Презентация Теория множеств онлайн

Содержание слайда: Введение в теорию множеств Лекция 2

Содержание слайда: Георг Кантор

Содержание слайда: Бертран Расселл

Содержание слайда: Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель

Содержание слайда: Понятие множества Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). (Г. Кантор). Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. (Б. Расселл) Каждый сам знает, что он понимает под множеством. (Э. Борель)

Содержание слайда: Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение Указанием определяющего свойства Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

Содержание слайда: Определение 1 Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 2 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и .

Содержание слайда: Определение 3 Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания . Пример Указать равные множества A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0}, E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}. Теорема 4 Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда и Доказательство Доказательство этого факта основано на том, что эквивалентность равносильна конъюнкции двух импликаций

Содержание слайда: Определение 5 тогда и только тогда, когда и . Теорема 6 Для любых множеств А, В, С, если и , то Определение 7 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: .

Содержание слайда: 2. Операции над множествами 2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А и В называется множество Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}.

Содержание слайда: Объединение множеств Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) – идемпотентность объединения; б)   – коммутативность объединения; в)   – ассоциативность объединения; г) ; д)

Содержание слайда: Пересечение множеств Определение 4 Пересечением множеств А и В называется множество Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда

Содержание слайда: Пересечение множеств Теорема 5 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) - идемпотентность пересечения; б) - коммутативность пересечения; в) - ассоциативность пересечения; г)

Содержание слайда: Объединение и пересечение множеств Теорема 6 1) 2) 3) 4)

Содержание слайда: Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1 Разностью множеств A и B называется множество . Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}.

Содержание слайда: Разность множеств Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: 1) 2) 3) 4) Теорема 3 (законы Моргана) а) б)

Содержание слайда: Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

Содержание слайда: Дополнение множеств Определение 4 Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U (или просто дополнением А) называется множество . Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то  – множество иррациональных чисел

Содержание слайда: Дополнение множеств Теорема 5 1) 2) 3) Теорема 6(законы Моргана для дополнений) а) ; б) .

Содержание слайда: Симметрическая разность Определение 7 Симметрической разностью множеств A и B называют множество Задача (3 балла). Доказать, что

Содержание слайда: Парадокс Расселла Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?

Содержание слайда: Другие формулировки парадокса Расселла Парадокс Брадобрея: Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой? Парадокс Мэра: В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров? Парадокс библиотеки: Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Содержание слайда: Решение задач

Содержание слайда: 1. Вычисление множеств

Содержание слайда:

Содержание слайда: 3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества: 1) 2)

Содержание слайда: 3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

Содержание слайда: 4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

Содержание слайда: 4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

Содержание слайда: Декартово произведение

Содержание слайда:

Содержание слайда: Декартово произведение Определение 2 а) Множество называется декартовым произведением n множеств; б) - (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А;

Содержание слайда: Декартово произведение

Содержание слайда: Декартово произведение

Содержание слайда: Декартово произведение Теорема 4 Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда состоит из mn элементов. Доказательство ММИ по числу элементов множества B. n=1. то есть AB имеет m=m*1 элементов. 2) Допустим, что теорема верна при n=k. 3) И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть где Тогда , где поэтому множество АВ состоит из mk+m=m(k+1) элементов.