Презентация Основные определения теории проверки гипотез онлайн

Содержание слайда: Основные определения теории проверки гипотез Пусть имеется выборка из генеральной совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения. Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде теоретической функции распределения, то есть статистическая гипотеза – это рассматриваемое предположение о величине параметра генеральной совокупности.. Имеются две непересекающиеся гипотезы: Н0 и H1. Н0 – нулевая (основная) гипотеза, H1 – альтернативная (конкурирующая) гипотеза. Принято считать, что Н0 –гипотеза о сходстве, H1 –гипотеза о различии. Нулевая гипотеза – это допущение, которое считается верным до тех пор, пока не будет доказано обратное, исходя из результатов статистической проверки. Альтернативная гипотеза – это гипотеза, которая принимается, если в результате статистической проверки отвергается нулевая гипотеза.

Содержание слайда: Основные определения теории проверки гипотез Определение: Статистическим критерием (тестом) называется правило, позволяющее на основании наблюдений принять нулевую гипотезу Н0 или отвергнуть ее в пользу альтернативной H1. Проверка гипотезы может быть односторонней или двусторонней. Определение: Односторонний критерий используется в тех случаях, когда необходимо знать, является ли параметр генеральной совокупности > (правосторонний критерий) или < (левосторонний критерий) предполагаемого значения. Определение: Двусторонний критерий используется в тех случаях, когда интересует, отличаются ли реальные значения параметра от предполагаемого значения. Определение: Критическую область составляют те значения выборочных статистических показателей, которые ведут к отказу от нулевой гипотезы.

Содержание слайда: Уровень значимости Определение: Уровень значимости – вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы Н0 (вероятность ошибки I рода). При статистическом анализе исследователь должен выбрать необходимый уровень значимости. При этом считают низшим уровнем значимости значение α=0.05, достаточным уровнем - α=0.01, высшем уровнем α =0.001. Иногда, доверительной вероятностью считается величина р=1- α Возможные решения статистического критерия:

Содержание слайда: Ошибки I и II рода Определение 1: В процессе проверки гипотезы существует вероятность того, что Н0 будет отвергнута, когда в действительности она должна быть принята. Это называется ошибкой первого рода. Вероятность допущения ошибки первого рода это уровень значимости. Таким образом, когда выбирают 5% уровень значимости для проверки, одновременно допускают, что в 5% случаев должны отвергнуть Н0, хотя она и верна. Определение 2: Второй вид ошибок имеет место при принятии нулевой гипотезы, в то время как в действительности она должна быть отвергнута.такая ошибка называется ошибкой второго рода.

Содержание слайда: Этапы принятия статистического решения Формулировка нулевой и альтернативной гипотез. Определение объема выборки. Выбор соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения гипотезы Н0 ( ). Выбор статистического метода, который зависит от типа решаемой задачи. Вычисление значения выборочной статистики на основании наблюдений . Если гипотеза Н0 верна, то распределение случайной величины известно (затабулировано). Нахождение по таблице для выбранного статистического метода критической области для определенного уровня значимости. Сравнение эмпирического и критического значений. Если , то принимается Н0; если , то Н0 отвергается в пользу альтернативной. Формулировка принятия решения (выбор гипотезы Н0 или H1).

Содержание слайда: При попадании выборочной статистики в зону незначимости принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. В случае попадания в зону значимости принимается гипотеза H1 о наличии различий, а гипотеза Н0 отклоняется. При попадании выборочной статистики в зону неопределенности в зависимости от важности решаемой задачи можно принять H1 на уровне 5% или принять Н0 на 1% уровне. В этом случае можно допустить ошибки I или II рода. В этих обстоятельствах лучше увеличить объем выборки.

Содержание слайда: Проверка гипотезы о соответствии исправленной выборочной дисперсии величине генеральной дисперсии нормальной совокупности Стандартизированный статистический критерий (тест) для проверки такой гипотезы рассчитывается как: , (1) где σ02– проверяемое значение генеральной дисперсии, а S2– исправленная выборочная дисперсия, n – объем выборки. Левосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид: Н0: S2=σ2 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2; Н1: S2<σ2. Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0, если Здесь α – уровень значимости принятия гипотезы, k=n-1 – число степеней свободы - определяется по таблице χ2–распределения.

Содержание слайда: Проверка гипотезы о соответствии исправленной выборочной дисперсии величине генеральной дисперсии нормальной совокупности Правосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид: Н0: S2=σ2 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2; Н1: S2>σ2. Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0, если . Двусторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид: Н0: S2=σ2 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2; Н1: S2≠σ2. Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0 в противном случае.

Содержание слайда: Проверка гипотезы о соответствии выборочной средней величине генеральной средней нормальной совокупности Формируем гипотезы о равенстве генеральной μ и выборочной средней μ0. Н0: μ=μ0; Н1: μ≠μ0. Правило принятия решения: принять Н0, если , в противном случае принять Н1. Zкрит определяется из таблиц функции Лапласа из равенства Ф(zкрит)=(1-α)/2.

Содержание слайда: Метод p-value Величина р – это значение, которое в случае верности нулевой гипотезы представляет собой вероятность получения величины стандартизированного критерия проверки, большего по абсолютному значению, чем рассчитанный критерий проверки. В случае односторонней проверки Р равно площади под кривой слева (левосторонняя проверка) или справа 9правосторонняя проверка) от значения критерия проверки. В случае двусторонней проверки она равна удвоенной площади в части под кривой справа или слева от критерия проверки. Односторонняя проверка Двусторонняя проверка

Содержание слайда: Метод p-value В методе p-value правило принятия решения одинаково независимо то того, выполняется левосторонняя, правосторонняя или двусторонняя проверка. Обозначив степень значимости для проверки через α, получим следующее правило принятия решения: Принять Н0, если p-value≥ α В противном случае, отвергнуть Н0. Расчет величины р: Для того чтобы найти величину р, прежде всего рассчитывают стандартный критерий проверки, а затем, зная число степеней свободы, находят вероятности (площади в граничных областях), соответствующие показателям статистики (F или t или z), которые охватывают снизу и сверху рассчитанный критерий проверки. После этого с помощью интерполяции, исходя из полученных вероятностей, находят величину р.

Содержание слайда: Задача оценивания Пусть имеются данные выборки, например значения некоторого признака, Х1, Х2,…, Хn, полученные в результате n наблюдений. Для того чтобы найти статистическую оценку θ неизвестного параметра теоретического распределения через эти данные необходимо найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которые дают приближенное значение оцениваемого параметра. Статистическую оценку, которая определяется одним числом, называют точечной.

Содержание слайда: Свойства оценок Полученные оценки должны быть достоверными, т.е. обладать свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности. Несмешанной называют статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой равно оценивающему параметру θ при любом объеме выборки, т.е. М(θ*)= θ . Эффективной оценкой называют статистическую оценку θ*, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→ ∞ и стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.: .

Содержание слайда: Метод моментов для точечной оценки параметра распределения Оценка одного параметра Вид плотности распределения f(x, θ). Требуется найти точечную оценку . Для оценки одного параметра достаточно одного уравнения, относительного этого параметра. Пусть Тогда Решив уравнение относительно параметра θ , найдем точечную оценку Следовательно оценка есть функция от вариант выборки:

Содержание слайда: Метод моментов для точечной оценки параметра распределения Оценка двух параметров Вид плотности распределения f(x, θ1, θ2). Требуется найти точечные оценки и Для оценки двух параметров достаточно системы двух уравнений, относительного этих параметров. Пусть Тогда Решив систему относительно параметров θ1, θ2 , найдем точечные оценки Следовательно оценки есть функции от вариант выборки:

Содержание слайда: Метод максимального правдоподобия Для дискретных случайных величин. Пусть Х дискретная случайная величина, которая принимает возможные значения х1, х2,…,хп. Пусть закон распределения задан, но неизвестен параметр распределения θ . Требуется найти точечную оценку . Вероятность того, что величина Х , примет значение хi , р(хi , θ). Определение: Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х называют функцию аргумента θ Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа. Определение: Логарифмической функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х называют функцию аргумента θ

Содержание слайда: Метод максимального правдоподобия Определение: Оценкой максимального правдоподобия называют такую оценку , для которой функция правдоподобия достигает максимума. Для ее нахождения решают уравнение, называемое уравнением правдоподобия: Если при θ= , , то - точка максимума.

Содержание слайда: Метод максимального правдоподобия Для непрерывных случайных величин. Пусть Х непрерывная случайная величина, которая пв результате испытания приняла значения х1, х2,…,хп. Пусть вид плотности распределения f(x) известен, но неизвестен параметр распределения θ. Требуется найти точечную оценку . Определение: Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины Х называют функцию аргумента θ: Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа. Оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут также, как и в случае с дискретной случайной величины.

Содержание слайда: Метод максимального правдоподобия Для непрерывных случайных величин. Если плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х определяется двумя неизвестными параметрами θ1, θ2, то функция правдоподобия является функцией двух аргументов θ1, θ2 : Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа. Для нахождения параметров θ1, θ2 решают систему уравнений:

Содержание слайда: Статистическая задача оценивания Задача: по наблюдениям х1, х2,…,хп над случайной величиной Х, распределенной равномерно на отрезке [0, a], оценить неизвестный параметр а. Сравним три способа оценивания: Метод моментов Метод максимального правдоподобия Метод порядковых статистик Где - выборочная квантиль порядка 0,5, т.е. выборочная медиана, х(k) - член вариационного ряда с номером k. (причем n=2k).

Содержание слайда: Теоретическое сравнение оценок Все оценки являются несмещенными, их математические ожидания равны истинным параметрам а. (доказать сам-но) Дисперсии оценок: (будет доказано на лекции) Наименьшую дисперсию имеет третья оценка Примечание: Для получения значения дисперсии для третьей оценки использовали: Теорема Крамера: Выборочная р-квантиль имеет дисперсию приближенно равную , где хр – истинная р-квантиль, f(x) – плотность распределения наблюдений выборки.

Содержание слайда: Статистическое сравнение оценок Значение оценок концентрируются в окрестности оцениваемого параметра (свойство несмещенности). С ростом числа наблюдений в выборке точность (величина разброса) оценок улучшается (свойство несмещенности). То есть размах R и стандартное отклонение S уменьшается. 3. Различные оценки различаются по величине средней ошибки. Откуда следует, что различные способы обработки наблюдений нужно сравнивать по величине среднего значения некоторого критерия качества, например среднего квадрата ошибки.

Содержание слайда: Виды плотностей распределения основных распределений Распределение Фишера с т и п степенями свободы Распределение «Хи-квадрат» с п степенями свободы Распределение Стьюдента с т степенями свободы Здесь , а Г – гамма-функция.