Презентация Теория вероятностей и математическая статистика онлайн

На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Теория вероятностей и математическая статистика абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 147 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Презентации » Образование » Теория вероятностей и математическая статистика



Оцените!
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
  • Тип файла:
    ppt / pptx (powerpoint)
  • Всего слайдов:
    147 слайдов
  • Для класса:
    1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
  • Размер файла:
    1.29 MB
  • Просмотров:
    378
  • Скачиваний:
    3
  • Автор:
    неизвестен



Слайды и текст к этой презентации:

№1 слайд
Теория вероятностей и
Содержание слайда: Теория вероятностей и математическая статистика Для студентов Института экономики СФУ 2011 Т.В. Крупкина

№2 слайд
Лекция . Введение в теорию
Содержание слайда: Лекция 1. Введение в теорию вероятностей Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, то есть разработка и применение математического аппарата для изучения явлений, имеющих случайную природу. Главным обстоятельством, которое определяет границы применимости теории вероятностей, является наличие у изучаемых явлений свойства «статистической устойчивости».

№3 слайд
Равновозможные исходы
Содержание слайда: Равновозможные исходы Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом n всевозможных взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются равновозможными. Пусть А – некоторое событие, связанное с этим исходом. Вероятность p(A) можно определить, как долю тех исходов, в результате которых это событие осуществляется.

№4 слайд
Классическое определение
Содержание слайда: Классическое определение вероятности Пусть n – число всех исходов, n(A) – число благоприятных исходов, в результате которых осуществляется событие A.

№5 слайд
Формулы комбинаторики Число
Содержание слайда: Формулы комбинаторики Число перестановок Число перестановок из n элементов равно

№6 слайд
Выбор без возвращения Число
Содержание слайда: Выбор без возвращения Число размещений С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбрать и разместить по различным местам k из n различных элементов. Формула числа размещений имеет вид:

№7 слайд
Выбор без возвращения Число
Содержание слайда: Выбор без возвращения Число сочетаний С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбора из n элементов k, не учитывая порядок элементов в выбранной последовательности. Формула числа сочетаний имеет вид:

№8 слайд
Статистическое определение
Содержание слайда: Статистическое определение вероятности Пусть рассматриваемый опыт можно повторять многократно, и пусть N – число всех повторений опыта, а N(А) – число тех из них, в которых осуществлялось событие А. Отношение N(А)/N называется частотой события А в данной серии испытаний.

№9 слайд
Статистическое определение
Содержание слайда: Статистическое определение вероятности Практика показывает, что для многих событий частота при больших п мало меняется, колеблясь около некоторого постоянного значения P*, которое можно назвать статистической вероятностью события А,

№10 слайд
Лекция . Основания теории
Содержание слайда: Лекция 2. Основания теории вероятностей Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω.

№11 слайд
Событиями мы будем называть
Содержание слайда: Событиями мы будем называть некоторые наборы элементарных исходов, то есть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество.

№12 слайд
Элементарные события
Содержание слайда: Элементарные события Достоверное событие  наступает при любом исходе. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда. Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

№13 слайд
Комбинации событий Рассмотрим
Содержание слайда: Комбинации событий Рассмотрим комбинации событий, такие, как сумма, произведение, разность и т.д. Поскольку события – это множества исходов, будем использовать соответствующие определения для множеств. Сумма событий соответствует объединению множеств, произведение событий соответствует пересечению множеств и т.д.

№14 слайд
Сумма объединение событий
Содержание слайда: Сумма (объединение) событий Суммой событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A1 или A2: Аналогично определяется

№15 слайд
Противоположное событие
Содержание слайда: Противоположное событие Противоположным событием к событию A называют событие состоящее в том, что событие A не произошло:

№16 слайд
Вероятность в дискретном
Содержание слайда: Вероятность в дискретном пространстве Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно присвоить вероятность каждому элементарному исходу. Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.

№17 слайд
Несчетное множество исходов
Содержание слайда: Несчетное множество исходов Но множество исходов не обязательно конечно или счетно. Пусть, например, опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]. Исходом является любая точка, а множество точек отрезка несчетно. Как ввести вероятность в этом случае? Ответ дает аксиоматика Колмогорова.

