Презентация Динамика вязкой несжимаемой жидкости онлайн

Содержание слайда: Динамика вязкой несжимаемой жидкости

Содержание слайда: Предисловие Рассматривается движение вязкой жидкости, плотность которой остается неизменной. В качестве исходных используем уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.

Содержание слайда: Задание Вывести уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости – уравнение Стокса. Рассмотреть ламинарное изотермическое течение несжимаемой жидкости по горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения.

Содержание слайда: Словарь терминов Несжимаемой называют жидкость, плотность которой не меняется. Изотермическим называют поток, температура которого остается постоянной.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости Для вывода уравнения используем: уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости и постоянство вязкости жидкости при изотермическом ее движении

Содержание слайда: Уравнение Навье-Стокса при этих условиях Уравнение Навье-Стокса при этих условиях упрощается где – коэффициент кинематической вязкости.

Содержание слайда:

Содержание слайда: и подставив ее в предыдущее выражение, получим уравнение Стокса – уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости и подставив ее в предыдущее выражение, получим уравнение Стокса – уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости

Содержание слайда: Непосредственными наблюдениями и многочисленными опытами установлено существование двух основных режимов движения жидкостей – ламинарного и турбулентного. Непосредственными наблюдениями и многочисленными опытами установлено существование двух основных режимов движения жидкостей – ламинарного и турбулентного.

Содержание слайда: Словарь терминов Ламинарным называют строго упорядоченное, слоистое (без перемешивания) течение жидкости. Единственной причиной потерь энергии при таком движении в горизонтальных трубах постоянного поперечного сечения является трение, обусловленное вязкостью жидкости.

Содержание слайда: Словарь терминов При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным траекториям, в результате чего струйки перемешиваются и жидкость течет в виде беспорядочной массы.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Ламинарное изотермическое течение несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения

Содержание слайда: Предположим, что установившееся ламинарное движение жидкости происходит в горизонтальной, прямолинейной, круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром , что соответствует одномерному течению. На некотором расстоянии от входа в нее, где поток уже сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1 и 2-2. Предположим, что установившееся ламинарное движение жидкости происходит в горизонтальной, прямолинейной, круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром , что соответствует одномерному течению. На некотором расстоянии от входа в нее, где поток уже сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1 и 2-2.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Пусть в сечении 1-1 давление равно p1, а в сечении 2-2 – p2 т.е. на длине l давление в потоке изменилось на величину Пусть в сечении 1-1 давление равно p1, а в сечении 2-2 – p2 т.е. на длине l давление в потоке изменилось на величину за счет трения жидкости о стенки канала. Применим к потоку жидкости уравнение Стокса, которое в рассматриваемом случае одномерного движения в проекции на ось x примет вид

Содержание слайда: Выполним преобразование этого уравнения: исключим выражение, стоящее в левой части уравнения, поскольку в установившемся движении скорость не меняется с течением времени, следовательно удалим первое слагаемое в правой части уравнения, так как проекция силы тяжести на горизонтальную ось x равна нулю;

Содержание слайда: в одномерном движении отсутствуют проекции вектора скорости на оси координат, перпендикулярные направлению движения, в одномерном движении отсутствуют проекции вектора скорости на оси координат, перпендикулярные направлению движения, и Поэтому и их производные равны нулю: и . Следствием этого для несжимаемой жидкости будет

Содержание слайда: Проекция уравнения Стокса на ось x примет следующий вид Проекция уравнения Стокса на ось x примет следующий вид Изменение давления вдоль трубы пропорционально длине трубы поэтому получим

Содержание слайда: Решим полученное дифференциальное уравнение при условии, что на границе области течения (на стенке трубы) скорость частиц жидкости равна нулю Решим полученное дифференциальное уравнение при условии, что на границе области течения (на стенке трубы) скорость частиц жидкости равна нулю Граница области течения описывается уравнением окружности

Содержание слайда: Решением дифференциального уравнения является функция Решением дифференциального уравнения является функция Она удовлетворяет граничному условию, а при превращает дифференциальное уравнение в тождество.

Содержание слайда: Это становится очевидным после подстановки данной функции в дифференциальное уравнение Это становится очевидным после подстановки данной функции в дифференциальное уравнение

Содержание слайда: Перейдем от декартовой системы координат к цилиндрической, в которой Перейдем от декартовой системы координат к цилиндрической, в которой

Содержание слайда: Уравнение одномерного движения несжимаемой жидкости в этой системе координат Уравнение одномерного движения несжимаемой жидкости в этой системе координат описывается квадратичной зависимостью скорости частицы жидкости от радиуса.

Содержание слайда: Словарь терминов Профилем скорости называют распределение векторов скорости по нормальному сечению потока. Ламинарному течению соответствует параболический профиль скорости.

Содержание слайда: Максимальная скорость имеет место в центре сечения трубопровода (при r=0) Максимальная скорость имеет место в центре сечения трубопровода (при r=0) Применим полученный закон распределения скоростей для расчета объемного расхода жидкости. Элементарный расход через бесконечно малую площадку dS равен

Содержание слайда: Бесконечно малую площадку представим в виде кольца радиусом r и толщиной dr, т.е. Бесконечно малую площадку представим в виде кольца радиусом r и толщиной dr, т.е.

Содержание слайда: Тогда после интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r=R0, получим Тогда после интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r=R0, получим

Содержание слайда: Среднюю по сечению скорость находим делением расхода на площадь поперечного сечения канала Среднюю по сечению скорость находим делением расхода на площадь поперечного сечения канала Ее значение в два раза меньше найденной ранее максимальной скорости на оси трубы.

Содержание слайда: Преобразовав полученное выражение, найдем закон сопротивления, т.е. зависимость потери давления на трение от расхода, либо средней скорости жидкости, ее вязкости и геометрических размеров канала Преобразовав полученное выражение, найдем закон сопротивления, т.е. зависимость потери давления на трение от расхода, либо средней скорости жидкости, ее вязкости и геометрических размеров канала

Содержание слайда: Из уравнения следует, что потери давления при ламинарном течении жидкости по прямолинейному каналу цилиндрической формы прямо пропорциональны его длине, расходу и вязкости среды в первой степени и обратно пропорциональны радиусу (диаметру) в четвертой степени. В литературе этот закон носит имя Пуазейля. Из уравнения следует, что потери давления при ламинарном течении жидкости по прямолинейному каналу цилиндрической формы прямо пропорциональны его длине, расходу и вязкости среды в первой степени и обратно пропорциональны радиусу (диаметру) в четвертой степени. В литературе этот закон носит имя Пуазейля.

Содержание слайда: Выразив радиус трубы через диаметр, и выполнив ряд эквивалентных преобразований, данный закон можно представить в виде Выразив радиус трубы через диаметр, и выполнив ряд эквивалентных преобразований, данный закон можно представить в виде где – критерий Рейнольдса.

Содержание слайда: Словарь терминов В технических расчетах принято потери давления на трение рассчитывать по формуле Дарси-Вейсбаха где  – коэффициент потерь на трение.

Содержание слайда: Из сравнения двух последних выражений следует, что при ламинарном режиме течения коэффициент потерь равен Из сравнения двух последних выражений следует, что при ламинарном режиме течения коэффициент потерь равен Изложенные результаты хорошо подтверждаются опытом

Содержание слайда: Исключения: течение на начальном участке трубы, где еще происходит формирование потока; течение с теплообменом; течение в капиллярах и зазорах, где имеет место облитерация; течение с большими перепадами давлений.