Презентация Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля онлайн

Содержание слайда: Лекция 4. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля

Содержание слайда:

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле (или сообщим ему некоторый заряд q). На свободные заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля, а на месте останутся положительные неском-пенсированные заряды атомов. Такое перемещение зарядов будет продолжаться до тех пор (практически это происходит мгновенно), пока не установится опреде-ленное распределение зарядов, при котором электри-ческое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Первое условие равновесия зарядов на проводнике: в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует, т. е. Е = 0 (1) Замечание. Поскольку в проводнике всюду Е = 0, то плотность избыточных зарядов внутри проводника также равна нулю (ρ=0).

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью σi (эти заряды называют индуцированными), вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Индуцированный заряд находится в очень тонком поверхностном слое толщиной в один-два межатомных расстояний. Отсутствие поля внутри проводника означает (в силу Е= -φ), что потенциал φ в проводнике одинаков во всех точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальную область, а его поверхность является эквипотенциальной. Из факта эквипотенциальности поверхности проводника следует, что непосредственно у этой поверхности электрическое поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке и, соответственно, производная потенциала по касатель-ному направлению

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Второе условие равновесия зарядов на проводнике: в статическом случае электрическое поле на поверхности проводника всегда ортогонально поверхности в каждой точке, т. е. Е = Еп (2) Следствия из условий равновесия: Так как в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов – нет, то удаление вещества из его некоторого внутреннего объема никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Т. е. избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном – по его наружной поверхности. На внутренней поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут.

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Таким образом, если в полости проводника нет сторонних зарядов, электрическое поле в ней равно нулю, а внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости никакого электрического поля. Именно на этом свойстве замкнутой полости основана электростатическая защита объектов (экранирование измерительных приборов) от влияния внешних полей с помощью замкнутых металлических оболочек.

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Пример: Преобразование поля «точечного» малого тела с зарядом q при внесении проводящего шара.

Содержание слайда: Условия равновесия зарядов на проводнике. Поле вблизи поверхности проводника. Расчет поля у поверхности проводника. Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Воспользуемся теоремой Гаусса и определим поток вектора Е через малый цилиндр с основанием ΔЅ, принадлежащим исследуемой поверхности. Так как линии вектора Е перпендикулярны поверхности проводника и внутри проводника Е = 0, то полный поток через цилиндр будет равен только потоку через «наружный» торец этого цилиндра, т. е. Еп∙ΔЅ = σ∙ΔЅ/ε0 , где Еп – проекция вектора Е на внешнюю нормаль п, σ – локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. После сокращения на ΔЅ получаем:

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Емкость проводников Рассмотрим некоторый уединенный проводник, т. е. проводник, удаленный от других проводников, тел (могут быть диэлектрики) и зарядов. Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы везде внутри проводника было поле Е = 0, а на поверхности Е = Еп . Поэтому, если уже заряженному проводнику дополнительно сообщить еще заряд q, то последний должен распределиться по проводнику аналогичным образом, как и первый заряд q. Из подобия распределений различных порций заряда следует, что отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любом q – будет постоянным. Отсюда следует, что потенциал уединенного проводника φ пропорционален находящемуся на нем заряду q (это также подтверждается экспериментом).

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Следовательно отношение не зависит от заряда и для каждого уединенного проводника имеет свое конкретное значение. Эту величину принято называть электроемкостью проводника (или просто емкостью проводника) и обозначать:

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Емкость конденсаторов Уединенные проводники, вообще говоря, обладают небольшой емкостью. На практике же часто возникает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен факт, что емкость провод-ника возрастает при приближении к нему других тел. Это объясняется возникновением индуцированных (на другом проводнике) или связанных (на поверхности диэлект-рика) зарядов под действием поля рассматриваемого заряженного проводника; причем наведенные заряды противоположного знака располагаются ближе к провод-нику, чем одноименные заряды, и, следовательно, оказы-вают большее влияние на результирующий потенциал проводника:

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Таким образом, потенциал проводника, как алгебраи-ческая сумма (4), уменьшается при приближении к нему других незаряженных тел, а его емкость увеличивается, так как Простейший конденсатор состоит из двух проводни-ков (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, его обкладкам придают такую форму и так располагают относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденса-тора. Последнее означает: линии вектора Е начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой, а заряды на обкладках равны по модулю: +q = |- q|.

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Емкость конденсатора определяется как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками (иначе: отношение заряда к напряжению на конденсаторе U), т. е. Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от величины зазора между обкладками (d) и от диэлектрической проница-емости (ε) среды, заполняющей конденсатор, т. е. можно записать: С = f (форм-фактор; d; ε ). Пример 1: Емкость плоского конденсатора. Пусть площадь обкладок конденсатора S, а его заряд q, тогда поле между обкладками согласно теореме Гаусса и принципа суперпозиции:

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Пример 2: Емкость цилиндрического конденсатора. Заданы: размеры конденсатора (R1 , R2 , l), проницае-мость однородного диэлектрика (ε). Задавшись зарядом на конденсаторе q, определяем по теореме Гаусса поле между обкладками где λ= q/l – линейная плотность заряда. Далее определяем напряжение на конденсаторе:

Содержание слайда: Электроемкость проводников и конденсаторов Пример 3: Емкость сферического конденсатора. Заданы: размеры конденсатора (R1, R2), проницаемость однородного диэлектрика (ε). Задавшись зарядом на конденсаторе q, определяем по теореме Гаусса поле в сферическом зазоре между обкладками Далее рассчитаем напряже-ние на конденсаторе как

Содержание слайда: Энергия системы неподвижных зарядов Энергия взаимодействия системы зарядов Ранее было получено выражение для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов qi и qk: где rik – расстояние между этими зарядами. Теперь рассмотрим систему из N-точечных зарядов: q1, q2,.., qi ,…, qN. Еще в механике было доказано, что энергия взаимодействия системы материальных точек (а сейчас точечных зарядов) равна сумме энергий взаимодействия каждой i-ой точки (i-ого заряда) со всеми оставшимися точками (зарядами), взятых попарно: Если переписать последнее выражение в виде двух последовательных сумм:

Содержание слайда: Энергия системы неподвижных зарядов Полная энергия взаимодействия системы непрерывно распределенных зарядов Если заряды распределены непрерывно (допустим, есть заряженное тело), то, разлагая заряженную систему на совокупность элементарных зарядов dq = ρ∙dV и переходя от суммирования в (6) к интегрированию по объему, получаем: где φ – потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объема dV (в том числе самим зарядом dq).

Содержание слайда: Энергия заряженного проводника и конденсатора Энергия уединенного заряженного проводника Пусть проводник имеет заряд q и потенциал φ. Поверхность проводника является эквипотенциальной, т.е. везде, где есть заряд, значение φ – одинаково. Поэтому для проводника в формуле (7) потенциал можно вынести из-под знака интеграла и тогда энергию заряженного проводника можно определить как а с учетом определения емкости (3) можно также записать:

Содержание слайда: Энергия заряженного проводника и конденсатора Энергия конденсатора Пусть +q и φ1 – заряд и потенциал положительно заряженной обкладки, а −q и φ2 – заряд и потенциал отрицательно заряженной обкладки конденсатора. Тогда, воспользовавшись формулой (7) и разбив интеграл на две части (для одной и другой обкладок), получим энергию заряженного конденсатора а с учетом определения емкости можно также записать: Последние две формулы используются в зависимости от условий работы конденсатора: когда на обкладках поддержи-вается постоянным заряд (конденсатор отключен от источника), то когда поддерживается постоянным напряжение (конденсатор подключен к источнику питания), то

Содержание слайда: Плотность энергии электростатического поля О локализации энергии электрического поля Формула (7) определяет энергию любой электричес-кой системы через заряды и потенциалы, но эту же энергию можно выразить через основную характеристику поля – напряженность Е. Убедимся в этом на простейшем примере – заряженном плоском конденсаторе. Пренебрегая искажением поля у краев пластин, будем считать поле между обкладками однородным. Подставив в формулу энергии выражение для емкости плоского конденсатора получаем:

Содержание слайда: Плотность энергии электростатического поля Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, то заключенная в нем энергия распределя-ется с постоянной (объемной) плотностью В общей теории доказывается, что в случае изотроп-ного диэлектрика (когда Е ↑↑ D) полную энергию поля можно определить как: где учтено, что D =ε0∙ε∙E. При этом объемную плотность энергии электрического поля можно рассчитывать по формулам: Вывод: Так как эта плотность энергии определяется через напряженность поля, то можно заключить, что энергия локализована в самом электрическом поле.

Содержание слайда: Плотность энергии электростатического поля Дополнение к формуле (13) Если представить вектор электрического смещения как сумму векторов: D = ε0∙E +P, то объемную плотность энергии электрического поля можно представить как: где слагаемое определяет плотность энергии Е-поля в вакууме, а слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика.