Презентация Элементы комбинаторики ( 9-11 классы) онлайн

Содержание слайда: Элементы комбинаторики. Электронное учебно-методическое пособие для учащихся 9-11 классов. Автор-составитель: Каторова О.Г., учитель математики МБОУ «Гимназия №2» г.Саров

Содержание слайда: Комбинаторика Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы выбора или расположения элементов множества в соответствии с заданными правилами. «Комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Содержание слайда:

Содержание слайда: Комбинаторика занимается различного рода соединениями (перестановки, размещения, сочетания), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Комбинаторика занимается различного рода соединениями (перестановки, размещения, сочетания), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

Содержание слайда: Комбинаторные соединения Перестановки Перестановки без повторений Перестановки с повторениями Размещения Размещения без повторений Размещения с повторениями Сочетания Сочетания без повторений Сочетания с повторениями

Содержание слайда: Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов, меняя всеми возможными способами их порядок. Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов, меняя всеми возможными способами их порядок.

Содержание слайда: Историческая справка В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" не было завершено автором и появилось после его смерти. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержится формула для числа перестановок из n элементов.

Содержание слайда: Пример Сколькими способами могут 8 человек встать в очередь к театральной кассе? Решение задачи: Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может встать любой из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек встал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место – 7. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение . Такое произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и называется перестановкой P8. Ответ: P8 = 8!

Содержание слайда: Проверь себя 1) Сколькими способами можно поставить рядом на полке четыре различные книги?

Содержание слайда: Проверь себя 1) Сколькими способами можно поставить рядом на полке четыре различные книги?

Содержание слайда: Проверь себя 2) Сколькими способами можно положить 10 различных открыток в 10 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)?

Содержание слайда: Проверь себя 2) Сколькими способами можно положить 10 различных открыток в 10 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)?

Содержание слайда: Проверь себя 3) Сколькими способами можно рассадить восьмерых детей на восьми стульях в столовой детского сада?

Содержание слайда: Проверь себя 3) Сколькими способами можно рассадить восьмерых детей на восьми стульях в столовой детского сада?

Содержание слайда: Проверь себя 4) Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове «треугольник» (считая и само это слово)?

Содержание слайда: Проверь себя 4) Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове «треугольник» (считая и само это слово)?

Содержание слайда: Проверь себя 5) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один раз)?

Содержание слайда: Проверь себя 5) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один раз)?

Содержание слайда:

Содержание слайда: Теорема. Число различных перестановок с повторениями из элементов {a1, …, an}, в которых элементы a1, …, an повторяются соответственно k1, ..., kn раз, равно Теорема. Число различных перестановок с повторениями из элементов {a1, …, an}, в которых элементы a1, …, an повторяются соответственно k1, ..., kn раз, равно (k1+k2+…+kn)! m! k1! k2! … kn! k1! k2! … kn!

Содержание слайда: Пример Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»? Решение.

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Проверь себя

Содержание слайда: Историческая справка Комбинаторные мотивы можно заметить еще в символике китайской «Книги перемен» (V век до н. э.). В XII в. индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

Содержание слайда: Размещения Размещением из n элементов по k ( ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов. Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

Содержание слайда: Пример Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, физорг и редактор стенгазеты? Решение: Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т.е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3.

Содержание слайда: Проверь себя 1. Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать?

Содержание слайда: Проверь себя Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать? Решение.

Содержание слайда: Проверь себя 2. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Содержание слайда: Проверь себя 2. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места? Решение.

Содержание слайда: Проверь себя 3. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

Содержание слайда: Проверь себя В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду? Решение.

Содержание слайда: Размещения с повторениями Размещения с повторениями – соединения, содержащие n элементов, выбираемых из элементов m различных видов ( ) и отличающиеся одно от другого либо составом, либо порядком элементов. Их количество в предположении неограниченности количества элементов каждого вида равно

Содержание слайда: Пример использования В библиотеку, в которой есть много одинаковых учебников по десяти предметам, пришло 5 школьников, каждый из которых хочет взять учебник. Библиотекарь записывает в журнал по порядку названия (без номера) взятых учебников без имен учеников, которые их взяли. Сколько разных списков в журнале могло появиться?

Содержание слайда: Решение задачи Так как учебники по каждому предмету одинаковые, и библиотекарь записывает лишь название (без номера),то список – размещение с повторением, число элементов исходного множества равно 10, а количество позиций – 5. Тогда количество разных списков равно = 100000. Ответ: 100000

Содержание слайда: Проверь себя! 1. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число звонков неудачник-Петя может совершить прежде, чем угадает правильный номер.

