Презентация Введение в анализ. Числовые множества. Функции. онлайн

Содержание слайда: Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 3. Введение в анализ. Числовые множества. Функции. Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012

Содержание слайда: Рекомендуемая литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Содержание слайда: Содержание лекции §1. Введение в анализ (основные понятия) §2. Числовые множества §3. Функции

Содержание слайда: §1. Введение в анализ (основные понятия) В математике для сокращения записей используются некоторые простейшие логические символы:     «из предложения (утверждения)  следует (вытекает) предложение (утверждение) »;     «из предложения  следует (вытекает) предложение (утверждение) »;     «предложения  и  равносильны, т.е. из предложения  следует , а из предложения  следует »;   означает «для любого», «для всякого»;   «существует», «найдется»; :  «имеет место», «найдется»;   «соответствие». Н а п р и м е р, 1) запись (x  A: ) означает: «для всякого элемента x из A имеет место предложение »; 2) Запись (x  AB)  (x  A или x  B) определяет объединение множеств A и B.

Содержание слайда: §2. Числовые множества Df: Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Примерами числовых множеств являются: N = {1; 2; 3; …} – множество натуральных чисел; N0 = {0; 1; 2; 3; …} – множество натуральных чисел с нулем, т.е. целых неотрицательных чисел. Ясно, что N0 = N{0}; Z = {0; 1; 2; 3; …} – множество целых чисел; Q = {: m  Z; n  N} – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел. Между этими множествами существуют отношения: N  N0  Z  Q  R. Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается конечной или бесконечной периодической дробью. Df: Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Множество действительных чисел не исчерпывается только множеством рациональных чисел.

Содержание слайда: §2. Числовые множества (продолжение) Т е о р е м а: Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. П р е д ы с т о р и я в о п р о с а: Геометрически корень из 2 (обозначается ) можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби). Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Содержание слайда: §2. Числовые множества (продолжение) Доказательство: Доказательство теоремы построим от противного. Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью , квадрат которого равен 2 (ясно, что m, n  N). Тогда имеем: = 2, т.е. m2 = 2n2. Отсюда следует, что m2, а значит и m – четное число, т.е. возможно представление m = 2k. Подставляя m = 2k в равенство m2 = 2n2, получим: 2k2 = n2. Рассуждая, как и выше, заключаем, что и число n – четное, т.е. n = 2l. Т.о., = , т.е. вопреки предположению, дробь оказывается сократимой. Полученное противоречие и доказывает теорему, ч.т.д.

Содержание слайда: §2. Числовые множества (продолжение) В отличие от рациональных чисел, иррациональные числа выражается бесконечной непериодической дробью. Так, = 1,4142356…;  = 3,1415926…, и др. Можно сказать, что множество R действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать: R = {x: x = a,123 … n …}, где a  Z, i  {0; 1; 2; …; 9}. С в о й с т в а множества R действительных чисел: 1. Множество R упорядоченное, т.е. a, b  R: a  b  a > b или a < b. 2. Множество R плотное, т.е. a, b  R: a  b с: a < c < b. Например, с = ½ (a + b). 3. Множество R непрерывное, т.е. всякому действительному числу x взаимно-однозначным образом можно поставить в соответствие точку на числовой оси.

Содержание слайда: §2. Числовые множества (продолжение) Пусть a и b  действительные числа, причем a < b. Df: Числовыми промежутками на числовой оси называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид: [a; b] = {x: a  x  b} – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); (a; b) = {x: a < x < b} – интервал (открытый промежуток); [a; b) = {x: a  x < b} – полуотрезок (полусегмент); (a; b] = {x: a < x  b} – полуотрезок (полусегмент); (; b] = {x: x  b}; (; b) = {x: x  b} – лучи; [a; +) = {x: x  a}; (a; +) = {x: x > a} – лучи; (; +) = {x:  < x < +} – вся числовая ось R.

Содержание слайда: §2. Числовые множества (продолжение) Df: Числа a и b называются, соответственно, левым и правым концами этих промежутков. Символы  и + обозначают не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от точки 0 начала отсчета влево и вправо. Df: Пусть x0 – произвольное действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки x0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (x0–, x0+), где  > 0, называется –окрестностью точки x0. Точка x0 называется центром, а число  – радиусом -окрестности (см. рис.). В –окрестности т. x0 имеем |x  x0| < .

