Презентация Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі онлайн

Содержание слайда: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Пряма на площині Площина Пряма в просторі

Содержание слайда: Аналітична геометрія - розділ геометрії, в якому найпростіші лінії і поверхні (прямі, площини, криві і поверхні другого порядку) досліджуються засобами алгебри. Лінією на площині називають геометричне місце точок M (x;y), координати яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0, (1)    де F (x, y) - многочлен степені n. Поверхнею називають геометричне місце точок M (x;y;z), координати яких задовольняють рівняння F (x, y, z) = 0, (2)     де F (x, y, z) - поліном степені n. Лінією в просторі називають перетин двох поверхонь. Рівняння (1) і (2) називають загальними рівняннями лінії на площині і поверхні відповідно. Степінь многочлена F (x, y) (F (x, y, z)) називають порядком лінії (поверхні).

Содержание слайда: 1. Пряма на площині 1.1 Загальне рівняння прямої на площині і його дослідження ЗАДАЧА 1. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору

Содержание слайда: Висновки: Висновки: 1) Пряма на площині - лінія першого порядку. У загальному випадку вона задається рівнянням Ax+By+C = 0, де A,B,C – числа. 2) Коефіцієнти A і B не обертаються в нуль одночасно, так як з геометричної точки зору це координати вектору, перпендикулярного прямій. Вектор, перпендикулярний прямій, називають нормальним вектором цієї прямої.

Содержание слайда: Дослідження загального рівняння прямої якщо в рівнянні Ax+By+C = 0 всі коефіцієнти A,B і C відмінні від нуля, то рівняння називають повним; якщо принаймні один з коефіцієнтів дорівнює нулю –рівняння називають неповним. 1) нехай загальне рівняння прямої – повне. Тоді його можна написати у виді

Содержание слайда: 2) нехай в загальному рівнянні прямої коефіцієнти A і B – ненульові, а C = 0, тобто рівняння прямої має вид 2) нехай в загальному рівнянні прямої коефіцієнти A і B – ненульові, а C = 0, тобто рівняння прямої має вид Ax+By = 0. Така пряма проходить через початок координат O(0;0).

Содержание слайда: 3) нехай в загальному рівнянні прямої один з коефіцієнтів A або B – нульові, а C  0, тобто рівняння прямої має вид 3) нехай в загальному рівнянні прямої один з коефіцієнтів A або B – нульові, а C  0, тобто рівняння прямої має вид Ax+C = 0 або By+C = 0. Ці рівняння можна записати у виді x = a и y = b .

Содержание слайда: Зауваження. Нехай пряма ℓ не проходить через O(0;0). Зауваження. Нехай пряма ℓ не проходить через O(0;0).

Содержание слайда: 1) Параметричне рівняння прямої ЗАДАЧА 2. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0;y0), параллельно вектору

Содержание слайда: 2) Канонічне рівняння прямої на площині 2) Канонічне рівняння прямої на площині

Содержание слайда: 4) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox. Тоді вона перетинається з Ox, утворюючи при цьому дві пари вертикальних кутів. 4) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox. Тоді вона перетинається з Ox, утворюючи при цьому дві пари вертикальних кутів.

Содержание слайда: Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox і Oy та проходить через точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2) (де x1 < x2). Знайдем кутовий коефіцієнт цієї прямої. Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox і Oy та проходить через точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2) (де x1 < x2). Знайдем кутовий коефіцієнт цієї прямої.

Содержание слайда: Рівняння y – y1 = k·(x – x1) – це рівняння прямої, що проходить через точку M1(x1,y1) і має кутовий коефіцієнт k. Рівняння y – y1 = k·(x – x1) – це рівняння прямої, що проходить через точку M1(x1,y1) і має кутовий коефіцієнт k. Перепишемо це рівняння у виді y = kx + b (де b = y1 – kx1). Його називають рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. З геометричної точки зору b – відрізок, що відтинається прямою на осі Oy. Зауваження. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом було отримане у припущенні, що пряма не паралельна осі Ox і Oy. Для прямої, паралельної Ox загальне рівняння можна розглядати як рівняння з кутовим коефіцієнтом. Действительно, уравнение такой прямой y = b або y = 0·x + b, де k = 0 – кутовий коефіцієнт прямої.

Содержание слайда: 3. Взаємне розташування прямих на площині На площині дві прямі можуть бути: а) паралельними, б) перетинаються. Нехай рівняння прямих ℓ1 і ℓ2 мають вид: ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1 ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2 1) Нехай прямі паралельні:

Содержание слайда: Отримуємо, що прямі ℓ1 і ℓ2 паралельні тоді і тільки тоді, коли в їх загальних рівняннях коефіцієнти при відповідних поточних координатах пропорціональні, тобто Отримуємо, що прямі ℓ1 і ℓ2 паралельні тоді і тільки тоді, коли в їх загальних рівняннях коефіцієнти при відповідних поточних координатах пропорціональні, тобто

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: 4. Відстань від точки до прямої ЗАДАЧА 3. Нехай пряма ℓ задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0 , M0(x0;y0) – точка, що не належить прямій ℓ. Знайти відстань точки M0 до прямої ℓ .

Содержание слайда: 2. Площина 1. Загальне рівняння площини і його дослідження ЗАДАЧА 1. Записати рівняння, площини, що проходить через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору

Содержание слайда: ВИСНОВКИ: ВИСНОВКИ: 1) Площина це поверхня першого порядку. В загальному випадку вона задається рівнянням Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,D – числа. 2) Коефіцієнти A, B, C не перетворюються в ноль одночасно, оскільки з геометричної точки зору це координати вектора, перпендикулярного площині.

Содержание слайда: ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ Якщо в рівнянні Ax+By+Cz+D = 0 всі коефіцієнти A,B,C і D відмінні від нуля, то рівняння називають повним; якщо принаймні один із коефіцієнтів дорівнює нулю – неповним. 1) Нехай загальне рівняння площини – повне. Тоді його можна записати у виді

Содержание слайда: 2) Нехай в загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B і C – ненульові, а D = 0, тобто рівняння площини має вигляд 2) Нехай в загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B і C – ненульові, а D = 0, тобто рівняння площини має вигляд Ax+By +Cz = 0. Така площина проходить через початок координат O(0;0;0).

Содержание слайда: а) площина відсікає на осях Ox і Oy відрізки a і b відповідно і паралельна осі Oz; а) площина відсікає на осях Ox і Oy відрізки a і b відповідно і паралельна осі Oz;

Содержание слайда:

Содержание слайда: 4) Нехай в рівнянні площини (2) два з трьох коефіцієнтів A, B або C – нульові, а D  0, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+D = 0 або б) By+D = 0 або в) Cz+D = 0. 4) Нехай в рівнянні площини (2) два з трьох коефіцієнтів A, B або C – нульові, а D  0, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+D = 0 або б) By+D = 0 або в) Cz+D = 0. Ці рівняння можна записати відповідно у виді:

Содержание слайда: б) площина відсікає на Oy відрізок b і паралельна осям Ox і Oz (тобто паралельна площині Oxz); б) площина відсікає на Oy відрізок b і паралельна осям Ox і Oz (тобто паралельна площині Oxz); в) площина відсікає на Oz відрізок c і паралельна осям Ox и Oy (тобто паралельна площині Oxy).

Содержание слайда: 5) Нехай в загальному рівнянні площини (2) D = 0 і один із коефіцієнтів A, B або C теж нульовий, тобто рівняння площини має вид: 5) Нехай в загальному рівнянні площини (2) D = 0 і один із коефіцієнтів A, B або C теж нульовий, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+By = 0 або б) Ax+Cz = 0 або в) By+Cz = 0. Площина проходить через початок координат і вісь відсутньої координати

Содержание слайда: 6) Нехай в загальному рівнянні площини (2) три коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто рівняння площини має вид: 6) Нехай в загальному рівнянні площини (2) три коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто рівняння площини має вид: а) Ax = 0 або б) By = 0 або в) Cz = 0. Ці рівняння можна записати відповідно у виді: а) x = 0 – рівняння координатної площини Oyz; б) y = 0 – рівняння координатної площини Oxz, в) z = 0 – рівняння координатної площини Oxy.

Содержание слайда: Зауваження. Нехай площина λ не проходить через O(0;0;0). Зауваження. Нехай площина λ не проходить через O(0;0;0).

Содержание слайда: 2. Інші форми запису рівняння площини 1) Рівняння площини, що проходить через точку паралельно двом неколінеарним векторам ЗАДАЧА 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку M0(x0;y0;z0), паралельно неколінеарним векторам

Содержание слайда:

Содержание слайда: 2) Рівняння площини, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій – частинний випадок рівняння (4) 2) Рівняння площини, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій – частинний випадок рівняння (4) Нехай площина проходить через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) і M3(x3;y3;z3), що не лежать на одній прямій.

Содержание слайда: 3. Взаємне розташування площин У просторі дві площини можуть: а) бути паралельними, б) перетинатися. Нехай рівняння площин λ1 і λ2 мають вид: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Тоді:

Содержание слайда: 1) Нехай площини паралельні: 1) Нехай площини паралельні:

Содержание слайда: де знак плюс береться у тому випадку, коли необхідно знайти величину гострого кута, а знак мінус – коли необхідно знайти величину тупого кута. де знак плюс береться у тому випадку, коли необхідно знайти величину гострого кута, а знак мінус – коли необхідно знайти величину тупого кута.

Содержание слайда: Частинний випадок – площини перпендикулярні, тобто Частинний випадок – площини перпендикулярні, тобто

Содержание слайда: 4. Відстань від точки до площини ЗАДАЧА 3. Нехай площина λ задана загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0 , M0(x0;y0;z0) – точка, не належить площині λ . Знайти відстань від точки M0 до площини λ .

Содержание слайда: 3. Пряма в просторі 1. Рівняння прямої у просторі Нехай A1x+B1y+C1z+D1=0 і A2x+B2y+C2z+D2=0 – рівняння довільних двох різних площин, що містять пряму ℓ . Тоді координати довільної точки прямої ℓ задовольняють одночасно обом рівнянням, тобто є розв'язками системи

Содержание слайда: Інші форми запису рівнянь прямої в просторі – ПАРАМЕТРИЧНІ І КАНОНІЧНІ рівняння. Інші форми запису рівнянь прямої в просторі – ПАРАМЕТРИЧНІ І КАНОНІЧНІ рівняння. ЗАДАЧА 1. Записати рівняння прямої в просторі, що проходить через точку M0(x0;y0;z0) , паралельно вектору

Содержание слайда: називають параметричними рівняннями прямої у просторі (у векторній і координатній формі відповідно). називають параметричними рівняннями прямої у просторі (у векторній і координатній формі відповідно).

Содержание слайда: Частинним випадком канонічних рівнянь є РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДВІ ЗАДАНІ ТОЧКІ. Частинним випадком канонічних рівнянь є РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДВІ ЗАДАНІ ТОЧКІ. Нехай пряма проходить через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

Содержание слайда: 2. Перехід від загальних рівнянь прямої до канонічних Нехай пряма ℓ задана загальними рівняннями:

Содержание слайда: 3. Взаємне розташування прямих у просторі В просторі дві прямі можуть бути: а) паралельними, б) перетинатися, в) мимобіжними. Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 задані канонічними рівняннями:

Содержание слайда: 2) Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 перетинаються: 2) Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 перетинаються:

Содержание слайда: 4. Взаємне розташування прямих у просторі 1) паралельні прямі  відстань між прямими (тобто, відстань від точки до прямої)? 2) прямі, що перетинаються  а) кут між прямими? б) точка перетину прямих? 3) мимобіжні прямі  а) кут між прямими? б) відстань між прямими?

Содержание слайда: ЗАДАЧА 2. Знайти кут між прямими, що перетинаються (мимобіжні) в просторі. ЗАДАЧА 2. Знайти кут між прямими, що перетинаються (мимобіжні) в просторі. ОЗНАЧЕННЯ. Кутом між двома мимобіжними прямими ℓ1 і ℓ2 називається кут між прямою ℓ1 і проекцією прямої ℓ2 на довільну площину, що проходить через пряму ℓ1 .

Содержание слайда: ЗАДАЧА 3. Знайти відстань від точки до прямої у просторі. ЗАДАЧА 3. Знайти відстань від точки до прямої у просторі.

Содержание слайда: ЗАДАЧА 4. Знайти відстань між двома мимобіжними прямими. ЗАДАЧА 4. Знайти відстань між двома мимобіжними прямими. ОЗНАЧЕННЯ. Відстанню між двома мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

Содержание слайда:

Содержание слайда: ЗАДАЧА 5. Знайти точку перетину прямих. ЗАДАЧА 5. Знайти точку перетину прямих. Нехай M0(x0;y0;z0) – точка перетину прямих. Тоді (x0;y0;z0) – розв'язок системи рівнянь

Содержание слайда: 5. Взаємне розташування прямої і площини у просторі Нехай у просторі задані площина λ і пряма ℓ . Вони можуть бути: 1) паралельні; 2) пряма може лежать в площині; 3) пряма і площина можуть перетинатися в одній точці.

Содержание слайда: а) якщо пряма паралельна площині або пряма належить площині, то а) якщо пряма паралельна площині або пряма належить площині, то

Содержание слайда: Частинним випадком перетину прямої і площини в одній точці є перпендикулярність прямої і площини Частинним випадком перетину прямої і площини в одній точці є перпендикулярність прямої і площини

Содержание слайда: Означення. Кутом між прямою ℓ і площиною λ називається кут φ між прямою ℓ і її проекцією на площину λ . Означення. Кутом між прямою ℓ і площиною λ називається кут φ між прямою ℓ і її проекцією на площину λ . З означення випливає, що кут між прямою і площиною завжди гострий.