Содержание слайда: Проверь себя! 1. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число звонков неудачник-Петя может совершить прежде, чем угадает правильный номер. Решение. Т.к. цифры могут повторяться, то всего возможно разных номеров. Если Петя невезучий, он должен будет звонить 10 миллионов раз. Ответ: 10000000.

Содержание слайда: Проверь себя! 2. Сколькими способами можно написать слово, составленное из четырех букв английского алфавита?

Содержание слайда: Проверь себя! 2. Сколькими способами можно написать слово, составленное из четырех букв английского алфавита? Решение. В английском алфавите 26 букв, буквы могут повторяться, значит, количество слов равно (26 элементов и 4 позиции) Ответ:

Содержание слайда: Проверь себя! 3. В магазине, где есть 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими способами можно это сделать, если их расположение имеет значение?

Содержание слайда: Проверь себя! 3. В магазине, где есть 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими способами можно это сделать, если их расположение имеет значение? Решение. Разных видов мячей 4, позиций 8, т.е. количество различных размещений будет равно = 65536. Ответ: 65536 способов.

Содержание слайда: Проверь себя! 4. Сколькими способами можно пришить на костюм клоуна в линию шесть пуговиц одного из четырех цветов, чтобы получить узор?

Содержание слайда: Проверь себя! Сколькими способами можно пришить на костюм клоуна в линию шесть пуговиц одного из четырех цветов, чтобы получить узор? Решение. Видимо, количество пуговиц каждого вида велико, поэтому для определения количества способов можно воспользоваться формулой размещений с повторениями. Оно равно = 1296 (6 позиций и 4 вида). Ответ: 1296 способов.

Содержание слайда: Сочетания Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга по крайней мере одним предметом.

Содержание слайда: Сочетания Формула нахождения количества сочетаний без  повторений:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Сочетания с повторениями Определение Сочетаниями с повторениями из m по n называют соединения, состоящие из n элементов, выбранных из элементов m разных видов, и отличающиеся одно от другого хотя бы одним элементом. Число сочетаний из m по n обозначают

Содержание слайда: Сочетания с повторениями

Содержание слайда: Историческая справка Крупнейший индийский математик Бхаскара Акария (1114–1185) также изучал различные виды комбинаторных соединений. Ему принадлежит трактат "Сидханта–Широмани" ("Венец учения"), переписанный в XIII в. на полосках пальмовых листьев. В нём автор дал словесные правила для нахождения и ,указав их применения и поместив многочисленные примеры

Содержание слайда: Пример использования Задача №1 Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в распоряжении имеются 4 сорта пирожных? Решение:

Содержание слайда: Пример использования Задача №2 Сколько костей находится в обычной игре "домино"? Решение: Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по две из семи цифр множества (0,1,2,3,4,5,6).  Число всех таких сочетаний равно

Содержание слайда: Проверь себя  Задача 1. В буфете Гимназии продаются 5 сортов пирожков: с яблоками, с капустой, картошкой, мясом и грибами. Скольким числом способов можно сделать покупку из 10 пирожков?

Содержание слайда: ЗАДАЧА №1 Решение: Ответ: 1001

Содержание слайда: Проверь себя Задача 2. В коробке лежат шары трех цветов—красного, синего и зеленого. Сколькими способами можно составить набор из двух шаров? 

Содержание слайда: ЗАДАЧА №2 Решение: Ответ: 6

Содержание слайда: Проверь себя   Задача 3. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?

Содержание слайда: ЗАДАЧА №3 Решение: порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов монет по четыре с повторениями. Ответ: 5

Содержание слайда: Проверь себя   Задача 4. Сколько будет костей домино, если в их образовании использовать все цифры?

Содержание слайда: ЗАДАЧА №4 Решение: число костей домино можно рассматривать как число сочетаний из 10 чисел по 2 с повторениями. Ответ: 55

Содержание слайда: Проверь себя Задача 5. Палитра юного импрессиониста состоит из 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен?

Содержание слайда: ЗАДАЧА №5 Решение: Ответ: 1716

Содержание слайда: Используемая литература Алгебра и начала математического анализа.11 класс/ Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. – М.:Просвещение, 2011. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М., 1969 Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – МЦМНО, 2010 ru.wikipedia.org›wiki/История комбинаторики