№18 слайд
Аксиоматическое определение
Содержание слайда: Аксиоматическое определение вероятности Вероятность события есть числовая функция P(A), удовлетворяющая аксиомам:

№19 слайд
Лекция . Исчисление
Содержание слайда: Лекция 3. Исчисление вероятностей Определение События A и B называются независимыми, если

№20 слайд
Условная вероятность Условной
Содержание слайда: Условная вероятность Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число Считают, что условная вероятность определена только в случае, когда P(B) > 0.

№21 слайд
Теорема сложения
Содержание слайда: Теорема сложения

№22 слайд
Теорема умножения для двух
Содержание слайда: Теорема умножения для двух событий если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(A) > 0, P(B) > 0). Доказательство следует из определения условной вероятности.

№23 слайд
Теорема формула полной
Содержание слайда: Теорема (формула полной вероятности) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn  – полная группа событий (гипотезы), Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

№24 слайд
Теорема формула Байеса Пусть
Содержание слайда: Теорема (формула Байеса) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn  – полная группа событий (гипотезы), Тогда условная вероятность того, что имело место событие Hk, если наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:

№25 слайд
Лекция . Схемы испытаний
Содержание слайда: Лекция 4. Схемы испытаний Схемой испытаний Бернулли  называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода  —  «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью p, а «неудача»  —  с вероятностью q = 1 – p.

№26 слайд
Теорема формула Бернулли
Содержание слайда: Теорема (формула Бернулли) Обозначим через m число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда

№27 слайд
Предельные теоремы для схемы
Содержание слайда: Предельные теоремы для схемы Бернулли При числе испытаний, превышающем 20, вычисление точного значения Pn(m) затруднительно. В этих случаях применяют приближенные формулы, вытекающие из предельных теорем. Различают два случая: когда р мало, используют приближение Пуассона, когда р не мало (и не очень близко к единице), справедливо приближение Муавра –Лапласа.

№28 слайд
Теорема Пуассона Если при n ,
Содержание слайда: Теорема Пуассона Если при n  , р  0 так, что np  , 0 <  < , то для любого фиксированного mN справедливо:

№29 слайд
Приближенная формула Пуассона
Содержание слайда: Приближенная формула Пуассона где  = np. Приближенную формулу Пуассона применяют при n > 30, р < 0.1, 0.1 <  = np < 10.

№30 слайд
Локальная приближенная
Содержание слайда: Локальная приближенная формула Муавра –Лапласа

№31 слайд
График биномиальных
Содержание слайда: График биномиальных вероятностей при n=30, p=0,2 и график φ(X)

№32 слайд
Свойства функции x
Содержание слайда: Свойства функции (x)

№33 слайд
Интегральная приближенная
Содержание слайда: Интегральная приближенная формула Муавра –Лапласа

№34 слайд
Свойства функции Ф x
Содержание слайда: Свойства функции Ф(x)

№35 слайд
Лекция . Дискретные случайные
Содержание слайда: Лекция 5. Дискретные случайные величины Пусть есть случайный эксперимент,  ─ пространство элементарных событий. Определение Случайной величиной  называется функция, отображающая  в R. :   R (То есть  = (ω)). Смысл: случайная величина – это числовая функция, принимающая значения случайным образом.

№36 слайд
Дискретные распределения
Содержание слайда: Дискретные распределения Случайная величина  имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений. Значения: a1, a2,…, Вероятности значений: pi = P( = ai) > 0

№37 слайд
Ряд распределения Если
Содержание слайда: Ряд распределения Если случайная величина  имеет дискретное распределение, то рядом распределения называется соответствие ai pi, которое имеет вид :

№38 слайд
Биномиальное распределение B
Содержание слайда: Биномиальное распределение B(n, p) Случайная величина  имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0  p  1, если  принимает значения 0, 1, 2, …n с вероятностями P{ = k} = Cnk pk q n –k. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

№39 слайд
Пример Распределение
Содержание слайда: Пример Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины для n = 10 и p = 0.2

№40 слайд
Распределение Пуассона P Сл.
Содержание слайда: Распределение Пуассона P Сл. в.  имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если  принимает значения 0, 1, 2,… с вероятностями

№41 слайд
Функция распределения
Содержание слайда: Функция распределения Определение Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x), при каждом xR равная F(x) = P{ < x}.

№42 слайд
Лекция . Непрерывные
Содержание слайда: Лекция 6. Непрерывные распределения Случайная величина  имеет непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что для любого x0R функция распределения представима в виде При этом функция f(x) называется плотностью распределения случайной величины .

№43 слайд
Геометрический смысл функции
Содержание слайда: Геометрический смысл функции распределения

№44 слайд
Равномерное распределение R
Содержание слайда: Равномерное распределение R [a, b]

№45 слайд
Нормальное распределение N a,
Содержание слайда: Нормальное распределение N (a,)

№46 слайд
Нормальное распределение N a,
Содержание слайда: Нормальное распределение N (a,) Графики нормальных плотностей имеют симметричную, колоколообразную форму. а – это величина, которая характеризует положение кривой плотности на оси абсцисс. Изменение  приводит к изменению формы кривой плотности, с увеличением  кривая делается менее островершинной и более растянутой вдоль оси абсцисс.

№47 слайд
Кривые плотностей N a, с
Содержание слайда: Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

№48 слайд
Плотность и функция
Содержание слайда: Плотность и функция распределения N(0,1)

№49 слайд
Многомерные СВ n мерной
Содержание слайда: Многомерные СВ n – мерной случайной величиной  называется вектор (ω)=(1(ω), 2(ω), … , n(ω)), компонентами которого являются одномерные случайные величины. Функцией распределения n–мерной случайной величины  называется функция F1,2,…,n(x1, x2, …, xn)= P(1 < x1, …, n < xn)

№50 слайд
Лекция . Числовые
Содержание слайда: Лекция 7. Числовые характеристики Математическим ожиданием M сл. вел.  с дискретным распределением, задаваемым законом распределения P(=xi) = pi, называется число Смысл: Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.

№51 слайд
Математическое ожидание
Содержание слайда: Математическое ожидание н.сл.в. Математическим ожиданием M непрерывно распределенной сл. в.  с с плотностью распределения f(x) называется число Математическое ожидание существует, если M|ξ| < ∞.

№52 слайд
Математическое ожидание
Содержание слайда: Математическое ожидание функции случайной величины

№53 слайд
Дисперсия случайной величины
Содержание слайда: Дисперсия случайной величины Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ , то дисперсией случайной величины ξ называется величина D ξ = M(ξ - M ξ )2. Смысл: Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

№54 слайд
Числовые характеристики
Содержание слайда: Числовые характеристики

№55 слайд
Начальные и центральные
Содержание слайда: Начальные и центральные моменты Начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина αk = Mξ k. Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина μk, определяемая формулой μk = M(ξ - Mξ )k.

№56 слайд
Коэффициент асимметрии
Содержание слайда: Коэффициент асимметрии

№57 слайд
Коэффициент асимметрии
Содержание слайда: Коэффициент асимметрии

№58 слайд
Коэффициент эксцесса
Содержание слайда: Коэффициент эксцесса

№59 слайд
Лекция . Линейная зависимость
Содержание слайда: Лекция 8. Линейная зависимость Определение. Ковариацией случайной величины (ξ, η) называется центральный смешанный момент второго порядка Kξ,η = cov(ξ, η) = M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)]. Ковариация есть мера линейной зависимости между ξ, η. Вычисляется по формуле cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙M η.

№60 слайд
Коэффициент корреляции
Содержание слайда: Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции между случайными величинами ξ, η называется число

№61 слайд
Свойства коэффициента
Содержание слайда: Свойства коэффициента корреляции 1. │ρξη│≤ 1. 2. Если ξ,η независимы, то ρξη= 0. Если │ρξη│=1, то ξ, η линейно зависимы, то есть существуют такие a и b, что ξ = aη + b.

№62 слайд
Смысл коэффициента корреляции
Содержание слайда: Смысл коэффициента корреляции Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между ξ, η. Его модуль указывает на силу линейной связи (чем ближе к 1, тем сильнее), а знак указывает на направление связи.

№63 слайд
Уравнение линейной регрессии
Содержание слайда: Уравнение линейной регрессии Уравнением линейной регрессии η на ξ называется уравнение ηˆ = aξ + b, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию S2ост= M (η – ηˆ)2 = M(η – (aξ + b))2. Смысл. Уравнение линейной регрессии η на ξ выражает линейную зависимость η от ξ.

№64 слайд
Формулы уравнения линейной
Содержание слайда: Формулы уравнения линейной регрессии

№65 слайд
Лекция . Условные
Содержание слайда: Лекция 9. Условные распределения Пусть (ξ, η) – двумерная случайная величина. Рассмотрим распределение η при условии, что ξ = x. Оно называется условным. Определение. Условной функцией распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, называется Fη/ξ = x = P(η < y/ξ = x).

№66 слайд
Нахождение условной функции
Содержание слайда: Нахождение условной функции распределения Условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x

№67 слайд
Условная плотность Если
Содержание слайда: Условная плотность Если условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, непрерывна, то производная от нее называется условной плотностью распределения случайной величины η при условии, что ξ = x.

№68 слайд
Условное математическое
Содержание слайда: Условное математическое ожидание Условным математическим ожиданием M(η/ξ = x) случайной величины η при условии, что ξ = x, называется математическое ожидание, найденное с помощью условного закона распределения. Условная функция распределения, условная плотность, условное математическое ожидание обладают свойствами функции распределения, плотности, математического ожидания соответственно.

№69 слайд
Регрессия Определение.
Содержание слайда: Регрессия Определение. Регрессией η на ξ называется случайная величина r(ξ), равная при каждом x условному математическому ожиданию случайной величины η при условии, что ξ = x. Определение. Линией регрессии называется линия y = r(x), где r(x) = M(η/ξ = x).

№70 слайд
Корреляционное отношение
Содержание слайда: Корреляционное отношение Корреляционным отношением η на ξ называется числовая характеристика, равная

№71 слайд
Лекция . Предельные теоремы
Содержание слайда: Лекция 10. Предельные теоремы Неравенство Маркова. Для любого ε > 0 Неравенство Чебышева. Для любого ε > 0

№72 слайд
Сходимость по вероятности
Содержание слайда: Сходимость по вероятности Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности к сл. в. ξ, если для любого ε > 0

№73 слайд
Закон больших чисел ЗБЧ
Содержание слайда: Закон больших чисел (ЗБЧ) Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai, i = 0,1,…,n, применим закон больших чисел, если

№74 слайд
Закон больших чисел Смысл
Содержание слайда: Закон больших чисел Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их математических ожиданий (то есть к постоянной величине). Замечание. ЗБЧ справедлив при некоторых условиях. Различные группы условий определяют разные формы закона больших чисел.

№75 слайд
ЗБЧ в форме Чебышева Теорема.
Содержание слайда: ЗБЧ в форме Чебышева Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn} с математическими ожиданиями Mξi=ai и с дисперсиями Dξi=σ2i, i=0,1,…,n, выполняются условия: сл.в. {ξn} независимы; дисперсии всех сл.в. {ξn} ограничены одним и тем же числом, (σ2i ≤ A для всех i), то к {ξn} применим ЗБЧ.

№76 слайд
ЗБЧ в форме Бернулли Теорема.
Содержание слайда: ЗБЧ в форме Бернулли Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p, пусть m – число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

№77 слайд
ЗБЧ в форме Хинчина Теорема.
Содержание слайда: ЗБЧ в форме Хинчина Теорема. Для того, чтобы к последовательности случайных величин {ξn} был применим ЗБЧ, достаточно выполнения условий: сл.в. {ξn} независимы; сл.в. {ξn} одинаково распределены. Тогда

№78 слайд
Центральная предельная
Содержание слайда: Центральная предельная теорема (ЦПТ) В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее обстоятельство: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному.

№79 слайд
Центральная предельная
Содержание слайда: Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в. Если случайные величины {ξn} независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания Mξi=a и дисперсии Dξi=σ2,… i=0,1,…,n, то при n→∞

№80 слайд
Зависимость от числа слагаемых
Содержание слайда: Зависимость от числа слагаемых

№81 слайд
Практическое значение ЦПТ
Содержание слайда: Практическое значение ЦПТ Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: числа продаж некоторого товара; объемы прибыли от реализации однородного товара различными производителями; валютные курсы. Из ЦПТ следует, что они приближенно нормально распределены.

№82 слайд
Лекция . Введение в
Содержание слайда: Лекция 11. Введение в математическую статистику Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора, описания и анализа экспериментальных результатов наблюдений, массовых случайных явлений. Фундаментальными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.

№83 слайд
Основные понятия Совокупность
Содержание слайда: Основные понятия Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn) называется выборкой, сами величины Xi , i =1,..., n, – элементами выборки, а их число n – ее объемом. Реализации выборки Х будем обозначать строчными буквами х = (x1,..., xn). Статистической моделью <F> называется класс распределений, допустимых для выборки.

№84 слайд
Простая выборка Таким
Содержание слайда: Простая выборка Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину , а выборку – как n – мерную случайную величину (1, …, n), компоненты которой независимы и одинаково распределены (так же, как ). Такие выборки называются простыми.

№85 слайд
Эмпирическая функция
Содержание слайда: Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения называется случайная функция от Fn(x), вычисляемая по формуле где νn – число элементов выборки Х, значения которых меньше х.

№86 слайд
Свойства эмпирической функции
Содержание слайда: Свойства эмпирической функции распределения Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения , и F(x) – соответствующая теоретическая функция. Тогда:

№87 слайд
Группировка выборки При
Содержание слайда: Группировка выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k непересекающихся интервалов длины h. Результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки.

№88 слайд
Параметры группировки
Содержание слайда: Параметры группировки Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки R. Число интервалов k находится из условия 2k –1 ≈ n, где n – объем выборки. Длину интервала h находят по формуле h = R/k. Все интервалы имеют одинаковую длину.

№89 слайд
Графические характеристики
Содержание слайда: Графические характеристики выборки Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой ni/h, получим гистограмму. Кривая, соединяющая середины верхних оснований гистограммы, называется полигоном (частот). Полигон — непрерывная функция (ломаная).

№90 слайд
Гистограмма и плотность
Содержание слайда: Гистограмма и плотность Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения генеральной совокупности.

№91 слайд
Лекция . Числовые
Содержание слайда: Лекция 12. Числовые характеристики выборки Выборочное среднее Выборочная дисперсия Выборочная исправленная дисперсия Выборочное среднеквадратическое отклонение Выборочный начальный момент порядка l Выборочный центральный момент порядка l

№92 слайд
Числовые характеристики
Содержание слайда: Числовые характеристики выборки Выборочный коэффициент асимметрии Выборочный коэффициент эксцесса Коэффициент вариации Выборочная мода Выборочная медиана Выборочная квантиль порядка q

№93 слайд
Способ получения выборочных
Содержание слайда: Способ получения выборочных формул Чтобы из формулы числовой характеристики сл.в. получить формулу выборочной характеристики, нужно: заменить обозначение сл.в. обозначением элемента выборки (xi) заменить знак математического ожидания М[..] на

№94 слайд
Замечание Если в формуле
Содержание слайда: Замечание Если в формуле встречается числовая характеристика, для которой уже известна соответствующая ей выборочная, то числовая характеристика заменяется на выборочную. Например,

№95 слайд
Выборочное среднее Выборочное
Содержание слайда: Выборочное среднее Выборочное среднее (по вариационному ряду x1,x2,…,xn)

№96 слайд
Выборочная дисперсия
Содержание слайда: Выборочная дисперсия

№97 слайд
Выборочный начальный момент
Содержание слайда: Выборочный начальный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду

№98 слайд
Выборочный центральный момент
Содержание слайда: Выборочный центральный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду

№99 слайд
Лекция . Распределение
Содержание слайда: Лекция 13. Распределение выборочных характеристик Распределением 2 с k степенями свободы называется распределение случайной величины 2(k), равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин Ui i = 1,2,…,k, то есть распределение случайной величины

№100 слайд
Плотность распределения при k
Содержание слайда: Плотность распределения χ2 при k = 7

№101 слайд
Плотность распределения при
Содержание слайда: Плотность распределения χ2 при разных k

№102 слайд
Распределение Стьюдента
Содержание слайда: Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины Т(k), равной где U имеет нормальное распределение N(0, 1). Величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы будет также обозначаться t(k).

№103 слайд
Содержание слайда:

№104 слайд
Распределение Фишера
Содержание слайда: Распределение Фишера Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1, k2), равной

№105 слайд
Теорема Фишера Пусть X , X
Содержание слайда: Теорема Фишера Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:

№106 слайд
Теорема Пусть X , X ,..., Xn
Содержание слайда: Теорема Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:

№107 слайд
Лекция . Точечное оценивание
Содержание слайда: Лекция 14. Точечное оценивание параметров Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.

№108 слайд
Точечные оценки Рассмотрим
Содержание слайда: Точечные оценки Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть известен вид функции распределения F, и F зависит от одного неизвестного параметра θ). Точечной оценкой неизвестного параметра θ называется функция элементов выборки, используемая для получения приближенного значения θ.

