Презентация Колебания и волны. Гармонические колебания онлайн

Содержание слайда: ЛЕКЦИЯ №6 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Содержание слайда: ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электро-механические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека. Колебательным движением называются процес-сы, отличающиеся той или иной степенью повто-ряемости во времени. Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другой – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины. Будем считать, что массой пружины можно пренебречь и что пружина установлена горизонтально.

Содержание слайда: о Fв = −kx - возвращающая сила, Fвн = +kx – внешняя сила, k - жесткость пружины.

Содержание слайда: Любая колебательная система, в которой возвращаю-щая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = −kx ), со-вершает гармонические колебания. Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором. 1) Колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2)Различные периодические процессы можно пред-ставить как наложение гармонических колебаний. Периодический процесс можно описать уравнением: f(t) = f (t + nT) . По определению, колебания называются гармоничес-кими, если зависимость некоторой величины x = f (t) имеет вид x = Asin φ или x = Acosφ (6.1) Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи, А и φ – параметры колебаний.

Содержание слайда: 2. Параметры гармонических колебаний Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обо-значается буквой A. Выражение, стоящее под знаком синуса или косинуса в формуле (6.1) φ = ωt + φ0 , определяет смещение x в дан-ный момент времени t и называется фазой колебания. При t =0 φ = φ0, поэтому φ0 называется начальной фазой колебания. Фаза измеряется в радианах и определяет зна-чение колеблющейся величины в данный момент времени. Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от x = A к x = −A и обратно в x = A, называется полным колебанием. Частота колебаний ν определяется как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, как правило, измеряют в герцах (Гц): 1 Гц равен 1 полному колебанию в секунду.

Содержание слайда: Т – период колебаний – минимальный промежуток време-ни, по истечении которого повторяются значения всех физи-ческих величин, характеризующих колебание: (6.2) ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд: ω = 2πν . Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t. При φ0=0 x(t)= A∙cos(ωt), а при φ0=π/2 x(t) = A∙sin(ωt) = = A∙cos(ωt − π/2) Частота и период гармони- ческих колебаний не зависят от амплитуды.

Содержание слайда: Колебания характеризуются не только смещением х, но и скоростью υx и ускорением ax: x=Asin(ωt+φ0), υx= dx/dt = ωAcos(ωt+φ0), (6.3) ax= dυx/dt = d2x/dt2= -ω2Asin(ωt+φ0) = -ω2x. (6.4)

Содержание слайда: 3. Механические гармонические колебания (на примере маятников) Если физическую систему, обладающую состоянием устойчивого равновесия, вывести из этого состояния каким-либо внешним воз-действием и затем предоставить самой себе, то возникающие в системе колебания вблизи устойчивого равновесия называют собственными или свободными. Способную совершать собственные колебания систему называют осциллятором. Примером линейных (одномерный случай) ос-цилляторов могут служить маятники (рис.): а) пружинный (груз на пружине); б) крутильный (диск на проволоке); в) математи-ческий (материальная точка на нерастяжимой нити); г) физический (С – центр масс твердого тела, О – точка прохождения оси коле-баний, перпендикулярной плоскости чертежа).

Содержание слайда: Рассмотрим случай а)– пружинный маятник. Второй закон Ньютона для колеблющегося тела для одномерного случая можно записать в виде: m∙ax = Fx = -k∙x или x = Xmax∙cos(ω0t +φ0) Система, совершающая колебания под действием квазиупругой си-лы , называется линейным гармоническим осциллятором (ЛГО). Кинетическая энергия материальной точки (колеблющегося тела):

Содержание слайда: Потенциальная энергия ( пружинный маятник): Полная механическая энергия: Классическая колеблющаяся точка не может выйти за границы отрезка [−xmax;+xmax], т.е. находится в потенциальной яме параболической фор-мы. Колебания Wk и Wn совершаются со сдвигом по фазе на π и, следо-вательно, полная механическая энергия материальной точки при свободных незатухающих гармонических колебаниях не изменяется со временем (const).

Содержание слайда: г) физический маятник Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием собственной силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела и называемой осью качания. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс. Как правило, силой трения в под-весе маятника пренебрегают и момент относительно оси качания маятника создает только его сила тяжести mg. При отклонении маятника на угол α момент, создаваемый силой тяжести равен: M = mgd sinα . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (для тела с момен- том инерции I, вращающегося вокруг непод- вижной оси в отсутствие трения): При малых α → sinα ≈ α →

Содержание слайда: Сравнивая с уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний: d2x/dt2 + ω2x = 0 , имеем для физического маятника: Предельным случаем физического маятника является математичес-кий маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой не-растяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной пло-скости под действием силы тяжести. Вся масса сосредоточена в центре масс тела. При этом d=l – длина маятника и момент инер-ции J = ml2. Тогда Длина математического маятника, имеющего такой же период ко-лебаний, что и данный физический маятник, называется приве-денной длиной физического маятника. Точка О1, находящаяся на расстоянии lпр от точки подвеса О маятника, называется центром качания физического маятника. Точки O и О1 обладают свойством взаимности, т.е. при перемене их ролей длина и период маятника останутся прежними.

Содержание слайда: Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре Простейшим колебательным контуром является замкнутая цепь, состоящая из емкости C и катушки индуктивности L. По закону Ома для замкнутой цепи: сумма падений напряжений на проводниках сопротивлением R и на конденсаторе Uс равна ЭДС самоиндукции в контуре IR + Uc = IR + Q/C = εsi = -L(dI/dt). I = dQ/dt → dI/dt = d2Q/dt2, (R→0) → d2Q/dt2 + ω2Q =0 Q =Qmsin(ωt + φ0) и I = dQ/dt = ωQmcos(ωt + φ0) = Imcos(ωt + φ0) W = Wэл + Wмагн = (1/2)∙(LI2 + CU2)

Содержание слайда: 4. Способы представления гармонических колебаний Гармонические колебания можно представить несколькими способами: аналитический {x = Acos(ωt + φ0 )}; графичес-кий и геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

Содержание слайда: 5. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Пусть точка одновременно участвует в двух гармоничес-ких колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм. Пусть колебания заданы уравнениями: x1 = A1 cos(ωt + φ1) и x2 = A2 cos(ωt + φ2) . (6.6)

Содержание слайда: 1) Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть φ2 − φ1 = 2πm, где m = 0, ±1, ± 2, ± 3, .... Тогда cos(φ2 − φ1) =1 и A = A1 + A2 (колебания синфазны). 2) Разность фаз равна нечетному числу π, то есть φ2 − φ1= = π(2m +1) , где m = 0, ±1, ± 2, ± 3, .... Тогда cos(φ2 − φ1) = −1. Отсюда A =|A2 − A1| (колебания в противофазе).

Содержание слайда: Когерентными называются колебания, разность фаз которых во времени постоянна; т.к. ∆Ф(t) = (ω2 − ω1)t + (ϕ2 − ϕ1 ) = const , то это выполняется при ω2= ω1= ω, тогда x = x1+ x2= Asin(ωt+ϕ), где А амплитуда и Ф=(ωt+ϕ) фаза результирующего колебания. Тогда в зависимости от значения (ϕ2 −ϕ1) результирующая амплитуда А изменяется в пределах от A = |A1 − A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π, до A = |A1 + A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m (m → целые числа). При ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m колебания называются синфазными (в одной фазе), а при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π – противофазными. При ω1 ≠ ω2 результирующий вектор A будет изменяться по длине и вращаться с переменной скоростью. При сложении колебаний с близкими частотами (Δω=|ω2 −ω1|<<ω) возникают, так называе-мые, биения, тогда x1 = Acosωt, x2 = Acos(ωt + Δωt).

Содержание слайда: [2ωt >>Δω; cos(-Δωt)=cos(Δωt)] Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому частота биений ωб = Δω, а не Δω/2. Период биений равен поло-вине периода модуляции: Тб = Тмод /2 = 2π/(Δω)

Содержание слайда: Вообще, колебания вида x = A(t)cos[ωt + φ(t)] называются модулированными. Частные случаи: амплитудная моду-ляция и модулирование по фазе или частоте. Биение – простейший вид модулированных колебаний. Любые сложные периодические колебания S=f (t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю-щихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными цикличес-кой частоте ω: Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с ча-стотами ω, 2ω, 3ω, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

Содержание слайда: 6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимноперпендикулярных колебани-ях: x = A1 cos(ω1t + φ1) ; y = A2 cos(ω2t + φ2 ) . Найдем уравнение результирующего колебания. Для прос-тоты примем ω1 = ω2 = ω. Разность фаз между обоими коле-баниями равна: Δφ = φ2 − φ1 . Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t. Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы φ1 = 0 , т.е. x = A1 cosωt ; y = A2 cos(ωt + Δφ) . или

Содержание слайда: Возведем обе части в квадрат, сгруппируем и получим окончательное уравнение: (6.7) В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно x и y произвольно.

Содержание слайда: Рассмотрим частные случаи решения уравнения (6.7) Начальные фазы колебаний одинаковы: φ1 = φ2 , т.е. φ2 − φ1 = 0. Тогда уравнение (6.7) примет вид: Получили уравнение пря- мой, проходящей через на- чало координат. Следова- тельно, в результате сло- жения двух взаимно пер- пендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.

Содержание слайда: 7. Свободные затухающие механические колебания Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно умень-шается (затухает). Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызываю-щие затухание колебаний, пропорциональны величине ско-рости (например маятник). Тогда сила трения (или сопротив-ления): Fтр = -r∙v, где r – коэффициент сопротивления, v – скорость движения.

Содержание слайда: Однородное дифференциальное уравнение второго по-рядка, описывающее затухающее колебательное дви-жение, запишется в виде: Решение этого уравнения имеет вид: Здесь А0 и φ0 определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения. где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний.

Содержание слайда: Натуральный логарифм отно-шения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ: τ – время релаксации – время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е раз.

Содержание слайда: Следовательно, коэффициент затухания β есть физи-ческая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Пусть N число колебаний, после которых амплитуда умень-шается в e раз. Тогда: τ = NТ; → T = τ/N; →β = 1/τ Следовательно, логарифмический декремент затуха-ния χ есть физическая величина, обратная числу колеба-ний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.

Содержание слайда: