Что понимается под устойчивостью?

Содержание слайда: Системный анализ и теория систем Объясните понятие «состояние устойчивости». Что мы называем устойчивым состоянием равновесия? Какую неподвижную точку мы называем устойчивой? Какую неподвижную точку мы называем асимптотически устойчивой? Какую неподвижную точку мы называем нейтрально устойчивой? Дайте определение аттрактора. Дайте определение репеллера. Какую неподвижную точку мы называем неустойчивой? В чем отличие устойчивости линейных и нелинейных систем?