Презентация Формула Тейлора для функции нескольких переменных онлайн

Содержание слайда: Лекция 4.5 Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных, условия его существования и методы поиска.

Содержание слайда: Формула Тейлора для функции нескольких переменных. ТЕОРЕМА. Пусть функция z = f(x, y) имеет в окрестности точки M0(х0,y0) непрерывные производные до n-ого порядка включительно. Тогда для любой точки M(х, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Содержание слайда: Доказательство. Доказательство. Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты х = х0 + tΔx, y = y0 + tΔy, причем 0  t  1. Тогда φ ( t ) = f (х0 + tΔx, y0 + tΔy) – n раз непрерывно дифференцируемая сложная функция от t, причем φ (0) = f ( х0, y0 ), φ (1) = f (х0 + Δx, y0 + Δy).

Содержание слайда: Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Аналогично По индукции получим, что

Содержание слайда: Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Полагая t = 1, получим Заметим, что Итак

Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Содержание слайда: Локальные экстремумы функции нескольких переменных. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция u = f(х1, х2, ... хm) определена в области G Rm. Точка М0G называется точкой локального максимума (минимума) функции f(М), если найдется такая -окрестность точки М0, что для всех точек М, принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство f(М) – f(М0)  0 (  0). ПРИМЕР.

Содержание слайда: Необходимое условие экстремума. Необходимое условие экстремума. ТЕОРЕМА. Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная производная по какой-либо переменной, то эта производная равна нулю. Доказательство. Докажем теорему для функции двух переменных f(x, y). Пусть М0(х0, у0) – ее точка локального экстремума. Пусть существует, например, fx (х0, у0). Введем вспомогательную функцию  (x) = f (x, у0). Точка х0 является ее точкой экстремума, следовательно по теореме Ферма  (x0) = fx (х0, у0) = 0 , ч.т.д. СЛЕДСТВИЕ. Если в точке экстремума М0 функция f(М) дифференцируема, то df(М0) = 0.

Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) = 0, то М0 называется стационарной точкой. Точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Но не всякая стационарная точка будет точкой экстремума. ПРИМЕР.

Содержание слайда: Достаточные условия экстремума. Достаточные условия экстремума. ТЕОРЕМА. Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки M0 непрерывные частные производные второго порядка и пусть df(M0) = 0. Тогда если d2f(M0) – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма, то M0 – точка локального минимума (максимума), если d2f(M0) – неопределенная квадратичная форма, то M0 не является точкой экстремума. Доказательство. Приведем доказательство для функции двух переменных f(x, y). По формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом Пеано имеем

Содержание слайда: Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке Пусть для определенности d2f(M0) – положительно определенная квадратичная форма. Тогда при всех значениях , не равных нулю одновременно.

Содержание слайда: В нашем случае переменные связаны соотношением В нашем случае переменные связаны соотношением и поэтому одновременно не равны нулю. Квадратичная форма – непрерывная функция двух переменных, принимающая только положительные значения и заданная на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Поскольку эта окружность есть компакт, то функция достигает на нем своей точной нижней грани m. Таким образом для всех значений аргументов, удовлетворяющих условию ( * ), а Следовательно в достаточно малой окрестности точки М0 выполняется неравенство f(M) – f(M0) > 0, то есть М0 – точка локального минимума.

Содержание слайда: СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка этой функции. Исследуем второй дифференциал функции в стационарной точке Воспользуемся критерием Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. В нашем случае Возможные возникающие здесь ситуации сведем в таблицу:

Содержание слайда:

Содержание слайда: ПРИМЕР. ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 39x – 36y + 26. Найдем частные производные первого порядка zx = 3x2 + 3y2 – 39; zy = 6xy – 36. Для нахождения стационарных точек функции получим систему уравнений: M1(3, 2), M2(– 3, – 2), M3(2, 3), M4(–2, –3). Вычислим второй дифференциал функции d2f(x, y) = 6xdx2 +26ydxdy + 6xdy2. Матрица квадратичной формы в данном случае имеет вид:

Содержание слайда: Ее главные миноры равны: Ее главные миноры равны:

Содержание слайда: Спасибо за внимание!