Презентация Тема: Конечные поля онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Тема: Конечные поля абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 39 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:39 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:809.00 kB
- Просмотров:141
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Тема: Конечные поля
№2 слайд
Содержание слайда: Конечные поля
Теория конечных полей является центральной математической теорией, лежащей в основе помехоустойчивого кодирования и криптологии.
Конечные поля используются при кодировании, в современных блоковых шифрах таких как IDEA и AES, в поточных шифрах (сдвиговые регистры в мобильных телефонах), а также в открытых криптосистемах, например в протоколе обмена ключами Diffie- Hellman и Elliptic Curve Cryptosystems.
№3 слайд
Содержание слайда: Определение
Пусть F есть множество с двумя бинарными операциями + и *.
F называется полем, если
1) F есть абелева группа по сложению +
2) F* = F\ {0} есть абелева группа по умножению *
3) Выполняется дистрибутивность для всех a,b и c из F
a*(b + c) = a*b + a*c
(a+b)*c = a*c + b*c
№4 слайд
Содержание слайда: Определение
Если число элементов F конечно, то F называется конечным полем
№5 слайд
Содержание слайда: Арифметика по модулю
Обозначим: Zn = {0, 1, … , n-1}
a mod n есть остаток от деления a на n
Пример:7mod2=1, 7mod4=3, 21mod7=0
если (a+b)=(a+c) mod n
то b=c mod n
Если ab = ac mod n
то b=c mod n только если a и n взаимно просты
a+b mod n = [a mod n + b mod n] mod n
№6 слайд
Содержание слайда: Теорема: (p – простое число) с операциями сложения и умножения целых чисел по модулю p есть конечное поле
№7 слайд
Содержание слайда: Пример конечного поля
Конечное поле из двух элементов 0 и 1:
№8 слайд
Содержание слайда:
№9 слайд
Содержание слайда: Циклические группы
Определение: Элемент g конечной группы G называется порождающим или примитивным элементом, если все элементы группы являются степенями g. Такие группы называют циклическими
Таким образом
нейтральный элемент группы.
Обозначение:
№10 слайд
Содержание слайда: Определение
Порядок группы G – число элементов группы (обозначение |G| ).
Порядок элемента g є G – наименьшее n так что gn = e (обозначается ord g).
№11 слайд
Содержание слайда: Теорема 1: является циклической только если n есть одно из чисел , где p есть нечетное простое число и n – положительное целое число.
Теорема 2: Все циклические группы одного размера изоморфны.
Теорема 3: Пусть G – циклическая группа из n элементов и g – порождающий элемент (т.е. ). Тогда порядок подгруппы равен
№12 слайд
Содержание слайда: Теорема 4: Пусть G есть циклическая группа из n элементов и являются делителями n, тогда существуют в точности элементов порядка
№13 слайд
Содержание слайда: Конечные поля
Эварист Галуа(1811 -1832)
№14 слайд
Содержание слайда:
№15 слайд
Содержание слайда:
№16 слайд
Содержание слайда:
№17 слайд
Содержание слайда:
№18 слайд
Содержание слайда:
№19 слайд
Содержание слайда:
№20 слайд
Содержание слайда:
№21 слайд
Содержание слайда:
№22 слайд
Содержание слайда:
№23 слайд
Содержание слайда:
№24 слайд
Содержание слайда: Структура конечных полей
Пусть f(x) – неприводимый многочлен степени n над полем F и α - корень f(x). Тогда поле F[x]/(f(x)) можно представить как
F[α]={a0 +a1α+ … +an-1 αn-1: ai из F}
Пусть α есть корень неприводимого многочлена степени m над полем GF(q), тогда α является также порождающим элементом поля
№25 слайд
Содержание слайда: Структура конечных полей
Пример:
α корень многочлена 1+x+x3 над GF(2) , то есть 1+x+x3 GF(2)[x]. Следовательно, GF(8)=GF(2)[α]. Порядок α есть делитель 8-1=7. Поэтому ord(α)=7 и α – примитивный элемент.
Тогда:
α3+α6 = (1+α)+(1+α2) = α+α2 = α4
α3α6 = α9=α2
№26 слайд
Содержание слайда: Структура конечных полей
Таблица логарифмов Zech:
Пусть α – примитивный элемент GF(q). Для каждого 0≦i≦q-2 или i = ∞, мы определяем и заносим в таблицу элемент z(i) такой что 1+αi=αz(i). (примем α∞ = 0)
Для любых двух элементов αi и αj , 0≦i ≦ j≦ q-2 в поле GF(q).
αi+αj = αi(1+αj-i) = αi+z(j-i) (mod q-1)
αiαj = αi+j (mod q-1)
№27 слайд
Содержание слайда: Структура конечных полей
№28 слайд
Содержание слайда: Теорема: Произвольный неприводимы многочлен над полем GF(2) делит многочлен Xn+1, где
n = 2m-1 и m есть степень многочлена
№29 слайд
Содержание слайда: Примитивные многочлены
Неприводимый многочлен p(X) степени m называется примитивным, если n – наименьшее положительное целое число такое что p(X) делит Xn+1 и n=2m-1
Пример
p(X)=X4+X+1 делит X15+1 но не делит никакой многочлен Xn+1 для 1≤n<15 (Primitive)
p(X)= X4+X3+X2+X+1 делит X5+1 (Irreducible but Not Primitive)
№30 слайд
Содержание слайда:
№31 слайд
Содержание слайда:
№32 слайд
Содержание слайда:
№33 слайд
Содержание слайда:
№34 слайд
Содержание слайда:
№35 слайд
Содержание слайда:
№36 слайд
Содержание слайда:
№37 слайд
Содержание слайда: Алгоритмы
Алгоритм Евклида нахождения НОД
Расширенный алгоритм Евклида
Возведение в степень
№38 слайд
Содержание слайда: Векторное пространство(V,F, +, .)
F - поле
V множество элементов(векторов)
Сложение векторов(коммутативное, ассоциат-е)
Умножение на число
Линейная зависимость, базисы, подпространства
№39 слайд
Содержание слайда: Источники
Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля. В 2-х томах. - Москва, "Мир", 1988.
Э.Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, Москва, 1971.
Р.Блейхут, Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, Мир, Москва, 1986.
http://www.ksu.ru/f9/index.php?id=20
Скачать все slide презентации Тема: Конечные поля одним архивом:
