Презентация Задачи с параметром в материалах ГИА и методы их решения (по материалам ЕГЭ за последние 5 лет) онлайн

Содержание слайда: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ) Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики   Выполнил студент: 11 группы 1 курса физико-математического факультета Агабабова Анастасия Константиновна

Содержание слайда: цели и задачи работы Цель: изучение методов решения задач с параметром из материалов ЕГЭ. Задачи: получение общего представления о заданиях с параметрами в материалах ЕГЭ; классификация методов их решения; разработка набора упражнений, на примерах которых реализуются эти методы.

Содержание слайда: Задачи с параметром в ЕГЭ Задания с параметром были введены в материалы ЕГЭ ещё с 2001 года, когда экзамен проводился в форме эксперимента. С 2009 года ЕГЭ является единственной формой выпускных экзаменов, где также содержатся задачи с параметром. Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, а также таких, как решение уравнений и неравенств.

Содержание слайда: Классификация задач с параметрами Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Содержание слайда: Основные методы решения задач, содержащих параметр Аналитический метод - это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Содержание слайда: Пример: Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений. Решение: Перепишем уравнение в виде Найдём множество значений левой части получившегося уравнения. Для этого обозначим и рассмотрим функцию при Её производная равна На отрезке производная обращается в ноль при , положительна при , и отрицательна при . Значит, при функция убывает, а при возрастает. Наименьшее значение функциина отрезке – это . Чтобы определить наибольшее значение, найдём значения на концах отрезка: , . Значит, наибольшее значение равно и функция принимает все значения из отрезка Следовательно, данное уравнение имеет решения при т. е. при а при всех остальных с решений нет. Ответ

Содержание слайда: Основные методы решения задач, содержащих параметр Графический метод. Координатная плоскость Легче всего решать уравнения с помощью графического представления зависимости переменной от параметра . На плоскости функция задает группу кривых зависящих от параметра . Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым группы.

Содержание слайда: Пример: Для каждого значения параметра с определите количество решений уравнения Решение: Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и Графики функций: 1) 2) 3) показаны на рисунке 1. - это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от (например, при – две точки пересечения; при – восемь точек пересечения). Ответ: при - решений нет; при и - четыре решения; при - восемь решений; при - семь решений; при - шесть решений; при - два решения.

Содержание слайда: Основные методы решения задач, содержащих параметр Графический метод. Координатная плоскость Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению задач с параметром. Метод состоит в следующем: Из уравнения (неравенства) с переменной и параметра выразим параметр как функцию от: В координатной плоскости строим график функции: Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее. Если поставлена задача найти значения , то выражаем через для каждого из найденных промежутков значения с в отдельности. Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость

Содержание слайда: Пример: Найдите все значения параметра с, при каждом из которых система имеет ровно одно решение. Решение: Изобразим решения системы неравенств на плоскости (Рисунок 2) Перепишем систему в виде Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие на параболе  и ниже неё, а второму – точки, лежащие на параболе и выше неё. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график. Вершина первой параболы –второй параболы , точки пересечения – и . Видно, что система имеет ровно одно решение в случаях и Ответ:

Содержание слайда: Пример (решение тремя способами): Для всех действительных значений параметра решите уравнение Решение: Уравнение равносильно системе: 1 способ (аналитический): Корни квадратного уравнения: Выясним, при каких значениях  они лежат в области решений нет; Ответ: при решений нет; при

Содержание слайда: Пример (решение тремя способами): Для всех действительных значений параметра решите уравнение Решение: 2 способ (графический в плоскости ): Преобразуем исходное уравнение Построим графики функций. Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков функций. Количество решений - количество точек пересечения (Рисунок 3) Ответ: при решений нет; при

Содержание слайда: Пример (решение тремя способами): Для всех действительных значений параметра решите уравнение Решение: 3 способ (графический в плоскости ): Исходное уравнение равносильно системе: Решение системы - это точки параболы для которых, как видно из рисунка 4, решение существует при , причем каждому значению соответствует одно решение. Ответ: при решений нет; при

Содержание слайда: Заключение Подводя итоги можно сделать вывод о том, какой из методов решения наиболее удобный. Исходя из примеров, приведенных в работе, наглядным способом решения является графический. Этот способ позволяет упростить анализ задач, а в некоторых случаях является единственным путем к решению задачи. Также данный метод решения задействует весь набор знаний, связанных с исследованием функции. В то время как аналитический способ решения задач с параметром является наиболее трудным, который требует больше знаний высокого уровня.

Содержание слайда: Литература Голубев, В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике / В. И. Голубев - М.: Просвещение, 2007. – 252 с. Денищева, Л. О. Единый Государственный экзамен по математике / Л. О. Денищева, Ю. А. Глазков и др. – М.: Интеллект-Центр, 2009. – 272 с. Козко, А. И. Задачи с параметром и другие сложные задачи / А. И. Козко, В. Г. Чирский – М.: МЦНМО, 2007. – 296 с. Крамор, В. С. Примеры с параметрами и их решения / В. С. Крамор - М.: АРКТИ, 2001. – 48 с. Крамор, В. С. Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. – 416 с. Кулабухова, С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 / С. Ю. Кулабухова, Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2012. – 400 с. Локоть, В. В. Задачи с параметрами / В. В. Локоть– М.: АРКТИ, 2005. – 96 с. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В. В. Мирошин - М.: Экзамен, 2009. – 286 с. Прокофьев, А. А. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач с параметрами / А. А. Прокофьев, А. Г. Корянов - М.: Легион, 2015. - 336 c. Просветов, Г. И. Задачи с параметрами и методы их решения / Г. И. Просветов - М.: Альфа-пресс, 2010. - 420 c. Рязановский, А. Р. Готовимся к ЕГЭ: Математика - решение задач повышенной сложности / А. Р. Рязановский, В. В. Мирошин - М.: Интеллект-Центр, 2007. - 480 c. Субханкулова, С. А. Задачи с параметрами / С. А. Субханкулова – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с. Шахмейстер, А. Х. Задачи с параметрами на экзаменах / А. Х. Шахмейстер - М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2009. – 248 с. Решение задач с параметром // ЕГЭ по математике URL: http://4ege.ru/matematika/ (дата обращения: 15.04.18). Задачи с параметром // ЕГЭ по математике URL: https://academyege.ru/ (дата обращения: 17.04.18). Задачи с параметром из ЕГЭ // ЕГЭ по математике URL: https://yourtutor.info/ (дата обращения: 19.04.18).

Содержание слайда: Спасибо за внимание!