Презентация Логика предикатов онлайн

Содержание слайда: ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Содержание слайда: Cостав математической логики

Содержание слайда: Высказывания

Содержание слайда: Пример. "Икс любит кашу" Если вместо неизвестного Икс подставить, например Маша, либо Даша, либо Саша, то получатся: «Маша любит кашу» «Даша любит кашу» «Саша любит кашу»

Содержание слайда: Р(х)=«Икс любит кашу» – одноместный предикат. Р(х)=«Икс любит кашу» – одноместный предикат. М={Маша, Даша, Саша}

Содержание слайда: Одноместный предикат Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) называется всякая функция одного переменного, аргумент x которой определен на некотором мно­жестве M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина (1) или ложь (0). Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения (или предметной областью) предиката. Множество  Ip, на котором предикат принимает истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).

Содержание слайда: Примеры одноместных предикатов Р1(х)=«x – простое число» - одноместный предикат. Пусть МР1- натуральные числа от 2 до 20. Тогда, например, P(2)=1, P(4)=0 IР1={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. МР2 – целые числа от -10 до 10. Тогда Ip2=? МР3 – вещественные числа. Тогда Ip3=?

Содержание слайда: Двухместный предикат

Содержание слайда: Двухместный предикат

Содержание слайда: Двухместный предикат Определение 2. Двухместным предикатом P(x,у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М=М1×М2 и принимающая значения из множества {1,0}.

Содержание слайда: Пусть Q(x,у) – «х = у», М=R˟R.   Пусть Q(x,у) – «х = у», М=R˟R.   F(x,у) – «х || у» - прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Содержание слайда: Пример . Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности, если M = R для одноместных предикатов и M = R×R для двухместных предикатов: Пример . Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности, если M = R для одноместных предикатов и M = R×R для двухместных предикатов: х + 5 = 1 при х = 2 выполняется равенство х2 – 1 = 0 х2 – 2х + 1 = 0 существует такое число х, что х3 – 2х + 1 = 0 х + 2 < 3х – 4 однозначное неотрицательное число х кратно 3 (х + 2) – (3х – 4) х2 + у2 > 0

Содержание слайда: Пример. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката  Пример. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката  x+3=y

Содержание слайда: Определение. Предикатом P(x1, x2, ... , xn) называется функция, аргументы которой определены на некоторых множествах М1,M2,M3,..Mn (xi∈ Mi), а сама она принимает два значения: И (0) и Л (1). Определение. Предикатом P(x1, x2, ... , xn) называется функция, аргументы которой определены на некоторых множествах М1,M2,M3,..Mn (xi∈ Mi), а сама она принимает два значения: И (0) и Л (1). Переменные x1,x2,..., xn называются предметными переменными, а множество M=M1×M2×…×Mn – предметной областью. Предикат от n переменных называется n-местным предикатом. Высказывание есть 0-местный предикат. Над предикатами можно производить обычные логические операции и получать при этом другие предикаты. Таким образом, можно говорить об алгебре предикатов.

Содержание слайда: P(x,y): 2(x+y)=2y+2x P(x,y): 2(x+y)=2y+2x Q(x): x+1=x F(x,y): x+y=5

Содержание слайда: Предикат называется тождественно истинным, если на всех наборах своих переменных принимает значение 1 (Ip= M). Предикат называется тождественно истинным, если на всех наборах своих переменных принимает значение 1 (Ip= M). Предикат называется тождественно ложным если на всех наборах своих переменных принимает значение 0 (Ip  M). Предикат называется выполнимым, если на некотором наборе своих переменных принимает значение 1 (Ip  M).

Содержание слайда: Примеры. Примеры. Р(х)- «В месяце х температура воздуха в Ярославле не опускается ниже 0 уже 100 лет». Если М={Июнь, июль, август}, то Р(х) – Если М={декабрь, январь, февраль}, то Р(х) – Если М={январь, февраль, март,… ноябрь, декабрь}, то Р(х)–

Содержание слайда: Задачи

Содержание слайда: Задачи

Содержание слайда: Логические операции над предикатами

Содержание слайда: Логические операции над высказываниями

Содержание слайда: Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определены предикаты P(x) и Q(x): P(x): “x – четное число” Q(x): “x кратно 3” Тогда “x – четное число и x кратно трем” = “x делится на 6”

Содержание слайда: Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)&Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х∊М, при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката Р(х)&Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е. пересечение IP&Q = IP  IQ.

Содержание слайда: Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определены предикаты P(x) и Q(x): P(x): “x – четное число” Q(x): “x кратно 3” Тогда “x – четное число или x кратно трем”

Содержание слайда: Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)vQ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях  х∊М, при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката Р(х)vQ(х) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е.  IPvQ = IP  IQ.

Содержание слайда: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката: ((х+5>0)&(x<4)) ((х+5>0) v (y<4)) ((х-1>0) v (y=4)) ((х-1>0) & (y=4))

Содержание слайда: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Содержание слайда: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Содержание слайда: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Содержание слайда: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Содержание слайда: Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определен предикат P(x):“x – четное число” Тогда : “x – нечетное число или 0”

Содержание слайда: Пусть на некотором множестве М определен предикат Р(х). Пусть на некотором множестве М определен предикат Р(х). Определение. Отрицанием предиката Р(х) назы­вается новый предикат  Р(х), который принимает значе­ние «истина» при всех значениях  х∊М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях  х∊М, при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Содержание слайда:

Содержание слайда: Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Импликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат  Р(х) → Q(х), который является ложным при тех и только тех значениях  х∊М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(х) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Изобразите на координатной прямой или координатной плоскости множества истинности следующих предикатов: Изобразите на координатной прямой или координатной плоскости множества истинности следующих предикатов: а) (х > 2) ∧ (х < 2); б) (х > 2) v (х<2); в) (х > 2) ≡ (х< 2); г) (х > 0) ∧ (у < 0); д) (х > 0) v (у < 0); е) (х > 0) → (у < 0); ж) (|х|<3) ∧ (х ≥ 2); з) (х2 + у2 > 1)  (ху < 0); л) (х > 2) → (х < 2);

Содержание слайда: Тест «Предикат. Область истинности предикатаю» Состоит из 9 вопросов. Правильный вариант ответа может быть не один.

Содержание слайда:

Содержание слайда: 4. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 4», определенные на множестве N. Укажите области истинности предиката: 4. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 4», определенные на множестве N. Укажите области истинности предиката:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Критерии оценивания

Содержание слайда: 1. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 3», определенные на множестве N. Найти области истинности предикатов: 1. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 3», определенные на множестве N. Найти области истинности предикатов:

Содержание слайда: Примеры предикатов, определенных на множестве натуральных чисел N2 Примеры предикатов, определенных на множестве натуральных чисел N2

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Кванторные операции над предикатами

Содержание слайда: Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое (∀х)(Р(х)) Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое (∀х)(Р(х)) (читается: «для всякого значения х Р(х) истинное высказывание» или «Для всех x имеет место P(x)»), которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае. Символ ∀ происходит от первой буквы англ. all — «все». Сам символ (∀ x) также называют квантором общности по переменной х. Пример . Пусть P(x) – предикат “x – четное число”. Тогда xP(x) есть высказывание «Всякое x – четное число» ≡ «Все числа – четные».

Содержание слайда: Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое (х)(Р(х)) Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое (х)(Р(х)) (читается: «Существует значение х, такое, что Р(х) истинное высказывание» или «Существует x, для которого имеет место P(x)»), которое ложно в том и только в том случае, когда Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае. Символ  происходит от первой буквы англ. exist — «существовать». Сам символ х также называют квантором существования по переменной х. Пример. Пусть, P(x) – предикат “x – четное число”. Тогда xP(x) есть высказывание “Некоторые x – четные числа” ≡ “Существуют четные числа” .

Содержание слайда: «Выгул кошек и собак воспрещен» «Выгул кошек и собак воспрещен» K(x): х-кошка C(x): х-собака B(x): для х выгул разрешен

Содержание слайда: Примеры Рассмотрим два одноместных предиката на множестве N: P(x): «1 ≤ х» и Q(x): «х 30». P(x): «1 ≤ х» - тождественно истинный. ( x)(l ≤ х) — «для всякого натурального х число 1 не превосходит х» - истинное высказывание. (x)(l ≤ х) – Q(x): «х 30» - опровержим. ( x)(x 30) — ( x)(x 30) —

Содержание слайда: Связанные и свободные переменные Определение. Присоединение квантора с переменной к предикатной формуле называется навешивание квантора на переменную х. Переменная при этом называется связанной и вместо нее подставлять значения уже нельзя. Несвязанная переменная называется свободной. Если квантор навешивается на формулу с несколькими переменными, то он уменьшает число несвязанных переменных в этой формуле. Пример. Р(х,у):«у<х» - двухместный предикат определенный на множестве N2=N×N. Применим к нему квантор общности по переменной х. ( х)(у < х) - одноместный предикат, зависящий от переменной у. Этот предикат может превратиться как в истинное высказывание (при у= 1), так и в ложное (при подстановке вместо у любых натуральных чисел, кроме 1).

Содержание слайда: Навешивание кванторов на двухместный предикат

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Для доказательства истинности утверждения (х) Р(х) с квантором общности, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде. Для доказательства истинности утверждения (х) Р(х) с квантором общности, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Содержание слайда: Высказывание x P(x) истинно, если можно указать такое значение а∊М при котором  Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а) Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования, достаточно привести пример. Высказывание x P(x) истинно, если можно указать такое значение а∊М при котором  Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а) Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования, достаточно привести пример. Для доказательства ложности утверждения ( х) Р(х) с квантором существования, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в ложное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Содержание слайда: Упражнения

Содержание слайда: Упражнения Выяснить, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) найдется такое х, что х+ у = 2; b) для любых х и у имеет место равенство х + у = у + х.

Содержание слайда:

Содержание слайда: На языке логики предикатов записать определение убывающей функции На языке логики предикатов записать определение убывающей функции Функция f(x) называется убывающей на множестве M, если для любых чисел x1 и x2, принадлежащих множеству M, из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2)).

Содержание слайда: Домашнее задание 1. Записать словами формулу где, A(x) = “x – студент”; B(y) = “y – экзамен”, C(x, y) = ”x сдал экзамен y”. 2. Записать предикатной формулой высказывание: «Все кошки знают русский язык»

Содержание слайда: Упражнения

Содержание слайда: Определение. Предикат Q следует из предиката Р, заданного над теми же множествами, что и предикат Q (P Þ Q), если он обращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание обращается предикат Р, т.е. если Определение. Предикат Q следует из предиката Р, заданного над теми же множествами, что и предикат Q (P Þ Q), если он обращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание обращается предикат Р, т.е. если Пример. Р(х): х-3=0; Q(х): (х-2)(х-3)=0. IР ={3}, IQ ={2, 3}. IР  IQ P Þ Q

Содержание слайда: Определение. Предикаты P и Q над одними и теми же множествами называют равносильными или эквивалентными (PQ), если при любом наборе переменных из соответствующих множеств предикаты принимают одинаковое значение истинности, т.е. если IР = IQ. Определение. Предикаты P и Q над одними и теми же множествами называют равносильными или эквивалентными (PQ), если при любом наборе переменных из соответствующих множеств предикаты принимают одинаковое значение истинности, т.е. если IР = IQ.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Формулы логики предикатов. Равносильность формул Формулы логики предикатов. Равносильность формул   Определение. Формула логики предикатов определяется индуктивно следующим образом: 1. Любая формула логики высказываний есть формула логики предикатов. 2. Предметные переменные x, y, z, ... есть формулы. 3. Предикаты P(x), Q(x, y), ... , а также выражения с кванторами xP(x), xR(x), xyQ(x, y),... есть формулы. 4. Если A и B – формулы, то ¬A, AVB, A&B, A →B, AB есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные переменные формул A и B остаются связанными. 5. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 4, не есть формула.

Содержание слайда: Являются ли формулами следующие выражения Являются ли формулами следующие выражения а) A & B → C, где A, B, C – высказывания. б) xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u). в)xyP(x,y,z) Þ Q(x,y,z)

Содержание слайда: Пример. Пример. 1. Следующие выражения являются формулами логики предикатов: а) A & B → C, где A, B, C – высказывания. б) xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u). Проанализируем последовательно это выражение. Предикат Q(x, y, z) – формула; Выражение xyQ(x, y, z) – формула; переменные x, y – связанные, переменная z – свободная. Предикат P(x, y, u) – формула. Выражение xyP(x, y, u) – формула; переменные x, y – связанные, переменная u – свободная. Выражение xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u) – формула; переменные x, y – связанные, переменные z, u – свободные. 2. Выражение xyP(x,y,z) Þ Q(x,y,z) формулой не является. Действительно, выражение xyP(x,y,z) есть формула, в которой переменные x и y связанные, а переменная z свободная. Выражение Q(x,y,z) также формула, но в ней все переменные x, y, z свободные.

Содержание слайда: Определение. Формулы F и G, определенные на некотором множестве М, называются равносильными на этом множестве, если при любых подстановках констант вместо переменных они принимают одинаковые значения. Определение. Формулы F и G, определенные на некотором множестве М, называются равносильными на этом множестве, если при любых подстановках констант вместо переменных они принимают одинаковые значения. Определение. Формулы, равносильные на любых множествах, будем называть просто равносильными.  

Содержание слайда: Являются ли равносильными предикаты: Являются ли равносильными предикаты: а) P(x): (3x+8)/(x2+1)=0 и Q(z): -6z-16=0 б) P(x):(x+2)(x-3)=0 и Q(x): (x-3)=0 На множестве действительных чисел?

Содержание слайда: Переход от одних формул к равносильным им другим формулам логики предикатов может быть произведен по следующим правилам: Переход от одних формул к равносильным им другим формулам логики предикатов может быть произведен по следующим правилам: Все равносильности, имеющие место для логики высказываний, переносятся на логику предикатов. 2. Перенос квантора через отрицание. Пусть A – формула, содержащая свободную переменную x. Тогда (xA(x)) ºx(A(x)). (xA(x)) ºx(A(x)).

Содержание слайда: 3. Вынос квантора за скобки. 3. Вынос квантора за скобки. Пусть формула A(x) содержит переменную x, а формула B не содержит переменной x, и все переменные, связанные в одной формуле, связаны в другой. Тогда   xA(x)VBºx(A(x)VB). xA(x)&Bºx(A(x)&B). xA(x)VBºx(A(x)VB). xA(x)&Bºx(A(x)&B). 4. Дистрибутивность квантора общности относительно конъюнкции и квантора существования относительно дизъюнкции. Пусть формула B, так же, как и формула A, зависит от х. Тогда xA(x) & xB(x) ºx(A(x) & B(x)). xA(x) V xB(x) ºx(A(x) V B(x)).

Содержание слайда: 5. Перестановка одноименных кванторов. 5. Перестановка одноименных кванторов. xyA(x,y) ºyxA(x,y). xyA(x,y) ºyxA(x,y). Разноименные кванторы переставлять, вообще говоря, нельзя!  

Содержание слайда: Следствия и равносильности логики предикатов

Содержание слайда: Приведенные и нормальные формулы Приведенные и нормальные формулы   Определение. Формулы, в которых из логических символов имеются только символы &, V и Ø, причем символ Ø встречается лишь перед символами предикатов, называются приведенными формулами. Пример. A(x)&B(x, y). xA(x) V xØB(x, y). Ø(A(x)&B(x, y)). xA(x) Þ xØB(x, y). Ø(xA(x) Þ xØB(x, y)). Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей приведенная формула, причем множества свободных и связанных переменных этих формул совпадают.

