Презентация Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства онлайн

Содержание слайда: Элементы и множества. Операции над множествами и их свойств.

Содержание слайда: Основные вопросы: Понятие множества Способы задания множества Отношения между множествами Операции над множествами

Содержание слайда:

Содержание слайда: Понятия теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Содержание слайда: С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D . Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.

Содержание слайда: Примеры множеств: множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х2-5х+6=0; множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит). Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( — содержится).

Содержание слайда:

Содержание слайда: Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Способы задания множеств Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}. 2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B». Например, а – четное натуральное число. 3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов , то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они:

Содержание слайда: Примеры

Содержание слайда: Примеры

Содержание слайда: Виды множеств:

Содержание слайда: Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ Пример Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Содержание слайда: Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек отрезка [0;1] бесконечно. Пример Множество атомов во Вселенной

Содержание слайда: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком  Пример Множество действительных корней уравнения x2 +1=0. Пример Множество людей, проживающих на Солнце.

Содержание слайда: Мощность множества Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m (A) или |A|. Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

Содержание слайда: Пример . Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6, 8} больше. Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).

Содержание слайда: Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

Содержание слайда: При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

Содержание слайда: Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Эта зависимость между множествами называется  включением. При этом пишут AB, где  есть знак вложения подмножества.

Содержание слайда: Свойства множеств Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A B. Для любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если и , то . Для всякого множества А пустое множество  является его подмножеством:  А

Содержание слайда: Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А . Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

Содержание слайда: Количество подмножеств Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств. А={1,2} Подмножества А: {}, {1}, {2}, {1,2}.

Содержание слайда: В={1,3,5} В={1,3,5}

Содержание слайда: Операции над множествами Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Содержание слайда: Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e}, Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда:

Содержание слайда: объединение Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Содержание слайда: разность Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5},

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами

Содержание слайда: Операции над множествами Если А - множество параллелограммов, В- множество трапеций, С - множество ромбов, D - множество прямоугольников, E - множество квадратов, то универсальным множеством U служит множество всех четырехугольников. Если А - множество треугольников, В- множество четырехугольников и так далее, то в качестве универсального множества U можно выбрать множество всех многоугольников.

Содержание слайда: Задача. Даны множества Найти: объединение, пересечение, разность.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Содержание слайда: Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Содержание слайда: Домашнее задание: