Презентация Числовой ряд. Сумма ряда. Признаки сходимости онлайн

Содержание слайда: Числовой ряд. Сумма ряда. Признаки сходимости Лекция 7

Содержание слайда: Числовой ряд. Числовым рядом называют бесконечную сумму членов числовой последовательности + …..+ +………= - общий член ряда ( определяет член ряда по его номеру) Пример 1) = + +…….+ + ….. = 2) ……. ……. = Возникают вопросы: Что понимать под суммой бесконечного числа слагаемых ? Можно ли изменять порядок членов ряда ?

Содержание слайда: Сумма ряда Пусть Сумму первых членов ряда называют й частичной суммой ряда и обозначают : = = + = + + …………………………………. = = + + + ……+ Частичные суммы образуют монотонно возрастающую последовательность : ……. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм то его называют суммой ряда , а ряд называют сходящимся. Если не существует или бесконечен, то ряд называют расходящимся.

Содержание слайда: Ряд из членов геометрической прогрессии = +….+ +… ; знаменатель Сумма первых членов геометрической прогрессии: . Находим сумму ряда согласно определению: при условии Пример 1. = …. = = Пример 2. Над сходящимися рядами можно выполнять арифметические операции – умножение на число и сложение: + 3 = +3 + 3 =

Содержание слайда: Необходимый признак сходимости Если ряд сходится, то = 0 Док-во: из сходимости ряда следует, что = = = Если необходимый признак не выполняется ( не существует или существует, но отличен от нуля) , то ряд расходится. Пример 1. Ряд ; = ; = Ряд расходится Пример 2. Гармонический ряд расходится . Доказательство при помощи интегрального признака !!!

Содержание слайда: Критерий сходимости ряда , Ряд с неотрицательными членами сходится тогда только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху, т.е. существует число такое, что для всех выполняется неравенство = + +…..+ Док-во. Необходимость: из сходимости ряда следует существование предела = и ограниченность последовательности Достаточность. Последовательность частичных сумм является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. По признаку существования предела справедливо: т.е. ряд сходится. На основе этого критерия доказываются достаточные признаки сходимости: признак сравнения, интегральный признак Коши, а также признак Даламбера и радикальный признак Коши, которые доказываются на основе признака сравнения.

Содержание слайда: Признак сравнения Если существует номер такой, что для всех выполняются неравенства , то из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует расходимость Примеры исследования рядов на сходимость. сравниваем со сходящейся геометрической прогрессией : Оба ряда сходятся. . Сделав оценку 1, сравниваем с геометрической прогрессией . Оба ряда сходятся. 3. . Сделав оценку , делаем вывод о расходимости обоих рядов.

Содержание слайда: Признак Даламбера. Признак Коши. Пусть для ряда , существует предел (признак Даламбера) = (радикальный признак Коши) Тогда при ряд сходится, а при расходится. При эти признаки не работают (примените такие признаки как необходимый, сравнения, интегральный, асимптотические оценки) Пример 1. По признаку Даламбера = = = == Ряд сходится. Пример 2. расходится по признаку Коши : =

Содержание слайда: Интегральный признак сходимости ряда Если функция и убывает на то ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно. Пример 1. Ряд и интеграл сходятся при Расходятся при Пример 2. Иногда удается получить при помощи формулы Тейлора асимптотическую формулу вида . . Используя оценку , , получаем ряд , который расходится ( Пример 3. Ряд и = = сходятся.