Содержание слайда: Существуют две задачи, определяющие связь между суждениями и формулами логики предикатов: Существуют две задачи, определяющие связь между суждениями и формулами логики предикатов: 1) выражение суждения в виде формулы логики предикатов; 2) интерпретация формулы логики предикатов. Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами. Простым суждением назовем суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях.

Содержание слайда: Все атрибутивные суждения можно разделить на следующие типы: Все атрибутивные суждения можно разделить на следующие типы:

Содержание слайда: а) Веста – собака. а) Веста – собака. Заменим имя "Веста" символом "в" и введем предикат P(x) = "x – собака". Наше суждение можно выразить формулой: P(в).

Содержание слайда: б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей. б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей. Введем предикаты: S(x) = "x – логическая функция"; P(x) = "x может быть задана таблицей". Искомая формула: x(S(x) Þ P(x)).

Содержание слайда: в) Ни один народ не хочет войны. в) Ни один народ не хочет войны. Введем предикаты: S(x) = "x – народ"; P(x) = "x хочет войны". Суждение можно выразить формулой: x(S(x) Þ ØP(x)).

Содержание слайда: г) Некоторые журналисты были в космосе. г) Некоторые журналисты были в космосе. Введем предикаты: S(x) = "x – журналист"; P(x) = "x был в космосе". Наше суждение можно выразить формулой: x(S(x) & P(x)).

Содержание слайда: д) Некоторые современники динозавров не вымерли. д) Некоторые современники динозавров не вымерли. Введем предикаты: S(x) = "x – современник динозавров"; P(x) = "x вымер". Наше суждение можно выразить формулой: x(S(x) & ØP(x)).

Содержание слайда: Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений: определений, теорем, необходимых и достаточных условий. Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений: определений, теорем, необходимых и достаточных условий. Пример. Теорема Ферма «Для любого целого n > 2 не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству: xn+yn = zn». Введем предикаты: N(x) = "x – натуральное число"; M(x) = "x > 2"; P(x,y,z,n) = "xn + yn = zn". Для любых чисел x, y, z, n условие (посылка) теоремы Ферма есть конъюнкция N(x)&N(y)&N(z)&N(n)&M(n), а заключение есть ØP(x, y, z, n). Поэтому теорема Ферма формулируется следующим образом:   xyzn(N(x)&N(y)&N(z)&N(n)&M(n) Þ ØP(x, y, z, n)).

Содержание слайда: Если теорема имеет вид x(P(x) Þ Q(x)), то предикат Q(x) является следствием предиката P(x). При этом предикат Q(x) называется необходимым условием предиката P(x), а предикат P(x) – достаточным условием предиката Q(x). Если теорема имеет вид x(P(x) Þ Q(x)), то предикат Q(x) является следствием предиката P(x). При этом предикат Q(x) называется необходимым условием предиката P(x), а предикат P(x) – достаточным условием предиката Q(x).   Пример. Запишем в виде формулы логики предикатов утверждение: "Если число делится на 6, то оно делится на 3". Введем предикаты P(x) = "x делится на 6"; Q(x) = "x делится на 3". Наше утверждение формулируется следующим образом: x(P(x) Þ Q(x)). Предикат P(x) (делимость на 6) является достаточным условием предиката Q(x) (делимость на 3). Предикат Q(x) (делимость на 3) является необходимым условием предиката P(x) (делимость на 6).

Содержание слайда: I. Запишите на языке логики предикатов следующие утверждения: I. Запишите на языке логики предикатов следующие утверждения: Существует такое отрицатель­ное число x, что x2 +x - 6 = 0 . Число 9 делится на 3. Если число x делится на 3, то x делится и на 9 . Все числа, делящиеся на 9, делятся на 3 . Существуют числа, делящиеся на 9, но неделящиеся на 3 .

Содержание слайда: