Презентация Вступ до математичного аналізу онлайн

Содержание слайда: Лекція 4. Вступ до математичного аналізу Функції Послідовності та їх границі Границі функцій

Содержание слайда: 1. Функції Коли кожному елементу x множини Х (х∈Х) ставиться у відповідність визначений елемент y множини Y (y∈Y), то кажуть, що на множині Х задано функцію Y=f(x).

Содержание слайда: Графічна інтерпретація функціональної залежності (графік функції)

Содержание слайда: x – незалежна змінна (аргумент); x – незалежна змінна (аргумент); X – множина визначення (існування) функції, позначається D(y); y – залежна змінна; Y – область значень функції; f – символ функціональної залежності.

Содержание слайда: Функція може задаватися наступними способами: Функція може задаватися наступними способами: таблично (задається таблиця, в якій значенням x відповідають значення y); Приклад. При вивченні залежності об’ємів продаж протягом дня прохолоджувальних напоїв V торгівельною точкою (у літрах) від температури повітря t (у градусах Цельсія) отримали наступні результати: T 18 19 22 24 28 V 150 160 280 450 600 Маємо, таким чином, таблично задану функцію V(t).

Содержание слайда: Функція може задаватися наступними способами: Функція може задаватися наступними способами: словесно (наприклад, функція Діріхлє: f(x)=1, якщо x – раціональне число, f(x)=0, якщо x – ірраціональне); графічно (на координатній площині зображується лінія, для кожної точки якої ордината вважається значенням функції, яке відповідає значенню абсциси); аналітично (якщо значення функції знаходиться з рівності або рівностей, які пов’язують x та y): y=x, y=sinx

Содержание слайда: Можливі наступні варіанти аналітичного задання функції: Можливі наступні варіанти аналітичного задання функції: а) явне задавання функції співвідношенням y=f(x); б) неявне задавання функції співвідношенням f(x,y)=0, y(x) знаходиться як корінь рівняння f(x1,y(x1))=0 для всіх x1 з області визначення;

Содержание слайда: в) параметричне задавання функції системою співвідношень: в) параметричне задавання функції системою співвідношень: де t – параметр, y вважається значенням функції, що відповідає x. Вона задає параметрично залежність y від x. Приклад. Дана функція може бути задана явно:

Содержание слайда: Властивості функцій 1. Парність та непарність. Парною називається функція y=f(x), така що для ∀x∈D(x), число (-x) також належить D(x) і f(x)=f(-x), і, відповідно, непарною, якщо для ∀x∈D(x), (-x)∈D(x), проте f(-x)=-f(x). Функція, яка не є а ні парною а ні непарною називається функцією загального вигляду (або загального положення).

Содержание слайда: Властивості функцій 2. Монотонність. Зростаючою (спадною) називається функція, для якої на проміжку X більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції. Зростаючі та спадні функції називаються строго монотонними. Якщо ж більшому значенню аргументу відповідає не менше (не більше), ніж попереднє, то функція називається неспадною (незростаючою). Такі функції також називають монотонними.

Содержание слайда: Приклади строго монотонних функцій y=x2 для всіх х [0;∞] y=ctgx функція зростає спадає для всіх x

Содержание слайда: Приклади монотонних функцій y=|x+1|-|x| є неспадною .

Содержание слайда: Властивості функцій 3. Обмеженість. Обмеженою на множині Х називається функція, для якої існує таке число М, що |f(x)|≤M для всіх x∈X.

Содержание слайда: Приклади обмежених функцій y=sinx

Содержание слайда: Властивості функцій 4. Періодичність. Періодичною називається функція, для якої існує таке число T≠0, що для довільного x∈D(x) виконується рівність f(x)=f(x+T), при цьому періодом функції називається найменше додатне число T, яке задовольняє цій умові.

Содержание слайда: Типи функцій Якщо значенню y∈E(y) ставиться у відповідність єдине x таке, що f(x)=y то отриману функцію називають оберненою до y=f(x) позначають x=f-1(y). Наприклад: для функції у=х2 оберненою є у=√х. Складні функції (суперпозиції функцій): нехай y=f(u), де u∈D(u), а множина D(u) є областю значень функції u=ϕ(x). Тоді кажуть, що визначено складну функцію y=f(ϕ(x))=F(x), або, що те ж саме, що функція F є суперпозицією функцій f та ϕ. Наприклад: y=ln sinx (суперпозиція логарифму та синуса).