Содержание слайда: §3. Функции 3.1. Понятие функции Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи, соответствия) между элементами двух непустых множеств. Df: Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу x  X сопоставляет определенный (единственный) элемент y  Y, называется (однозначной) функцией и записывается как f: X  Y. Говорят еще, что функция f отображает множество X на множество Y. Прим. Обозначая функцию, на практике чаще пишут: y = f(x) или просто y = y(x), x  X. Df: Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех допустимых значений y  Y называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Содержание слайда: 3.1. Понятие функции (продолжение) П р и м е р 1. На приведенных рис. отображение f является (однозначной) функцией в случаях а) и б) и не является таковой в случаях в) и г).

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции Пусть задана функция f: X  Y. Df: Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т.е. X  R, Y  R), то функцию f называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать, главным образом, числовые функции, именуя их просто: функции y = f(x). Df: Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y = y(x) – функцией или зависимой переменной (от x). При этом говорят, что сами величины x и y находятся в функциональной зависимости. Частное значение функции y = f(x) при x = a записывают как f(a) или y(x = a) = y(a). Например, если f(x) = 2x2  3, то f(0) = 3, f(2) = 5.

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) Df: Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением (независимого) аргумента, а y – соответствующим значением функции. Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило (процедуру), позволяющее для каждого x  D(f) указать соответствующее значение y  E(f). Df: Функция y = f(x) может быть задана одним или суперпозицией следующих наиболее употребимых способов: аналитически; таблично; графически; программно, и др.

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) Df: Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений вида y = f(x), F(x; y) = 0 и др. Например, S = R2 – функция S(R) определяет зависимость площади круга от его радиуса R; F = ma – функция F(a) определяет зависимость между силой и ускорением (II закон Ньютона); y = |x| = – определяет функцию - модуль числа x. (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 – задает неявно функцию y(x) в виде уравнения окружности с центром в точке (x0; y0) радиуса R.

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) З а м е ч а н и е: Если область определения функции D(f) функции y = f(x) не указана явно, то предполагается, что она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Например, областью определения функции y = f(x) = x2 является вся числовая ось: D(f) = R; областью определения функции y = f(x) = является отрезок [1 ; 1]: D(f) = [1; 1]. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему могут быть приложены методы математического анализа, позволяющий полностью исследовать функцию y = f(x), в частности, методами дифференциального исчисления.

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) П р и м е р 2. Провести предварительное общее исследование функции и построить ее график: y = . Решение: Графиком функции y = f(x) = является верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром в точке O(0; 0) (см. рис.); D(f) = [1; 1]; E(f) = [0; 1].

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) Df: Графический способ: функция задается в виде графика, часто не имеющего единого аналитического выражения. Примерами графического способа задания функции являются биржевые котировки, например, курсы валют на рынке Forex (см. рис.).

Содержание слайда: 3.2. Числовые функции (продолжение) Нередко графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции y, соответствующие тем или иным значениям аргумента x, непосредственно находятся из этого графика; это называют оцифровкой графика. Преимуществом графического задания функции является его наглядность, недостатком – его неточность. Df: Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, ранее широко использовались таблицы значений тригонометрических функции, таблицы логарифмов и др. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функции, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Содержание слайда: 3.3. Основные характеристики функций Df: Функция y = f(x), определенная на множестве D = D(f), называется чётной, если x  D выполняются условия: x  D и f(x) = f(x). Функция y = f(x), определенная на множестве D = D(f), называется нечётной, если x  D выполняются условия: x  D и f(x) = f(x). Если функция не является четной или нечетной, то говорят, что ее четность не определена, или что рассматриваемая функция является функцией общего вида. С в о й с т в о: График четной функции симметричен относительно оси Oy; нечетной функции  симметричен относительно начала координат O(0; 0). Так, y = x2, y = , y = |x|, y = cos x  четные функции; y = x3, y = x, y = sin x  нечетные функции.

Содержание слайда: 3.3. Основные характеристики функций (продолжение) Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть область D1  D. Df: Если для любых значений аргументов x1 < x2, где x1, x2  D1, выполняется неравенство f(x1) < f(x2), то функция f(x) называется (строго) возрастающей на множестве D1; если f(x1)  f(x2), то функция f(x) называется неубывающей (нестрого возрастающей) на множестве D1. Df: Если для любых значений аргументов x1 < x2, где x1, x2  D1, выполняется неравенство f(x1) > f(x2), то функция f(x) называется (строго) убывающей на множестве D1; если f(x1)  f(x2), то функция f(x) называется невозрастающей (нестрого убывающей) на множестве D1.

Содержание слайда: 3.3. Основные характеристики функций (продолжение) Df: Возрастающей, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие (убывающие) – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности функции. Df: Функцию y = f(x), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, существует такое (конечное) число M > 0, что x  D выполнено неравенство |f(x)|  M. Иными словами, функция y = f(x) ограничена, если ограничено множество ее значений: E(f)  [M; M]. Так, функция y = f(x) = строго монотонна на интервале (1; 0), где она возрастает, и на интервале (0; 1), где она убывает; функция ограничена, ибо E = [0; 1]  [1; 1].

Содержание слайда: 3.3. Основные характеристики функций (продолжение) Df: Функция y = f(x), определенная на множестве D, называются периодической на этом множестве, если существует такое число T > 0, что x  D выполняется равенство f(x + T) = f(x) (подразумевается, что и x + T  D). При этом число T называется периодом функции y = f(x). Если T – период функции, то ее периодами будут также и числа вида nT, где n  Z. Наименьшее число T, для которого выполняется равенство f(x + T) = f(x) называется основным периодом (или просто периодом). Так, для тригонометрической функции y = f(x) = sin x периодом являются числа вида 2n, где n  Z, ибо f(x + 2n) = sin(x + 2n) = sin x  cos 2n + cos x  sin 2n = sin x = f(x). Основной (наименьший положительный) период: T = 2. З а д а ч а. Установить периодичность следующих функций: а) y = sin x + cos x; б) y = sin2 x; в) y = |sin x|.

Содержание слайда: 3.4. Обратная функция Df: Пусть дана функция y = f(x) с областью определения D = D(f) и множеством значений E = E(f). Если каждому значению y  E соответствует единственное значение x  D, то определена функция x = (y) с областью определения D. Такая функция называется обратной к функции y = f(x). Функции f(x) и (y) являются взаимно обратными по отношению друг к другу. Функции f(x) и (y) задают взаимно однозначное соответствие между множествами D и E.

Содержание слайда: 3.4. Обратная функция (продолжение) Чтобы найти функцию x = (y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x (если это возможно), после чего можно сделать привычное переобозначение: x  y. Например, для функции y = 2x обратной является функция x = ½ y или, после переобозначения x  y, y = ½ x. Еще. Для функции y = x2, D = [0; 1] обратной является функция x = или, после переобозначения x  y, y = . При построении обратной функции область D(f) определения исходной («прямой») функции y = f(x) для обратной функции x = (y) становится множеством значений E() и, наоборот, множество E(f) значений исходной («прямой») функции y = f(x) для обратной функции x = (y) становится областью определения D().

Содержание слайда: 3.4. Обратная функция (продолжение) Сказанное означает, что точка M1(x0; y0) кривой прямой функции y = f(x) становится точкой M2(y0; x0) кривой обратной функции y = (x). Но точки M1 и M2 симметричны относительно прямой у = x (см. рис.). У т в е р ж д е н и е: графики взаимно обратных функций y = f(x) и y = (x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Содержание слайда: 3.5. Сложная функция Df: Пусть функция y = f(u) определена на множестве D = D(f), а функция u = (x) определена на множестве D1, причем x  D1 соответствующее значение u = (x)  D. Тогда на множестве D1 определена функция y = f((x)) , которая называется сложной функцией от x (или функцией f от функции  или суперпозицией функций f и ). Переменную u = (x) называют промежуточным аргументом сложной функции. Так, функция y = sin 2x является суперпозицией двух простых (элементарных функций): y = sin u и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции Основными элементарными функциями называют нижеследующие функции y = f(x). 1. Степенная функция y = x,   R. Среди степенных функций выделяется класс функций с целочисленным показателем степени: y = xn, n  N. 1.1. Линейная функция: y = x (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = R; функция нечетна и монотонно возрастает в D. Обратная функция: y = x (б) совпадает с данной.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.2. Квадратичная функция: y = f(x) = x2 (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = [0; ); функция четна и монотонно возрастает в области D() = R+ = [0; ). Обратная функция y = (x) = (рис., б)) определена в области D() = R+ = [0; ); множество значений обратной функции E() = R+ = [0; ).

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.3. Кубическая функция: y = f(x) = x3 (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = R; функция нечетна и монотонно возрастает в D. Обратная функция y = (x) = (рис., б)) определена в области монотонности функции y = x3, т.е. в области D() = R; множество значений обратной функции E() = R.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.4. Функция: y = f(x) = = x1 (см. рис., а)). Область определения D = R\{0}; множество значений: E = R\{0}; функция нечетна и монотонна в D. Обратная функция y = (x) = (рис., б)) совпадает с данной функцией, ее область определения D() = R\{0}; множество значений E() = R\{0}.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.5. Функция: y = f(x) = = x2 (см. рис., а)). Область определения D = R\{0}; множество значений: E = R+\{0}; функция четна и монотонно убывает в области R+\{0}. Обратная функция y = (x) = (рис., б)), ее область определения D() = R+\{0}; множество значений E() = R+\{0}.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.6. Функция: y = f(x) = ax, a > 1 (см. рис., а) для основания a = e). Область определения D = R; множество значений: E = R+\{0}; функция общего вида и монотонно возрастает в области D = R. Обратная функция y = (x) = (рис., б)), ее область определения D() = R+\{0}; множество значений E() = R.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.7. Функция: y = f(x) = ax, 0 < a < 1 (см. рис., а) для основания a = 1/e). Область определения D = R; множество значений: E = R+\{0}; функция общего вида и монотонно убывает в области D = R. Обратная функция y = (x) = (рис., б)), ее область определения D() = R+\{0}; множество значений E() = R.

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.8. Функция: y = f(x) = sin x (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = [1; 1]; функция является нечетной и периодической (период T = 2) и монотонно возрастает на промежутке D1 = [½; ½]. Обратная функция y = (x) = arcsin x (рис., б)), ее область определения D() = E = [1; 1]; множество значений E() = D1 = [½; ½].

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.9. Функция: y = f(x) = cos x (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = [1; 1]; функция является четной и периодической (период T = 2) и монотонно убывает на промежутке D1 = [0; ]. Обратная функция y = (x) = arccos x (рис., б)), ее область определения D() = E = [1; 1]; множество значений E() = D1 = [0; ].

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.10. Функция: y = f(x) = tg x (см. рис., а)). Область определения D = R\{(n + ½), n  N}; множество значений: E = R; функция является нечетной и периодической (период T = ) и монотонно возрастает на промежутке D1 = [½; ½]. Обратная функция y = (x) = arctg x (рис., б)), ее область определения D() = E = R; множество значений E() = D1 = [½; ½].

Содержание слайда: 3.6. Основные элементарные функции (продолжение) 1.11. Функция: y = f(x) = ctg x (см. рис., а)). Область определения D = R\{n, n  N}; множество значений: E = R; функция является нечетной и периодической (период T = ) и монотонно убывает на промежутке D1 = [0; ]. Обратная функция y = (x) = arcсtg x (рис., б)), область определения D() = E = R; множество значений E() = D1 = [0; ].

Содержание слайда: 3.5. Сложная функция Df: Вообще, функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Так, примерами элементарных функций могут служить функции: y = 3cos x; y = arcsin  ; y = lg(1 + x3). Примерами неэлементарных функций могут служить функции: y = y = y = 1  +  + … + (1)n + ….

Содержание слайда: Спасибо за внимание! Ваши вопросы, замечания, предложения …