Презентация Метод главных элементов для решения системы линейных уравнений онлайн

Содержание слайда: Метод главных элементов для решения системы линейных уравнений Студент группы: ФМ-12-15 Мижеев В. Ю.

Содержание слайда: Формулы: Запишем систему линейных уравнений следующим образом: A . (1) Расширенная матрица A этой системы имеет вид: (2)

Содержание слайда: продолжение На первом шаге элемент называется ведущим. Разделим на него первую строку матрицы A, в результате получим: (3)

Содержание слайда: продолжение Найдем из (3), подставим его значение во все остальные уравнения и тем самым исключим из всех уравнений, кроме первого. Взяв теперь полученную систему без первого уравнения, повторяем этот процесс, беря в качестве ведущего элемента коэффициент при и т.д. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего () уравнения не останется лишь один член с неизвестным , т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем и т.д. Последним находим из первого уравнения.

Содержание слайда: Схему вычислений по методу Гаусса с выбором главного элемента поясняет следующий пример: 2,74–1,18+3,17 = 2,18; 1,12+0,83–2,16 =  –1,15; 0,18+1,27+0,76 = 3,23.

Содержание слайда: Решение ведется в таблице 1.

Содержание слайда: продолжение Выбираем максимальный элемент в столбцах   раздела A (=3,17). Заполняем столбец раздела A, полученный делением элементов столбца (результат деления берется с обратным знаком) на максимальный элемент =3,17:

Содержание слайда: продолжение В столбец  записываются суммы коэффициентов строк матрицы A: 2,74+(–1,18)+3,17+2,18=6,91; 1,12+0,83+(–2,16)+(–1,15)= –1,36; 0,18+1,27+0,76+3,23=5,44.

Содержание слайда: продолжение Переход к разделу Б ведется следующим образом: строку, содержащую главный (ведущий) элемент, умножаем на и прибавляем к соответствующей строке. Результат записываем в раздел Б. Строка с ведущим элементом в раздел Б не переписывается. 2,74×0,6814+1,12=2,9870; (–1,18) × 0,6814 +0,83=0,0259; 2,28×0,6814+(–1,15)=0,3355; 6,91×0,6814+(–1,36)=3,3485 (результат заносится в столбец ).

Содержание слайда: продолжение Далее считает сумму  в каждой строке раздела Б. 2,9870+0,0259+0,3355=3,3484; –0,4768+1,5528+2,7075=3,7835.

Содержание слайда: продолжение Если столбцы  и  совпадают (с заданной точностью), то вычисления выполнены верно и можно переходить к следующему шагу: выбираем главный элемент (2,9870), считаем mi и т.д. В результате обратного хода получаем:

Содержание слайда: продолжение Практически, вследствие вычислительных погрешностей, полученное методом Гаусса решение системы является приближенным. Покажем, как уточнить это решение. Пусть для системы получено приближенное решение Положим       . Тогда для вектора поправки будем иметь уравнение или

Содержание слайда: продолжение где   – вектор невязок для приближенного решения  . Таким образом, чтобы найти , нужно решить систему с прежней матрицей A и новым вектором свободных членов  . Заметим, что преобразованные коэффициенты матрицы A можно не уточнять, так как при малых невязках соответствующие ошибки будут иметь более высокий порядок малости.

Содержание слайда: продолжение Найдем поправку   к полученному в нашем примере решению Коэффициенты при неизвестных  уже имеются готовыми в таблице 1. Остается лишь преобразовать вектор свободных членов.

Содержание слайда: Прямой ход

Содержание слайда: Обратный ход. 2==- 1==0,0004 =-0,0234 Вектор   может служить для приближенной оценки абсолютной погрешности полученного решения. 

Содержание слайда: Спасибо за внимание!