Содержание слайда: Елементарні функції Степенева y=xa; Показникова y=ax; Логарифмічна y=logax; Гіперболічна y=a/x; Експоненційна y=ea/x; Многочлени Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an ступеню n Примітка: перші три функції називають основними елементарними функціями, остання функція є алгебраїчною функцією.

Содержание слайда: 2. Послідовності та їх границі Кажуть, що задано числову послідовність, якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність певне дійсне число. Таким чином, числова послідовність є функцією натурального аргументу an=f(n). Послідовність записують у вигляді а1, а2,...,аn або при цьому а1, а2,...,аn члени послідовності, an=f(n) загальний (n-ий) член послідовності. Оскільки послідовність є частинним випадком функції, то для неї використовують ті ж самі терміни: монотонність , обмеженість, тощо.

Содержание слайда: Число a називають границею послідовності і записують , якщо для довільного числа ε>0 знайдеться такий номер N=N(ε), що для всіх n>N(ε) виконується нерівність |an-a|< ε (інакше кажучи, знайдеться такий номер члена послідовності, починаючи з якого, всі її члени потраплять до ε - околу числа a). Число a називають границею послідовності і записують , якщо для довільного числа ε>0 знайдеться такий номер N=N(ε), що для всіх n>N(ε) виконується нерівність |an-a|< ε (інакше кажучи, знайдеться такий номер члена послідовності, починаючи з якого, всі її члени потраплять до ε - околу числа a).

Содержание слайда: Якщо послідовність має границю, вона називається збіжною, інакше – розбіжною. Якщо послідовність має границю, вона називається збіжною, інакше – розбіжною. Властивості збіжних послідовностей: 1) Якщо існує границя послідовності, то вона єдина. 2) Збіжна послідовність є обмеженою. 3) Якщо, починаючи з деякого номеру n≥N виконується нерівність an<bn<cn (теорема про границю проміжної послідовності). 4) Монотонна обмежена послідовність – збіжна.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Приклади

Содержание слайда: Типи невизначеностей при знаходженні границь

Содержание слайда: Приклад розкриття невизначеності при знаходженні границі має місце невизначеність типу Якщо чисельник і знаменник поділити на n то звідси матимемо

Содержание слайда: має місце невизначеність типу має місце невизначеність типу Послідовність розбивають на дві частини. Для другої частини послідовності запишемо: Звідси маємо:

Содержание слайда: 3. Границі функцій Число А називається границею функції y=f(x) при х →∞, якщо для ∀ε > 0 (наскільки завгодно малого) знайдеться число S(ε) > 0 таке, що при всіх x, |x| > S(ε), виконується нерівність |f(x)-A|< ε. Число A називається границею функції y=f(x) при x, що прямує до x0 (записується ), якщо для ∀ε > 0 існує δ(ε) > 0 таке, що з нерівності |x-x0|< δ(ε) випливає нерівність |f(x)-A|< ε.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Властивості функцій, що мають границю, відповідають властивостям збіжних послідовностей. Властивості функцій, що мають границю, відповідають властивостям збіжних послідовностей. 1) Якщо функція f(x) має границю при x→x0, то ця границя єдина. 2) Якщо границя функції дорівнює 0, то така функція називається нескінченно малою. 3) Функція тоді і тільки тоді має границею число A (при x, що прямує до числа x0 або ж нескінченності), коли її можна представити у вигляді f(x)=A+α(x), де α(x) – нескінченно мала величина.

Содержание слайда: Приклад , оскільки х+2=3+(х-1), х-1 в цьому випадку є нескінченно малою

Содержание слайда: 4) Функція f(x) тоді і тільки тоді має границею число A, якщо для довільної послідовності чисел х1, х2,...,хn з її області визначення послідовність значень функції f(x1), f(x2),...,f(xn) збігається до A. (означенням границі функції за Гейне )/ 4) Функція f(x) тоді і тільки тоді має границею число A, якщо для довільної послідовності чисел х1, х2,...,хn з її області визначення послідовність значень функції f(x1), f(x2),...,f(xn) збігається до A. (означенням границі функції за Гейне )/ 5) Сталий множник виноситься за знак границі: Наприклад:

Содержание слайда: 6) Границя алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь: 6) Границя алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь: Наприклад: 7) Границя добутку дорівнює добутку границь: Наприклад:

Содержание слайда: 8) Границя частки дорівнює частці границь: 8) Границя частки дорівнює частці границь: Наприклад: 9) Якщо , , то границя складеної функції Наприклад:

Содержание слайда: 10) Якщо в деякому околі точки х0 (або при достатньо великих х) виконується нерівність f(x)<g(x) , то за умови існування границь

Содержание слайда: Для нескінченно малих величин характерні наступні властивості: Для нескінченно малих величин характерні наступні властивості: а) Алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. б) Добуток нескінченно малої величини на обмежену (в тому числі на сталу або ж іншу нескінченно малу) є величина нескінченно мала. в) Частка від ділення нескінченно малої величини на величину, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала. г) Величина, обернена до нескінченно малої є нескінченно велика і навпаки – величина, обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

Содержание слайда: Примітні (важливі) границі Першою примітною границею називається границя Її наслідками є границі:

Содержание слайда: Приклади

Содержание слайда: Другою примітною границею називається границя: Наслідки такої границі

Содержание слайда: Приклад

Содержание слайда: Нескінченно малі величини називаються еквівалентними (α∼β), якщо або одного порядку малості, якщо . Якщо то α(х)називається нескінченно малою вищого порядку малості в порівнянні з β.

Содержание слайда: У випадку, коли маємо добуток, або частку нескінченно малих величин, то при знаходженні границь кожна з них може бути замінена на еквівалентну. У випадку, коли маємо добуток, або частку нескінченно малих величин, то при знаходженні границь кожна з них може бути замінена на еквівалентну.

Содержание слайда: З першої та другої примітних границь випливають наступні еквівалентності: З першої та другої примітних границь випливають наступні еквівалентності:

Содержание слайда: Для нескінченно великих функцій корисно використовувати еквівалентність: Для нескінченно великих функцій корисно використовувати еквівалентність: Рn(х) = а0хn+а1хn-1 +... + аn ~ а0хn при х →∞

Содержание слайда: Неперервність та розриви функцій Неперервною в точці х=х0 є функція y=f(x), якщо вона: а) визначена в деякому околі цієї точки; б) має скінченну границю ; в) A=f(x0) (границя співпадає зі значенням функції); неперервною на інтервалі (a; b), якщо вона неперервна в усіх точках цього інтервалу; неперервною на відрізку [a; b], якщо вона: г) неперервна на інтервалі (a; b); д) має скінченні значення f(a)=α, f(b)=β; е) мають місце рівності:

Содержание слайда: 1) неперервність функції означає неперервність її графіка, тобто можливість зобразити його не відриваючи олівця від паперу; 1) неперервність функції означає неперервність її графіка, тобто можливість зобразити його не відриваючи олівця від паперу; 2) функція неперервна тоді і тільки тоді, коли її приріст ∆y=y(x+∆x)-y(x) прямує до нуля при ∆x→0.

Содержание слайда: Якщо функція не є неперервною в точці х0, то точка х0 називається точкою розриву функції. Якщо функція не є неперервною в точці х0, то точка х0 називається точкою розриву функції. Розрізняють наступні типи точок розриву: 1) Усувний розрив, коли існує границя , проте її значення не співпадає зі значенням f(x0) або ж останнє не існує; 2) Розрив першого роду (розрив типу «стрибок»), якщо границі та існують, проте не рівні між собою; 3) Розрив другого роду, якщо хоча б одна з границь та нескінченна або не існує.

Содержание слайда: Приклад. Дослідити на розрив функцію   . Приклад. Дослідити на розрив функцію   . Розв’язання. Оскільки  f(1) не існує, то x=1 - точка розриву функції. Обчислимо границі зліва і справа в точці  x=1:      Оскільки  , то точка   x=1 є точкою усувного розриву. Отже маємо:   . Схематичний графік зображено на наступному слайді.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Приклад Функція має в точці x = 0 розрив першого роду («стрибок»), оскільки а значення самої функції в цій точці не визначене.

Содержание слайда: Приклад Дослідити на розрив функцію Розв’язання. Оскільки  f(1) не існує, то  x=1 - точка розриву функції. Обчислимо односторонні границі функції в точці x=1: Оскільки друга границя дорівнює -∞ то точка х=1 точка розриву другого роду. Графік наведено на наступному слайді.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Функції , неперервні в точці, мають наступні властивості: Функції , неперервні в точці, мають наступні властивості: 1) Якщо функції f(x) та g(x) неперервні в точці x=x0, то їх алгебраїчна сума f(x)+g(x), добуток f(x)*g(x) та частка f(x)/g(x) (при g(x)≠0) також неперервні в точці x=x0. 2) Якщо f(x) неперервна в точці x=x0 та f(x0)>(<)0, то існує такий окіл точки x0, в якому f(x)>(<)0. 3) Якщо функція y=f(u) неперервна в точці u0, а функція ϕ(x) неперервна в точці x=x0, ϕ(x0) = u0 то складна функція y=f(ϕ(x)) неперервна в точці x=x0.

Содержание слайда: Всі елементарні функції неперервні в усіх точках своїх областей визначення. Всі елементарні функції неперервні в усіх точках своїх областей визначення.

Содержание слайда: Функції, неперервні на проміжку [a; b], мають наступні властивості: Функції, неперервні на проміжку [a; b], мають наступні властивості: 1) Якщо функція y=f(x) неперервна на проміжку, то вона обмежена на цьому проміжку. 2) Якщо функція y=f(x) неперервна на проміжку, то існують точки x1∈[a; b], x2∈[a; b] в яких функція досягає своїх найменшого m та найбільшого M значень на цьому проміжку: f(x1)=m, f(x2)=M. 3) Якщо функція неперервна на відрізку [a; b] і її значення на кінцях цього відрізку мають різні знаки, то на відрізку знайдеться точка x0 така, що f(x0)=0.

Содержание слайда: Біном Ньютона Формулою бінома Ньютона називають рівність: де, a, b – дійсні числа. n=1, 2, 3,... - натуральне число. - біноміальний коефіцієнт. n! – факторіал числа n.

Содержание слайда: Справедливі такі співвідношення

Содержание слайда: Приклади вирішення задач Приклад 1. Знайти границі послідовностей. 1.1) 1.2)

Содержание слайда: Розв’язок задачі 1.1. Розв’язок задачі 1.1. Для розкриття заданої невизначеності типу {∞/∞} виносимо в чисельнику та знаменнику вищу ступінь n . Після скорочення та врахування того, що , а також властивостей арифметичних дій над збіжними послідовностями, маємо:

Содержание слайда: Розв'язання буде простішим, якщо врахувати, що Розв'язання буде простішим, якщо врахувати, що

Содержание слайда: Розв’язок задачі 1.2.

Содержание слайда: Приклади по розкриттю невизначеностей Приклад 1.

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 1.а. Розв’язок прикладу 1.а. Підстановка граничного значення х = 1 призводить до невизначеності типу {0/0}. Розкладемо чисельник та знаменник на множники використовуючи теорему Безу: якщо а - корінь многочлена Рn ( х ) , тобто Рn(а) = 0 , т о Рn(х) ділиться на двочлен (х-а) без залишку :

Содержание слайда:

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 1.в. Розв’язок прикладу 1.в. Позбудемось ірраціональності в чисельнику, помноживши чисельник і знаменник на Далі в чисельнику скористаємось формулою а2 -Ь2 =(а-Ь)(а+Ь),в знаменнику множник замінимо його значенням при х = 2 . Отже, маємо

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 1.г. Домножимо чисельник і знаменник на вирази, спряжені до чисельника і знаменника. Скориставшись відповідними формулами а2 -Ь2 =(а-Ь)(а +Ь), а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь2), маємо

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 1.г.

Содержание слайда: Приклад 2. Знайти границі заданих функцій.

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 2.а.

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 2.б.

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 2.в.

Содержание слайда: Розв’язок прикладу 2.г.

Содержание слайда: