Презентация Статистическая теория погрешностей измерения онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: План лекции 1 Классификация погрешностей 2 Методы описания случайных погрешностей измерения 3 Закон распределения погрешности несинхронизированного квантования априорно неизвестного временного интервала 4 Закон распределения погрешности несинхронизированного квантования фиксированного временного интервала 5 Доверительное значение погрешности 6 Показатели точности измерений, рекомендованные ГОСТ 8.011-72 7 Погрешности косвенных измерений 8 Цели статистической обработки результатов многократных измерений. Требования, предъявляемые к статистическим оценкам 9 Методы повышения эффективности оценок

Содержание слайда: План лекции 10 Определение доверительного значения погрешности результата измерения 11 Обработка неравноточных измерений 12 Определение законов распределения по результатам многократных измерений 13 Критерий Пирсона 14 Критерий Колмогорова 15 Обнаружение промахов

Содержание слайда: Погрешности измерений При любой степени совершенства измерительной аппаратуры, при любой тщательности погрешности выполнения, результат измерения всегда будет отличаться от истинного значения измеряемой величины. При любых измерениях неизбежны погрешности. Физическая величина – свойство, общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении – индивидуальное для каждого объекта. Результат измерения с учетом погрешности измерений: где Aизм – измеренное значение; A0 – истинное значение физической величины; ΔA – погрешность измерения.

Содержание слайда: Погрешности измерений Абсолютная погрешность измерений: Относительная погрешность измерений: С учетом погрешности, результат измерения записывается следующим образом: 256 мВ ± 0.3 мВ

Содержание слайда: Классификация погрешностей 1. По слагаемым измерения погрешность преобразования; погрешность меры; погрешность сравнения; погрешность фиксации. Для цифровых приборов погрешность сравнения есть погрешность квантования, погрешность фиксации равна нулю

Содержание слайда: Классификация погрешностей 2. По источнику возникновения погрешности методическая – погрешность метода измерения, используемых формул и других упрощающих допущений; аппаратурная (инструментальная) – данная погрешность зависит от вида схемы и типов применяемых элементов; внешняя – от внешних условий эксплуатации прибора; субъективная (личностная) – данная погрешность обусловлена личностными качествами оператора, т.е. разные операторы могут получить разные результаты измерений; все зависит от опыта, тщательности выполнения измерений и т.д.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 3. По условиям проведения измерений основная погрешность – погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях эксплуатации; дополнительная погрешность – погрешность средства измерений, эксплуатируемого в условиях, отличающихся от нормальных. Условия проведения измерений: температура окружающей среды, давление, влажность, напряжение питающей сети. В соответствии с ГОСТ 9763-67 нормальными считаются следующие условия: температура: 20°C ± 5% – рабочие средства измерений, 20°С ± 10% – образцовые СИ; влажность: 65% ± 15% при t = 200 С; атмосферное давление: 750 мм рт. ст; сеть: частота – 50 Гц, напряжение – 220 В ± 2%.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 4. По способу выражения погрешности абсолютная погрешность – погрешность определяемая из выражения: где Aизм – измеренное значение; A0 – истинное значение физической величины; ΔA – погрешность измерения. относительная погрешность (обычно выражают в процентах): приведенная погрешность средства измерений – отношение абсолютной погрешности к длине шкалы измерительного прибора, выражается, как правило, в процентах: где L – длина шкалы измерительного прибора, ΔAmax - максимальное значение абсолютной основной погрешности измерительного прибора.

Содержание слайда: Классификация погрешностей Класс точности Класс точности измерительного прибора – обобщенная характеристика его точности, но не непосредственный ее показатель. Класс точности измерительного прибора δк.п. численно равен наибольшей допустимой приведенной основной погрешности, выраженной в процентах, δк.п.=δLA max . Значения классов точности измерительных приборов присваивают из ряда, составленного из следующих предпочтительных чисел: где n = 1; 0; –1; –2; … Значение максимальной абсолютной основной погрешности измерительного прибора можно вычислить по его классу точности: При работе с многопредельными измерительными приборами необходимо проводить измерения вблизи конечного деления шкалы прибора, поскольку в этом случае относительная погрешность будет меньше.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 5. По способу взаимодействия со значением измеряемой величины Аддитивная погрешность – это погрешность нуля прибора, она не зависит от текущего значения измеряемой величины. ΔA0=const

Содержание слайда: Классификация погрешностей 5. По способу взаимодействия со значением измеряемой величины Мультипликативная погрешность – зависит от значения измеряемой величины. где ΔAM – абсолютная мультипликативная погрешность пропорциональная измеряемой величине; δAm - относительное значение мультипликативной погрешности, не зависящее от значения измеряемой величины.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 5. По способу взаимодействия со значением измеряемой величины При наличии аддитивной и мультипликативной погрешностей:

Содержание слайда: Классификация погрешностей 6. По характеру поведения измеряемой величины статическая погрешность Δст; динамическая погрешность Δд; погрешность в динамическом режиме ΔΣ.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 6. По характеру поведения измеряемой величины Исходя из теории случайных процессов, динамическую погрешность можно исключить если обеспечить выполнение условия: где τкор - время корреляции входного измеряемого сигнала; τпр=RC - постоянная времени прибора.

Содержание слайда: Классификация погрешностей 7. По закономерности проявления Систематическая – погрешность, постоянная по величине и знаку. Систематическую погрешность можно заранее изучить и исключить ее путем введения соответствующих поправок. Для исключения влияния систематических погрешностей также применяют поверку измерительных приборов. Поверкой называется совокупность действий, производимых с целью оценки погрешностей средств измерений и установления их пригодности к применению. Случайная – погрешность, величина и знак которой заранее не могут быть предсказаны. Ряд измерений, в которых присутствует случайная погрешность имеет, например вид: 21.0, 21.1, 21.2, 21.1. Промах – это грубое искажение результатов измерений. Промахи должны быть исключены из обработки. Для этого существуют критерии их обнаружения, например критерий Романовского.

Содержание слайда: Законы распределения Наиболее полной характеристикой случайной погрешности измерения является закон ее распределения. К законам распределения погрешностей относятся функция распределения погрешности F(Δ) или плотность распределения: Погрешности измерения могут иметь различные законы распределения.

Содержание слайда: Законы распределения 1. Нормальный закон распределения Для нормального закона распределения плотность вероятности f(Δ) задается в виде выражения: где m – математическое ожидание погрешности, σ – среднеквадратическое отклонение погрешности , представляющее собой квадратный корень из дисперсии погрешности. Функция распределения (интегральная) для нормального закона определяется как:

Содержание слайда: Законы распределения 1. Нормальный закон распределения Нормированная случайная величина:

Содержание слайда: Законы распределения 1. Нормальный закон распределения Интегралы вероятностей: Теорема Ляпунова: Закон распределения суммы независимых случайных величин при большом их числе и при малом вкладе каждой из них в суммарный процесс стремится к нормальному тем ближе, чем более n стремится к бесконечности.

Содержание слайда: Законы распределения 2. Равномерный закон распределения

Содержание слайда: Априорно неизвестный временной интервал Закон распределения погрешности несинхронизированного квантования априорно неизвестного временного интервала Измеритель временных интервалов: ОИ – опорный импульс; ИИ – интервальный импульс; Т – RS-триггер; СС – схема совпадений; ГТИ – генератор тактовых импульсов; СЧ – счетчик; Инд – цифровой индикатор

Содержание слайда: Априорно неизвестный временной интервал Синхронизированное квантование: Несинхронизированное квантование: Распределение Δtн, Δtк: Распределение Симпсона:

Содержание слайда: Фиксированный временной интервал

Содержание слайда: Фиксированный временной интервал

Содержание слайда: Доверительное значение погрешности Доверительное значение погрешности соответствует половине доверительного интервала при заданной доверительной вероятности . Доверительное значение погрешности определяется на основе решения следующего уравнения: где t – коэффициент, зависящий от вида закона распределения и значения доверительной вероятности.

Содержание слайда: Доверительное значение погрешности Для экспоненциальных законов распределения: где ε –эксцесс распределения Для уплощенных законов распределения: Для кругловершинных двумодальных законов распределения: Для островершинных двумодальных законов распределения:

Содержание слайда: Доверительное значение погрешности Все три зависимости пересекаются в окрестности точки с координатами Pд=0.9, при этом t=1.6.

Содержание слайда: Показатели точности измерений Обозначение погрешности в соответствии с ГОСТ 8.011–72: где Δ – общая (суммарная) погрешность измерения, Δс – систематическая составляющая погрешности измерения, – случайная составляющая погрешности. В соответствии с ГОСТ, точность измерений выражается следующими способами: Интервалом, в котором с установленной вероятностью находиться суммарная погрешность измерения. Интервалом, в котором с установленной вероятность находиться систематическая составляющая погрешности измерения, стандартной аппроксимацией функции распределения случайной погрешности измерения и ее среднеквадратическим значением.

Содержание слайда: Показатели точности измерений Стандартные распределения, рекомендации: Равномерный закон распределения Усеченный нормальный Усеченный релеевский Островершинный и плосковершинный закон распределения. Стандартными аппроксимациями функций распределения статистической и случайной составляющих погрешностей измерения и их средними квадратическими отклонениями. Функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

Содержание слайда: Погрешности косвенных измерений При косвенном измерении результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вычислений. Наличие погрешности прямых измерений приводит к тому, что окончательный результат, т.е. результат косвенного измерения, также имеет погрешность. Примером косвенных измерений является задача определения коэффициента передачи цепи. Рассмотрим простейший случай, когда неизвестная величина является непрерывной и дифференцируемой функцией двух других величин x и y, определяемых результатами прямых измерений: С учетом погрешностей, выражение может быть записано в виде: Разложим функцию f(x,y) в ряд Тейлора в окрестностях точки Ax, Ay :

Содержание слайда: Погрешности косвенных измерений где Rxy – корреляционный момент погрешностей Δx и Δy.

Содержание слайда: Погрешности косвенных измерений где f(x,y) – совместная плотность распределения случайных величин x и y. Коэффициент корреляции:

Содержание слайда: Погрешности косвенных измерений При работе с системой нескольких случайных величин, корреляционные моменты связи записывают в виде корреляционной матрицы: В случае, если величины некоррелированы:

Содержание слайда: Погрешности косвенных измерений Среднеквадратическая погрешность результата косвенного измерения определяется в соответствии с выражением: Если случайные величины некоррелированы: В случае, когда результат косвенного измерения является функцией n прямых измерений, получим:

Содержание слайда: Требования, предъявляемые к статистическим оценкам Оценки истинного значения измеряемой величины и ее погрешности является статистическими оценками. Требования, предъявляемые к статистическим оценкам: Состоятельность Оценка некоторой истинной величины называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она стремится к истинному значению оцениваемой величины: Несмещенность Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины Эффективность Оценка называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией из всех возможных оценок

Содержание слайда: Методы повышения эффективности оценок В зависимости от полноты имеющейся измерительной информации и допустимой сложности алгоритмов оценивания используются следующие способы оптимизации оценок, приведенные в порядке усложнения алгоритмов оценивая и увеличения полноты имеющейся информации: Наименьших квадратов. Взвешенных наименьших квадратов. Необходимо знать дисперсии результатов измерений Средний квадратический. Необходимо знать числовые характеристики системы случайных величин Максимального правдоподобия. Необходимо знание законов распределения результатов измерений Максимума апостериорной вероятности (Байесовский критерий). Необходимо знать совместные плотности распределения результатов измерений и оценок: , и априорную плотность распределения оценки

Содержание слайда: Методы повышения эффективности оценок Метод наименьших квадратов (МНК) Суть МНК состоит в минимизации суммы квадратов разностей результатов измерений и оценки: При отсутствии априорных данных об измеряемой величине, в качестве оценки истинного значения следует брать среднее арифметическое измеренных значений

Содержание слайда: Методы повышения эффективности оценок Метод максимума функции правдоподобия Функцией правдоподобия оценки называется условная плотность распределения: Эффективная оценка соответствует максимуму функции правдоподобия

Содержание слайда: Определение доверительного значения погрешности Доверительное значение погрешности оценки истинного значения результата измерения можно рассчитать по формуле: где - статистическая оценка среднеквадратической погрешности исходных данных; - оценка истинного значения измеряемой величины, найденная по n результатам измерений При нормальном законе распределения исходных данных доверительное значение погрешности оценки, полученной путем усреднения, находят с использованием распределения Стьюдента, которое имеет случайная величина: доверительное значение погрешности оценки истинного значения находят с использованием соотношения:

Содержание слайда: Обработка неравноточных измерений Неравноточными называются измерения, выполненные при различных условиях. Математические ожидание результатов этих измерений одинаково, если они независимы и свободны от систематических погрешностей: Среднеквадратические погрешности таких измерений различны: Для оценки действительного значения измеряемой величины используют общее арифметическое среднее, также называемое как среднее взвешенное или весовое среднее, определяемое в соответствии в выражением: где gi - вес i-го результата измерения Значения весовых коэффициентов определяют так, чтобы оценка истинного значения была несмещенной:

Содержание слайда: Обработка неравноточных измерений Эффективность оценки обеспечивается минимизацией дисперсии:

Содержание слайда: Обработка неравноточных измерений Веса результатов измерений должны быть обратно пропорциональны дисперсиям результатов соответствующих измерений:

Содержание слайда: Обработка неравноточных измерений В случае равноточных измерений: Выражение для нахождения среднего арифметического является частным случаем общего арифметического среднего, используемого для оценки истинного значения результатов неравноточных измерений. Учет с соответствующими весами всех результатов измерений, в том числе и грубых, приводит к уменьшению среднеквадратической погрешности оценки по сравнению с результатами наиболее точных измерений.

Содержание слайда: Определение законов распределения по результатам многократных измерений Выражение точности результатов измерений в виде числовых характеристик (дисперсия, среднеквадратическое значение погрешности) является неполным и часто не достаточно объективным. Наиболее полным описанием погрешности измерений является закон распределения. Зная закон распределения, можно определить любое значение погрешности, в том числе и доверительное. Истинные законы распределения измеряемых величин на основе многократных измерений можно определить лишь при бесконечном числе измерений (n→∞). Статистической функцией распределения случайной величины называется частота события X<x в данном статистическом ряде: где m – число измерений, значения которых ≤x , n – общее число измерений.

Содержание слайда: Определение законов распределения по результатам многократных измерений Статистический ряд строят в следующей последовательности: Результаты измерений располагают в порядке их возрастания, т.е. в вариационный ряд. Полученный ряд делят на m разрядов, для каждого из которых находят частоту, соответствующую данному разряду. Статистический ряд часто оформляют в виде графика, которой называется гистограммой: Гистограмма строится таким образом, чтобы значения площади каждого из разрядов были равны значению статистической частоты каждого из разрядов

Содержание слайда: Определение законов распределения по результатам многократных измерений Гистограмма представляет собой статистический аналог плотности распределения f(x). Высота каждого из разрядов должна быть равна: Используя данные статистического ряда можно приближенно построить статистическую функцию распределения F*(x). В качестве точек для вычисления значений F*(x) удобно брать границы статистического ряда x1,x2,…,xm+1 .

Содержание слайда: Определение законов распределения по результатам многократных измерений Из-за ограниченного набора измерений, возникают отклонения теоретического распределения от статистического. Данные отклонения могут быть вызваны следующим: Чисто случайные причины; Неверно подобран закон распределения. Для решения этой задачи существуют критерии согласия, позволяющие ответить на вопрос, правильно ли подобран закон распределения. Для проверки согласия вводится некоторая величина U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределения. Величина U может быть выбрана различными способами, например в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей Pi и соответствующих частот Pi*.

Содержание слайда: Определение законов распределения по результатам многократных измерений В другом случае может быть использовано максимальное отклонение теоретической функции распределения F(x) от статистической F*(x). Также могут быть подобраны другие критерии.

Содержание слайда: Критерий Пирсона Согласованность теоретического и статистического распределений проверяют по расхождению между теоретическими вероятностями и частотами. Естественно выбрать в качестве меры расхождения между теоретическими и систематическими распределениями сумму квадратов отклонений (Pi*-Pi), взятых с некоторыми весами Ci. Веса разрядов Ci, необходимо брать обратно пропорциональными вероятностям разрядов Pi. К. Пирсон показал, что если выбрать , то при больших n закон распределения величины f(U) обладает весьма простыми свойствами: Он практически не зависит от функции распределения F(x) и от числа опытов n; Зависит только от числа разрядов m, а именно, при увеличении n закон распределения f(U) приближается к так называемому распределению χ2. где m –число разрядов статистического ряда.

Содержание слайда: Критерий Пирсона Распределение χ2 зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы распределения. Число степеней свободы равно: где m – число разрядов статистического ряда, s – число наложенных связей. На распределение могут быть наложены следующие связи: Сумма частот разрядов должна быть равна 1. Данное требование выполняется всегда. Условие равенства математических ожиданий статистического ряда и теоретической функции распределения случайной величины: где – cредина i–го разряда статистического ряда, mx - теоретическое значение математического ожидания.

Содержание слайда: Критерий Пирсона Требование совпадения теоретической и статистической дисперсии: Распределение χ2 дает возможность оценить степень согласования теоретического и статистического распределений. Вероятность P, определенная по таблице, есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем фактически полученное в серии измерений значение χ2 . Если P<0.1, то результат измерений следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины x есть F(x). Если вероятность велика, то можно сказать, что с такой вероятностью закон распределения соответствует теоретическому.

Содержание слайда: Критерий Колмогорова В качестве меры расхождения теоретического и статистического распределений А.Н. Колмогоров предположил максимальное значение модуля разности статистической функции распределения F*(x) и соответствующей теоретической функции распределения F(x): Критерий Колмогорова своей простотой выгодно отличается от рассмотренного ранее критерия Пирсона χ2, поэтому его весьма охотно применяют на практике.

Содержание слайда: Критерий Колмогорова А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была F(x), при неограниченном возрастании числа измерений n вероятность неравенства стремится к пределу: Критерий Колмогорова можно использовать только в том случае, если гипотетическое распределение F(x) полностью известно заранее из каких-либо теоретических предпосылок, т.е. когда известен не только вид F(x), но и входящие в нее числовые параметры.

Содержание слайда: Обнаружение промахов Промахом называется грубое искажение результатов измерений Причинами промахов могут быть следующие: неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из–за неверного учета цепи малых делений шкалы; неправильная запись результата измерения; ошибки при манипуляции с приборами или частями измерительной установки; ошибки, вызванные сбоями аппаратуры, скачками, возникающими в питающей сети. Для обнаружения промахов может быть использовано отбрасывание результатов, содержащих погрешности, превышающие значения 2σ,3σ,3.5σ. Более строгий результат при определении промахов дает критерий Романовского. Постановка задачи: Проведено n+1 измерение случайной величины x: x1,x2,…,xn,xn+1. Значение xn+1 является подозрительным. Необходимо определить, промах это или нет.

Содержание слайда: Обнаружение промахов Решение: По результатам x1,x2,…,xn находят оценку истинного значения и среднеквадратической погрешности в соответствии с выражениями: Находят разности между оценкой истинного значения и подозрительным измерением xn+1: Зададимся вероятностью события: где значение вероятности P выбирают из ряда 0.05, 0.01, 0.005, причем чем больше число проведенных измерений n, тем меньше должна быть P. Находят коэффициент t.

Содержание слайда: Обнаружение промахов Определяют максимально допустимое отклонение результатов измерений от оценки истинного значения: Если: то xn+1 является промахом; если: то xn+1 не является промахом и должно быть оставлено в полученном ряде измерений.