Презентация Алгебра. Лекция 1. Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком онлайн

Содержание слайда: Лекция 1 Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком

Содержание слайда: Теория чисел: Теория чисел: наука о числовых системах изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможности представления чисел через другие, более простые арифметика или высшая арифметика (arithmetike от arithmos – «число», и techne – «наука»)

Содержание слайда: Пифагорейские числа Совершенные, недостаточные и избыточные числа: недостаточные числа – те, сумма собственных делителей которых меньше самого числа (собственный делитель числа – это другое число, на которое исходное число делится нацело, включая единицу и исключая само число); избыточные числа – те, сумма собственных делителей которых больше самого числа; совершенные числа равны сумме всех своих собственных делителей Дружественные числа: два таких числа, каждое из которых равно сумме делителей другого. Пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел: 220 и 284 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (сумма делителей числа 220). 220=1+2+4+71+142 (сумма делителей числа 284).

Содержание слайда: Числа близнецы Числа близнецы - пары простых чисел с разностью, равной двум (в пределах первой сотни): 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73 Среди них имеются пары очень больших чисел. На 2005г. рекордсменами считались близнецы 33218925∙2169690±1, найденные с помощью ЭВМ До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество пар близнецов

Содержание слайда: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855 гг.) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист Учение о целых числах всегда казалось учёным неисчерпаемым полем для исследований и во все времена привлекало к себе внимание наиболее выдающихся умов «Эта особенность теории чисел вместе с неистощимым богатством её, которым она столь сильно превосходит другие отрасли математики, придаёт высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее её любимой наукой величайших математиков» (Гаусс)

Содержание слайда: Отношение делимости. Делимость целых чисел В Италии существует поговорка «Трудное дело деление».Так обычно говорят, когда оказываются перед почти неразрешимой проблемой В Средние века людей, умевших производить деление, можно было пересчитать чуть ли не по пальцам. Их уважительно называли «магистрами деления». Они переезжали из города в город по приглашениям купцов, желавших привести в порядок свои счета

Содержание слайда: Старинная восточная притча Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвёртую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу

Содержание слайда: Старинная восточная притча - Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой. Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались: - О мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний. - Это не лишний, - сказал мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой

Содержание слайда: Определение отношения делимости Пусть a, b ϵ Z, b≠0. Говорят, что a делится на b, если существует c ϵ Z, что a=b∙c Обозначают: Говорят также: b – делитель a, b делит a (обозначают: b│a), a кратно b.

Содержание слайда: На 0 делить нельзя Число 0 не рассматривается в качестве делителя Действительно, если a≠0, то a=0∙q невозможно при любом q Если же a=0, то 0=0∙q верно при любом целом q. Однако в этом случае частное q, в отличие от остальных случаев, определяется не однозначно Если считать, что 0 делится на 0, то это создаёт определённые неудобства

Содержание слайда: Пример Разложим в произведение выражение a2-a2 двумя способами: Имеем: а(а-а)=(а-а)(а+а) Разделим обе части на (а-а) и получим: а=2а Ещё раз разделим на а, получим, что 1=2

Содержание слайда: Свойства делимости 1. , если а≠0 2. Если и , то 3. Если а≠0, то 4. Если а≠0 и , то │a│≥│b│ 5. Если , то b=±1 6. Если и , то a=±b 7. для любого целого а

Содержание слайда: Свойства делимости Если и , то 9. Если и b ϵ Z, то 10. Если и , то 11. Если и , то 12. Если и , то 13. Если и , то 14. Если и b ϵ N, то 15. Если , то 16. Если , то

Содержание слайда: Теорема о делении с остатком Для любого целого числа а и любого целого b≠0 существуют и единственные целые числа q и r, такие, что a = bq + r, где 0 ≤ r <│b│ Число q называют неполным частным, r – остатком

Содержание слайда: Доказательство 1) b>0. Рассмотрим числовую прямую и разобьем её на отрезки длины b точками 0, ±b, ±2b, ±3b, … Очевидно, что где бы ни было расположено число a, оно обязательно попадёт в один из полуинтервалов [bq, b(q+1)), где q – целое, так как числовая прямая – объединение всех таких полуинтервалов. То есть найдётся целое q, что bq ≤ a ≤ b(q+1). К каждой части неравенства прибавим –bq, получим 0 ≤ a-bq < b Обозначим a-bq=r. Тогда a=bq+r, 0 ≤ r < b=│b│ 2) b<0. Тогда –b > 0 и по доказанному для a и –b существуют целые q и r, что a=(-b)q+r, 0 ≤ r <│-b│. Откуда получаем: a=b(-q)+r, где 0 ≤ r <│b│. Существование q и r доказано

Содержание слайда: Доказательство Докажем единственность. Пусть a =bq+r, 0≤ r <│b│, и a= bq1+r1, 0 ≤ r1<│b│ Имеем: bq+r = bq1+r1, b(q-q1) = r1-r Если q=q1, то r1=r Если же q≠q1, то (r1-r) и, следовательно, │r1-r│≥│b│(свойство делимости 5) Однако │r1-r│<│b│ - противоречие Следовательно, q=q1, r1=r

Содержание слайда: Ребус