Презентация Методи розвязування СЛАР (Система лінійних алгебраїчних рівнянь) онлайн

Содержание слайда: МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СЛАР

Содержание слайда: МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СЛАР

Содержание слайда:

Содержание слайда: ПРЯМІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СЛАР МЕТОД ГАУССА

Содержание слайда: МЕТОД ГАУССА

Содержание слайда: МЕТОД ГАУССА

Содержание слайда: МЕТОД ГАУССА Метод Гаусса має сигнальну функцію виду (поліноміальний): Елемент називається ведучим елементом на k-му кроці виключення. Основним обмеженням методу є припущення, що всі елементи відмінні від нуля. Щоб зменшити похибку ведучим необхідно вибирати найбільшим за модулем елемент.

Содержание слайда: Матрицею перестановок P називається квадратна матриця, у якої в кожному рядку і в кожному стовпці наявний лише один відмінний від нуля і рівний одиниці елемент. Елементарною матрицею перестановок Pki називається матриця, отримана з одиничної матриці перестановкою k-го і i-го рядків. Наприклад, елементарними матрицями перестановок третього порядку є матриці: Добуток двох (а отже, і будь-якої кількості) елементарних матриць перестановок є матрицею перестановок (не обов’язково елементарною). Матрицю PkiA отримують із матриці A перестановкою k-го і i-го рядків. Матрицю APki отримують із матриці A перестановкою k-го і i-го стовпців. Метод Гаусса з вибором головного елемента по стовпцю еквівалентний звичайному методу Гаусса, який застосовують до системи

Содержание слайда: З системи Ax = b маємо Cx = y З системи Ax = b маємо Cx = y Можна показати b та y пов’язані між собою як Dy = b, де матриця D має вигляд: З y = D-1b Маємо Cx = D-1b  DCx = b  A = DC

Содержание слайда: Метод Гаусса відповідає розкладанню матриці A на добуток двох трикутних матриць: Метод Гаусса відповідає розкладанню матриці A на добуток двох трикутних матриць: A = LU (L = D, U = C) тобто Якщо det A ≠ 0, то існує матриця перестановок P така, що справедливе розкладання

Содержание слайда: LU-розкладання матриці А

Содержание слайда: Приклад

Содержание слайда: Схема Холецького

Содержание слайда: Обчислення det(A) на основі LU-розкладу матриці Обчислення det(A) на основі LU-розкладу матриці det(A)= det(LU)= det(L) det(U) = Розв’язування СЛАР на основі LU-розкладу матриці Розкладання матриці A = LU Розв’язування системи Ly = b Розв’язування системи Ux = y

Содержание слайда:

Содержание слайда: Обчислення A-1 Знаючи розклад обернену матрицю легко обчислити як

Содержание слайда: РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПЕРЕВИЗНАЧЕНИХ СИСТЕМ РІВНЯНЬ Припустимо, що система Ax = b має матрицю A розмірністю m n (m > n). Така система має безліч розв’язків, але можна вибрати серед них таке, що мінімізує нев’язку розв’язку  = b – Ax. Початкова перевизначена система зводиться до так званої нормальної форми (ATA)x = Cx = ATb Звідки x = (ATA)-1ATb Матриця С = ATA розмірністю (n  n) неособлива, якщо стовпці матриці A незалежні.

Содержание слайда: ТОЧНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ СЛАР 6,1 x 1 + 3,4 x 2 = 6,1 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x 1= 1; x 2 = 0. 6,1 x 1 + 3,4 x 2 = 6,101 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x 1= 1,205; x 2 = -0,3675. 6,101 x 1 + 3,4 x 2 = 6,1 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x 1= 0,829875; x 2 = 0,304979.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Норми векторів Норма lp ||x||p = (|x1|p + |x2|p +…+|xn|p)1/p Евклидова норма ||x||2 = (|x1|2 + |x2|2 +…+|xn|2)1/2 Норма l1 ||x||1 = (|x1| + |x2| +…+|xn|) Норма l ||x|| = max {|x1|,|x2|,…,|xn|) i

Содержание слайда: Норми матриць Норма lp Евклидова норма Норма l1 Норма l

Содержание слайда: ВЛАСТИВОСТІ НОРМ

Содержание слайда: ЧИСЛО ОБУМОВЛЕНОСТІ

Содержание слайда: ЧИСЛО ОБУМОВЛЕНОСТІ

Содержание слайда: ОЦІНКА ПОХИБОК

Содержание слайда: ТОЧНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ СЛАР 6,1 x 1 + 3,4 x 2 = 6,1 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x 1= 1; x 2 = 0. 6,1 x 1 + 3,4 x 2 = 6,101 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x1= 1,205; x 2 = -0,3675. 6,101 x 1 + 3,4 x 2 = 6,1 14,7 x 1 + 8,2 x 2 = 14,7 x 1= 0,829875; x 2 = 0,304979. cond(A)=1.1908*104 |A| = 0.04