Презентация Основы квантовой механики (Лекция 6) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Основы квантовой механики (Лекция 6) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 58 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:58 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:435.00 kB
- Просмотров:70
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Омский государственный технический университет
Кафедра физики
Калистратова Л.Ф.
Электронные лекции по разделам оптики, квантовой механики, атомной и ядерной физики
9 лекций
(18 аудиторных часов)
№2 слайд
Содержание слайда: Лекция 6. Основы квантовой механики
План лекции
6.1. Уравнение Шредингера.
6.2. Волновая функция и её свойства.
6.3. Движение свободной частицы.
6.4. Микрочастица в одномерной потенциальной яме.
6.5. Туннельный эффект.
№3 слайд
Содержание слайда: 6.1. Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера:
- основное уравнение квантовой механики,
- описывает поведение микрочастицы в силовом поле,
сочетает в себе как волновые, так и корпускулярные свойства микрочастиц,
является законом природы,
его нельзя строго вывести из каких-либо известных ранее соотношений (как и уравнения Ньютона в классической механике).
Справедливость уравнения Шредингера (записано в 1926 году) доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами.
№4 слайд
Содержание слайда: Масса микрочастицы - m: определяет её корпускулярные свойства.
Масса микрочастицы - m: определяет её корпускулярные свойства.
2. Потенциальная энергия U(х, у, z, t): определяет взаимодействие частицы с силовым полем.
В общем случае она зависит от координат микрочастицы и от времени.
3. «Пси»-функция (х, у, z, t): определяет волновые свойства микрочастицы.
является также функцией координат и времени.
Вид - функции определяется потенциальной энергией , то есть, характером тех сил, которые действуют на частицу.
№5 слайд
Содержание слайда: Нестационарными называются состояния микрочастицы, в которых потенциальная энергия зависит и от координат и от времени:
Нестационарными называются состояния микрочастицы, в которых потенциальная энергия зависит и от координат и от времени:
Уравнение Шредингера для нестационарных состояний записывается как
Здесь
- оператор Лапласа.
№6 слайд
Содержание слайда: Стационарными называются состояния микрочастицы, в которых её потенциальная энергия не зависит от времени и является функцией только координат:
Стационарными называются состояния микрочастицы, в которых её потенциальная энергия не зависит от времени и является функцией только координат:
Уравнение Шредингера для стационарных состояний (без вывода):
Е – полная энергия микрочастицы.
№7 слайд
Содержание слайда: Уравнение Шредингшера позволяет найти ответ на следующие вопросы.
Уравнение Шредингшера позволяет найти ответ на следующие вопросы.
1. Каков энергетический спектр микрочастицы: дискретный или непрерывный?
Е1, Е2,…,Еn
2. Каков вид волновых функций?
, , …,
3. В какой точке силового поля локализована микрочастица?
, , …,
№8 слайд
Содержание слайда: 6.2. Волновая функция и её свойства
Особенностью квантово-механического описания поведения микрочастиц является вероятностный подход .
Вероятностной является причинно – следственная связь между событиями микрочастицы.
При этом изменяется не сама вероятность поведения микрочастицы, а величина, названная амплитудой вероятности или «пси»-функцией.
Волновая функция описывает волновые свойства частиц.
№9 слайд
Содержание слайда: Свойства волновой функции
Свойства волновой функции
Правильную интерпретацию физического смысла волновой функции дал М. Борн в 1926 г.
1. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля: квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы в соответствующем объёме пространства.
2. Вероятность Р нахождения микрочастицы в заданном объёме V равна единице:
№10 слайд
Содержание слайда: 3. Условие нормировки волновой функции:
3. Условие нормировки волновой функции:
4. Волновая функция должна быть:
- непрерывной, поскольку описывает последовательное изменение поведения микрочастицы в некотором заданном пространстве;
- однозначной и конечной, т.е. давать один ответ на поставленный вопрос о месте нахождения микрочастицы;
- интегрируемой и дифференцируемой по координатам и времени.
№11 слайд
Содержание слайда: 5. Первые и вторые производные от волновой функции должны быть также непрерывными.
5. Первые и вторые производные от волновой функции должны быть также непрерывными.
Из уравнения Шредингера и из условий, налагаемых на волновую функцию, непосредственно вытекают правила квантования.
Решения уравнения Шредингера существуют не при любых, а только при некоторых значениях величин, получивших название собственных значений.
Собственные значения полной энергии образуют дискретный энергетический спектр микрочастицы:
№12 слайд
Содержание слайда: Собственным значениям энергии микрочастицы соответствуют собственные волновые функции.
Собственным значениям энергии микрочастицы соответствуют собственные волновые функции.
Далее можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства:
Нахождения собственных значений всех величин представляет весьма трудную математическую задачу.
№13 слайд
Содержание слайда: 6.3. Движение свободной частицы
Свободная частица движется вдоль оси Х в свободном пространстве при отсутствии внешних силовых полей.
В этих условиях потенциальная энергия частицы равна нулю (U = 0).
Тогда полная энергия частицы (Е=ЕК+U) равна её кинетической энергии:
№14 слайд
Содержание слайда: Уравнение Шредингера в одномерном случае движения имеет вид:
Уравнение Шредингера в одномерном случае движения имеет вид:
Это уравнение похоже на дифференциальное уравнение гармонических колебаний,
решением которого является выражение:
№15 слайд
Содержание слайда: По аналогии обозначим величину
По аналогии обозначим величину
Тогда решением уравнения Шредингера является выражение:
Эта функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.
№16 слайд
Содержание слайда: Область локализации частицы определяет квадрат модуля волновой функции.
Область локализации частицы определяет квадрат модуля волновой функции.
Поскольку , то .
Получили, что все положения частицы в пространстве (вдоль оси Х) равновероятны.
№17 слайд
Содержание слайда: Определим значения полной энергии и импульса частицы:
Определим значения полной энергии и импульса частицы:
Поскольку частота волновой функции может принимать любые положительные значения, то импульс р и энергия Е частицы принимают любые значения.
Энергетический спектр свободной частицы является непрерывным.
№18 слайд
Содержание слайда: Зависимость полной энергии от импульса (равнозначно от частоты)
Зависимость полной энергии от импульса (равнозначно от частоты)
Непрерывный энергетический спектр
№19 слайд
Содержание слайда: 6.4. Частица в одномерной потенциальной яме
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой частица будет находиться, имея заданное значение полной энергии Е.
Исследуем поведение микрочастицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.
Взаимодействие частицы с силовым полем определяет потенциальная энергия U (x,у,z, t).
№20 слайд
Содержание слайда: Рассмотрим частицу массой m в таком силовом поле, в котором потенциальная энергия U:
Рассмотрим частицу массой m в таком силовом поле, в котором потенциальная энергия U:
зависит только от одной координаты (одномерный случай движения);
не зависит от времени (стационарные состояния частицы).
В данном случае частица может двигаться только вдоль оси х .
Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: x = 0 и x = L .
L – ширина потенциальной ямы.
№21 слайд
Содержание слайда: Потенциальная энергия микрочастицы:
Потенциальная энергия микрочастицы:
при
при
№22 слайд
Содержание слайда: Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет иметь вид:
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет иметь вид:
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может, поэтому вероятность обнаружить эту частицу за пределами ямы равна нулю.
Тогда и волновая функция за пределами ямы равна нулю.
№23 слайд
Содержание слайда: Граничные условия:
Граничные условия:
определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шредингера, имеющие физический смысл.
они вытекают из условия непрерывности волновой функции .
должна быть равна нулю не только за пределами ямы, но и на границах ямы.
№24 слайд
Содержание слайда: Граничные условия для волновой функции микрочастицы, находящейся в потенциальной одномерной яме:
Граничные условия для волновой функции микрочастицы, находящейся в потенциальной одномерной яме:
В области между 0 и L потенциальная энергия
U = 0, но волновая функция .
№25 слайд
Содержание слайда: Уравнение Шредингера примет вид:
Уравнение Шредингера примет вид:
Введём обозначение
и перепишем уравнение Шредингера.
Этот вид уравнения хорошо известен в теории колебаний как дифференциальное уравнение для собственных колебаний осциллятора.
№26 слайд
Содержание слайда: Его решением является выражение для волновой функции:
Его решением является выражение для волновой функции:
.
Применим к этому выражению граничные условия.
1. Из первого условия получаем:
.
Отсюда следует, что постоянная величина .
№27 слайд
Содержание слайда: 2. Из второго условия следует:
2. Из второго условия следует:
Это возможно только, если
параметр n = 1, 2, 3, …
Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом частица в потенциальной яме не находится, что противоречит условию задачи.
№28 слайд
Содержание слайда: Решения уравнения Шредингера будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии , а лишь при значениях, удовлетворяющих соотношению:
Решения уравнения Шредингера будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии , а лишь при значениях, удовлетворяющих соотношению:
Таким образом, мы получили собственные значения полной энергии в виде дискретного ряда:
(n = 1, 2, 3, …)
№29 слайд
Содержание слайда: Особенности энергетического спектра
Особенности энергетического спектра
1. Полная энергия частицы положительная ( ).