№109 слайд
Несмещенность Оценка
Содержание слайда: Несмещенность Оценка параметра θ называется несмещенной, если

№110 слайд
Несмещенные оценки в N a, В N
Содержание слайда: Несмещенные оценки в N(a,σ) В N(a,σ): выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a, выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2, исправленная выборочная дисперсия – несмещенная оценка σ2.

№111 слайд
Состоятельность Оценка
Содержание слайда: Состоятельность Оценка параметра θ называется состоятельной, если

№112 слайд
Оптимальность Для параметра
Содержание слайда: Оптимальность Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию Несмещенная оценка параметра θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

№113 слайд
Нижняя граница дисперсий Для
Содержание слайда: Нижняя граница дисперсий Для дисперсии несмещенной оценки параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:

№114 слайд
Эффективность Несмещенная
Содержание слайда: Эффективность Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:

№115 слайд
Оценка максимального
Содержание слайда: Оценка максимального правдоподобия Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума (как функция от θ при фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

№116 слайд
Метод максимального
Содержание слайда: Метод максимального правдоподобия Для нахождения максимума функции правдоподобия L можно искать максимум ln L и решать уравнение правдоподобия

№117 слайд
Метод моментов Теоретические
Содержание слайда: Метод моментов Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).

№118 слайд
Лекция . Интервальное
Содержание слайда: Лекция 15. Интервальное оценивание параметров Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α <1) для параметра θ называется интервал I=[I1, I2], для которого выполняется условие: P(I1(X) ≤ θ ≤ I2 (X)) = 1 – α. Число 1 – α называется доверительной вероятностью, а I1(X), I2 (X) – нижней и верхней доверительными границами.

№119 слайд
Уровень значимости Его обычно
Содержание слайда: Уровень значимости α Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала. Чем меньше α, тем больше доверительная вероятность и тем надежнее доверительный интервал, но более надежный интервал является более широким и менее информативным. Стандартный уровень значимости α =0.05. Соответствующий доверительный интервал называется 95% –м.

№120 слайд
Схема построения
Содержание слайда: Схема построения доверительного интервала Надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не зависит, записать уравнение P(γ1 ≤ G(x, θ) ≤ γ2) = 1 – α, и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно параметра θ.

№121 слайд
Доверительный интервал для
Содержание слайда: Доверительный интервал для параметра a распределения N(a, σ)

№122 слайд
Квантили нормального
Содержание слайда: Квантили нормального распределения

№123 слайд
Доверительный интервал для
Содержание слайда: Доверительный интервал для параметра a (при неизвестном σ) :

№124 слайд
Доверительный интервал для
Содержание слайда: Доверительный интервал для параметра σ распределения N(a, σ)

№125 слайд
Асимптотический доверительный
Содержание слайда: Асимптотический доверительный интервал Разрешив неравенство относительно θ, получим доверительный интервал для параметра θ значимости α.

№126 слайд
Лекция . Проверка
Содержание слайда: Лекция 16. Проверка статистических гипотез Статистической гипотезой называется утверждение о виде распределения генеральной совокупности. Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается H0. Наряду с ней рассматривают альтернативную гипотезу H1. Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется статистическим критерием.

№127 слайд
Проверка гипотезы Определим
Содержание слайда: Проверка гипотезы Определим для малого α >0 область V так, чтобы в случае справедливости гипотезы H0 вероятность осуществления события P(T(x) € V ) = α. По выборке вычислим значение статистики Т = tв. Если окажется, что tв € V, то в предположении справедливости гипотезы H0, произошло маловероятное событие и эта гипотеза должна быть отвергнута как противоречащая статистическим данным. В противном случае нет основания отказываться от гипотезы H0 .

№128 слайд
Критическая область
Содержание слайда: Критическая область Статистика T(X), определенная выше, называется статистикой критерия, V – критической областью критерия, α – уровнем значимости критерия (вероятностью ошибочного отвержения гипотезы H0, когда она верна). В конкретных задачах величину α берут равной 0,005; 0,01; 0,05; 0,1.

№129 слайд
Если значение статистики
Содержание слайда: Если значение статистики попадает критическую область, то H0 отвергается.

№130 слайд
Ошибка первого рода Ошибка
Содержание слайда: Ошибка первого рода Ошибка первого рода состоит в том, что H0 отвергается, когда она верна. Вероятность ошибки 1 – го рода обозначается α, α=P(T€ V/ H0) (значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H0) . α – это уровень значимости.

№131 слайд
Ошибка второго рода Ошибка
Содержание слайда: Ошибка второго рода Ошибка второго рода состоит в том, что H0 не отвергается, когда она не верна. Вероятность ошибки 2 – го рода обозначается β. β – это вероятность того, что значение статистики Т не принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

№132 слайд
Мощность критерия Мощностью
Содержание слайда: Мощность критерия Мощностью критерия называется величина М= 1 – β. Мощность критерия М равна вероятности отвергнуть H0, когда она не верна. М – это вероятность того, что значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

№133 слайд
Лекция . Проверка гипотез о
Содержание слайда: Лекция 17. Проверка гипотез о параметрах Общая схема проверки

№134 слайд
Общая схема проверки
Содержание слайда: Общая схема проверки параметрических гипотез 3. Найти критическую область V. 4. Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв. 5. Если Тв попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза отвергается (в пользу альтернативной). Если Тв не попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза не отвергается. 6. Сформулировать ответ в терминах вопроса.

№135 слайд
Проверка гипотез о параметрах
Содержание слайда: Проверка гипотез о параметрах нормального распределения Гипотезы о параметрах одного распределения (одна выборка). Гипотезы о параметрах двух распределений (две независимые выборки). Гипотезы о параметрах двух распределений (две парные выборки).

№136 слайд
Гипотеза о дисперсии. H .
Содержание слайда: Гипотеза о дисперсии. H0: σ = σ0.

№137 слайд
Гипотеза о среднем. H a a . X
Содержание слайда: Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 1) (X1,, X2,...,Xn) €, N(θ1, σ), то есть параметр σ известен, а параметр a не известен.

№138 слайд
Гипотеза о среднем. H a a . X
Содержание слайда: Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 2) (X1,, X2,..., Xn) € N(θ1,θ2), то есть оба параметра неизвестны.

№139 слайд
Гипотеза о дисперсиях. H .
Содержание слайда: Гипотеза о дисперсиях. H0: σ1 = σ2. Критерий Фишера

№140 слайд
Гипотеза о средних. H a a .
Содержание слайда: Гипотеза о средних. H0: a1 = a2. Критерий Стьюдента

№141 слайд
Лекция . Проверка гипотез о
Содержание слайда: Лекция 18. Проверка гипотез о виде распределения. Критерии согласия

№142 слайд
H F F . Критерий согласия
Содержание слайда: H0: F=F0. Критерий согласия Колмогорова Критерий применяется для непрерывных сл.в. В качестве статистики T выбирают величину Dn = Dn(x) = max|Fn(x) – F0(x)|, где Fn(x) – эмпирическая функция распределения, а в качестве критической области – область вида V = (t*,+∞).

№143 слайд
Применение критерия
Содержание слайда: Применение критерия Колмогорова При n → ∞, если H0 – верная гипотеза, распределение статистики √n Dn сходится к функции Колмогорова К(t). Функция Колмогорова задается таблично. При практических расчетах значения К(t) можно применять уже при n > 20. t* находится из таблиц К(t) по заданному α. Например, при α = 0,05 находим, что t* = 1,358.

№144 слайд
Правило проверки Таким
Содержание слайда: Правило проверки Таким образом, при заданном уровне значимости α правило проверки гипотезы H0 при n>20 сводится к следующему: если значение статистики √n Dn ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод, что статистические данные не противоречат гипотезе.

№145 слайд
Критерий согласия Пирсона
Содержание слайда: Критерий согласия Пирсона χ2 Критерий применяется к группированной выборке. Пусть n – объем выборки (n ≥ 50), k – число интервалов группировки, ni – число значений, попавших в i –й интервал, i = 1,…,k, (ni ≥ 5), pi – теоретическая вероятность попадания одного элемента выборки в i – й интервал, npi = niТ ( теоретические частоты).

№146 слайд
Статистика критерия Пирсона
Содержание слайда: Статистика критерия Пирсона Если для оценки параметров используются оценки максимального правдоподобия, то:

№147 слайд
Правило проверки k r , где r
Содержание слайда: Правило проверки ν = k – r –1, где r – число параметров, оцененных по выборке. Критическая область имеет вид (t*, +∞), где t* – квантиль распределения χ2 порядка 1 – α. Если значение статистики T ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод, что статистические данные не противоречат гипотезе.

Скачать все slide презентации Теория вероятностей и математическая статистика одним архивом: