Презентация Элементы теории множеств онлайн

Содержание слайда: Элементы теории множеств

Содержание слайда: Понятие множества Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет

Содержание слайда: Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N ,…, а их элементы – соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n… Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N ,…, а их элементы – соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n… В частности, приняты следующие обозначения: ℕ – множество натуральных чисел; ℤ – множество целых чисел; ℚ – множество рациональных чисел; ℝ – множество действительных чисел (числовая прямая). C – множество комплексных чисел. И верно следующее: N Z Q  R  C Принадлежность элемента m множеству M обозначается так: mM

Содержание слайда: Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается Ø. Например: множество студентов 1курса - конечное множество; множество звезд во Вселенной - бесконечное множество; множество студентов вашего курса, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

Содержание слайда: Способы задания множеств Существуют три способа задания множеств: 1) описание множества Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10} –множество значений у из отрезка [1;10] X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2. 2) перечисление множества Примеры: А={а,б,в}- три начальные буквы русского алфавита N={1,2,3…}-натуральные числа 3)графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Содержание слайда: Заданы два множества: и .Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно. Заданы два множества: и .Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.

Содержание слайда: Множество А называют подмножеством множества В (обозначается АВ), если всякий элемент множества А является элементом множества В: Множество А называют подмножеством множества В (обозначается АВ), если всякий элемент множества А является элементом множества В:

Содержание слайда: Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда , АВ и ВА , т. е. элементы множеств А и В совпадают. Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда , АВ и ВА , т. е. элементы множеств А и В совпадают. Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны. Множество С – это множество А, только в нем элемент 3 записан дважды. Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами. Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее из трех множеств. Каждое непустое множество А≠ Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и Ø.

Содержание слайда: Множество А называется собственным подмножеством множества В, если АВ, а ВА. Обозначается так: АВ. Множество А называется собственным подмножеством множества В, если АВ, а ВА. Обозначается так: АВ. Например,

Содержание слайда: Операции над множествами Объединением (суммой) множеств А и В (обозначается АВ) называется множество С тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Возможны три случая: 1) А=В; 2) множества имеют общие элементы; 3) множества не имеют общих элементов. Примеры: 1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда АВ= {1,2,3}. 2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда АВ={1,2,3,4,5,6} 3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда АВ={1,2,3,4,6,8}

Содержание слайда: Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рисунке

Содержание слайда: Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит только из элементов одновременно принадлежащих, множествам А и В Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит только из элементов одновременно принадлежащих, множествам А и В Обозначение С=А В Возможны три случая: 1) А=В 2) множества имеют общие элементы 3) множества не имеют общих элементов.

Содержание слайда: Примеры: Примеры: 1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда АВ= {1,2,3}. 2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда АВ={2,3} 3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда АВ=

Содержание слайда: Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов принадлежащих только множеству А и не принадлежащих В. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов принадлежащих только множеству А и не принадлежащих В. Обозначение: С=А\В

Содержание слайда: Даны два множества: Даны два множества: А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}. Тогда: AB={1,2,3,b,c,d} B подмножество А А\В={1,c} AB={2,3,b,d}

Содержание слайда: Свойства: Свойства: 1. Коммутативность объединения АB=B  A 2. Коммутативность пересечения А  В=В  А 3. Сочетательный закон A (B  C)=B (A  C) 4. То же и для пересечения. 5. Распределительный относительно пересечения А  (В  C) = A  В  A  С 6. Распределительный относительно объединения А (B  С) = (А  B)  (A  C) 7. Закон поглощения А (AВ)=А 8. Закон поглощения А (А  B)=A 9. А  A=А 10. A  А=A

Содержание слайда: Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент пары берется из множества А, а второй из В. Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент пары берется из множества А, а второй из В. А={1,2,3} В={4,5} С=АВ = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)} Мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств А и В: А  В=А ∙  В 

Содержание слайда: AB ≠ В  А, кроме если А=В (в этом случае равенство выполняется) AB ≠ В  А, кроме если А=В (в этом случае равенство выполняется) Дано: Координатная числовая ось Х.х (-,+ ). Координатная числовая ось Y.у (-,+ ). D=Х  Y Декартовое произведение двух осей - точка на плоскости. Рассмотрим декартовое произведение, которое обладает свойством коммутативности. А={Иванов, Петров} В={высокий, худой, сильный} А  В= Иванов высокий, Иванов худой, Иванов сильный, Петров высокий, Петров худой, Петров сильный