Презентация Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований системы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида: 1) умножение обеих частей уравнения на число α  0; 2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α  0; 3) перестановка двух уравнений; 4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений.

Содержание слайда: Суть метод Гаусса: Суть метод Гаусса: а) из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x1; б) из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное x2; в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x3 и т.д. В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов. 1) Первый возможный вид:

Содержание слайда: Тогда Тогда

Содержание слайда: 2) Второй возможный вид 2) Второй возможный вид

Содержание слайда: б) Перепишем систему (6) в следующем виде: б) Перепишем систему (6) в следующем виде:

Содержание слайда: §5. Системы линейных однородных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 1. Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы. ТЕОРЕМА 1. Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы. ТЕОРЕМА 2. Пусть r – ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией. Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР: 1) находим общее решение системы; 2) записываем любой отличный от нуля определитель Δ , порядка n – r; 3) записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы.

Содержание слайда: Пусть дана некоторая система линейных неоднородных уравнений, имеющая множество решений: Пусть дана некоторая система линейных неоднородных уравнений, имеющая множество решений:

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 3. Пусть c1,c2, …, cn – какое-нибудь решение системы (2). Любое другое решение системы (2) может быть записано как сумма решения c1,c2, …, cn и некоторого решения системы (3). Иначе говоря, справедливо равенство: ТЕОРЕМА 3. Пусть c1,c2, …, cn – какое-нибудь решение системы (2). Любое другое решение системы (2) может быть записано как сумма решения c1,c2, …, cn и некоторого решения системы (3). Иначе говоря, справедливо равенство: X = α1C1 + α2C2 + … + αn-rCn-r + C, (4) где X – матрица-столбец неизвестных, C1,C2, …, Cn-r – матрицы-столбцы, элементами которых служат решения из фср системы (3), C – матрица-столбец, элементами которой является решение c1,c2, …, cn.