Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
6 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
186.00 kB
Просмотров:
104
Скачиваний:
1
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Семинар 2. Числовые последовательности и числовые множества. Фундаментальная последовательность.
Свойства числовых последовательностей и числовых множеств
1. Подпоследовательности числовых последовательностей
Пусть - некоторая числовая последовательность. Рассмотрим последовательность . Выбираем из элементы с номерами , то есть - это подпоследовательность последовательности .
Свойство 1
Если для , то любая подпоследовательность этой последовательности имеет своим пределом число а.
Справедливо и обратное.
Если все подпоследовательности последовательности сходятся, то пределы этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность .
Свойство 2
Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой.
Свойство 3
Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся подпоследовательность.
2. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.
№2 слайд
Содержание слайда: Определение
Определение
Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство
Теорема 1
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть
Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)
Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.
Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.
Критерий Коши.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Примеры с решениями
1.Доказать, что последовательность сходится.
Доказательство. Оценим модуль разности
№3 слайд
Содержание слайда: Пусть - произвольное положительное число. Поскольку для этого существует N такое, что для любого верно неравенство . Значит, если , а p – произвольное натуральное число, то .
Пусть - произвольное положительное число. Поскольку для этого существует N такое, что для любого верно неравенство . Значит, если , а p – произвольное натуральное число, то .
Таким образом, условие Коши выполнено, и поэтому данная последовательность сходится.
2. Доказать, что последовательность расходится
Доказательство. Оценим модуль разности
Если здесь взять p=n , то получим
Отсюда видно, что данная последовательность удовлетворяет отрицанию условия Коши. А именно, при для любого натурального N возьмем n=N, m=2N, тогда будем иметь
Значит, данная последовательность не имеет конечного предела, то есть расходится.
3.Доказать, что последовательность имеет предел и найти его.
Доказательство. Составим отношение .
Поскольку (n+1)/(2n+3)<1/2 для любого . Значит последовательность убывающая. Очевидно, для любого выполнены
№4 слайд
Содержание слайда: неравенства , то есть последовательность ограничена. Отсюда
неравенства , то есть последовательность ограничена. Отсюда
следует, что она сходится.
Обозначим . Последовательность является подпоследовательностью
данной последовательности, поэтому . Переходя теперь к пределу в
равенстве , получаем откуда
4. Пусть a>1/ . Доказать, что
Доказательство. Поскольку a-1>0 имеем для
всех Отсюда следует, что
Так как
5. Показать, что при последовательность имеет своим пределом число 2.
Решение. Здесь n-й элемент последовательности есть . Следовательно,
Зададим заранее положительное число .Выберем n настолько большим, что будет выполнено неравенство . Для этого достаточно принять . При таком выборе n получим . Значит .
№5 слайд
Содержание слайда: 6.Показать, что при последовательность имеет своим пределом число 3/2.
6.Показать, что при последовательность имеет своим пределом число 3/2.
Решение. Здесь . Определим, при каком значении n выполняется неравенство ; так как
Итак, если , то , то есть .
Полагая , заключаем, что неравенство выполняется при n>12 (например, n=13). Аналогичным образом, неравенство выполняется при n>124,5 (например, при n=125), а неравенство при n>1249,5 (например, при n=1250).
7.Найти предел
Решение. Выражение 1+2+3+…+n – сумма элементов арифметической прогрессии с разностью d=1. Сумму элементов вычисляем по формуле . В
нашем случае . Получаем следующее выражение для исходного предела
8.Найти предел
Решение. Преобразуем выражение предела умножая и деля числитель и знаменатель на сопряженные выражения
№6 слайд
Содержание слайда: Задачи для самостоятельного решения
1.Пусть и - фундаментальные последовательности. Доказать, что:
a) - фундаментальная последовательность;
b) - фундаментальная последовательность;
c) Если , то - фундаментальная последовательность;
2. Найти пределы последовательностей
3. Найти пределы последовательностей