2. Полная энергия квантуется: принимает дискретный набор значений, причём
Энергия первого (основного) состояния:
3. Энергетический спектр является расходящимся, поскольку расстояния между уровнями увеличиваются.
№30 слайд
Содержание слайда: Разность энергий двух соседних уровней пропорциональна числу n:
Разность энергий двух соседних уровней пропорциональна числу n:
При
№31 слайд
Содержание слайда: Произведем оценку расстояний между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы L.
Произведем оценку расстояний между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы L.
Пример 1. Рассмотрим молекулу ( ) в сосуде ( ):
Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии.
Квантование энергии в этом случае в принципе имеет место, но на характере движения молекул это не сказывается.
№32 слайд
Содержание слайда: Пример 2. Свободные электроны ( ) в металле ( ).
Пример 2. Свободные электроны ( ) в металле ( ).
В этом случае квантованием энергии также можно пренебречь.
Пример 3. Электрон в атоме (L = 0,1 нм).
Дискретность энергетических уровней будет проявляться весьма заметно.
№33 слайд
Содержание слайда: Перейдём к рассмотрению собственных значений волновых функций:
Перейдём к рассмотрению собственных значений волновых функций:
, где
Тогда
Для нахождения амплитуды волновой функции воспользуемся условием нормировки, в котором пределы интегрирования будут от 0 до L (частица существует только внутри ямы).
№34 слайд
Содержание слайда: Амплитуда волновой функции .
Окончательно волновые функции запишутся как
n = 1, 2. 3,…
№35 слайд
Содержание слайда: Поскольку для энергии микрочастицы
Поскольку для энергии микрочастицы
имеем следующие выражения:
то импульс частицы будет равен: .
С учётом получим выражение для
длины волны де Бройля:
№36 слайд
Содержание слайда: Область локализации частицы в потенциальной яме определяется через квадрат модуля волновой функции:
Область локализации частицы в потенциальной яме определяется через квадрат модуля волновой функции:
.
Частица вероятнее всего находится в той точке ямы, для которой наблюдается наибольшее значение вероятности, определяемое как
№37 слайд
Содержание слайда: Графики функций и
Графики функций и
№38 слайд
Содержание слайда: Если необходимо найти вероятность обнаружения частицы в некоторой области ямы между точками с координатами х1 и х2, то согласно смыслу волновой функции необходимо вычислить интеграл вида:
Если необходимо найти вероятность обнаружения частицы в некоторой области ямы между точками с координатами х1 и х2, то согласно смыслу волновой функции необходимо вычислить интеграл вида:
.
При этом искомая вероятность Р на рисунке будет изображаться заштрихованной площадью между точками х1 и х2.
№39 слайд
Содержание слайда: Выводы:
Выводы:
1. При n = 1 (основное состояние). Микрочастица
- имеет энергию Е1;
- имеет длину волны де Бройля
на ширине ямы укладывается половина длины волны де Бройля частицы;
вероятнее всего будет находиться в середине ямы с координатой х = L/2.
№40 слайд
Содержание слайда: 2. При n = 2 (первое возбуждённое состояние).
2. При n = 2 (первое возбуждённое состояние).
Микрочастица
имеет энергию Е2 ;
имеет длину волны де Бройля
на ширине ямы укладывается целая длина волны де Бройля;
частица с одинаковой вероятностью может находиться в двух точках потенциальной ямы с координатами х1 = L/4 и х2 = 3L/4.
№41 слайд
Содержание слайда: 3. Если частицу возбудить до высоких энергий
3. Если частицу возбудить до высоких энергий
( ), то она может находиться в любой точке ямы.
В этих условиях частица может покинуть пределы ямы и перейти в область потенциального барьера.
Вероятность обнаружения частицы за пределами потенциальной ямы оказывается хотя и очень малой, но отличной от нуля.
Это совершенно невозможно с точки зрения классической теории.
В квантовой же механике подобные явления возможны благодаря так называемому туннельному эффекту.
№42 слайд
Содержание слайда: 6.5. Туннельный эффект
Потенциальным барьером называется область пространства, в которой частица не может находиться , имея данную энергию Е.
Туннельный эффект:
- явление прохождения частиц через потенциальный барьер;
– явление чисто квантовое, не имеющее аналога в классической физике.
№43 слайд
Содержание слайда: Одномерный потенциальный барьер с прямоугольными стенками
Одномерный потенциальный барьер с прямоугольными стенками
№44 слайд
Содержание слайда: Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер:
Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер:
высотой U0 ;
шириной d.
По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер:
если энергия частицы больше высоты барьера
(Е > U0), то она беспрепятственно проходит над барьером;
- на участке 0 ≤ х ≤ d лишь уменьшается скорость частицы, но затем, при х > d снова принимает первоначальное значение;
№45 слайд
Содержание слайда: если же Е < U0 , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.
если же Е < U0 , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.
Классическая частица сквозь барьер проникнуть не может.
В области потенциального барьера полная энергия частицы меньше потенциальной энергии:
Е < U0.
Как известно, полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий: Е = ЕК +U.
№46 слайд
Содержание слайда: Тогда кинетическая энергия классической частицы в области потенциального барьера должна быть отрицательной:
Тогда кинетическая энергия классической частицы в области потенциального барьера должна быть отрицательной:
ЕК < 0.
Этого не может быть с точки зрения классической физики.
Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике.
Во - первых, даже при Е > U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону.
№47 слайд
Содержание слайда: Во - вторых, при Е < U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > d.
Во - вторых, при Е < U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > d.
Такое совершенно невозможное с классической точки зрения поведение микрочастиц вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.
Рассмотрим задачу для случая, когда полная энергия микрочастицы меньше высоты потенциального барьера:
Е < U0
№48 слайд
Содержание слайда: В этом случае уравнение Шредингера имеет вид:
В этом случае уравнение Шредингера имеет вид:
для областей I и III
для области II,
причем
№49 слайд
Содержание слайда: Решение данной задачи является сложным, поэтому ограничимся основными выводами.
Решение данной задачи является сложным, поэтому ограничимся основными выводами.
Что происходит с микрочастицей в области потенциального барьера - неизвестно.
Достоверно известно лишь то, что частица была перед барьером, имея длину волны де Бройля , и стала находиться в области за потенциальным барьером, изменив свои волновые свойства и обладая длиной волны де Бройля .
№50 слайд
Содержание слайда: Область потенциального барьера
Область потенциального барьера
№51 слайд
Содержание слайда: На отрезке неопределённость импульса
На отрезке неопределённость импульса
составляет величину .
Связанная с этим разбросом неопределённость кинетической энергии
может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы Е оказалась больше потенциальной энергии UO .
Частица в этих условиях преодолевает область потенциального барьера.
№52 слайд
Содержание слайда: Поскольку в области потенциального барьера для квантовой частицы «работает» соотношение неопределённостей, то координата и импульс частицы не могут иметь определенных значений.
Поскольку в области потенциального барьера для квантовой частицы «работает» соотношение неопределённостей, то координата и импульс частицы не могут иметь определенных значений.
Это означает, что не могут быть одновременно точно определены кинетическая ЕК и потенциальная U энергии.
Кинетическая энергия зависит от импульса, а потенциальная от координат.
№53 слайд
Содержание слайда: Таким образом, хотя полная энергия частицы имеет определенное значение Е, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий ЕК и U.
Таким образом, хотя полная энергия частицы имеет определенное значение Е, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий ЕК и U.
Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности кинетической энергии ЕК «внутри туннеля» становится бессмысленным.
№54 слайд
Содержание слайда: Вероятность прохождения частицы через барьер названа коэффициентом прозрачности D.
Вероятность прохождения частицы через барьер названа коэффициентом прозрачности D.
Вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от:
ширины барьера d,
величины .
Коэффициент прозрачности сильно уменьшается при увеличении массы частицы m.
№55 слайд
Содержание слайда: Если при какой-то ширине барьера коэффициент прочности D = 0,01, то при увеличении ширины барьера в 2 раза величина D = 0,012, коэффициент прозрачности уменьшается в 100 раз.
Если при какой-то ширине барьера коэффициент прочности D = 0,01, то при увеличении ширины барьера в 2 раза величина D = 0,012, коэффициент прозрачности уменьшается в 100 раз.
Тот же эффект вызвало бы вырастание в 4 раза величины .
При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.
№56 слайд
Содержание слайда: Потенциальный барьер произвольной формы
Потенциальный барьер произвольной формы
№57 слайд
Содержание слайда: Коэффициент прозрачности для потенциального барьера произвольной формы имет вид:
Коэффициент прозрачности для потенциального барьера произвольной формы имет вид:
где .
№58 слайд
Содержание слайда: Примером проявления туннельного эффекта
Примером проявления туннельного эффекта
могут служить следующие явления природы:
радиоактивность;
холодная эмиссия электронов из металла;
ионизация атома в поле сильной электромагнитной волны;
ионизация атома в сильном электрическом поле.
Скачать все slide презентации Основы квантовой механики (Лекция 6) одним архивом:
