Презентация Статистический метод описания онлайн

Содержание слайда: Термодинамика и статистическая физика

Содержание слайда: Лекция № 4 Статистический метод описания. 1. Основная задача статистической физики. Микросостояние системы частиц. 2. Элементарные сведения из теории вероятностей. 3.Функция распределения. Среднее значение.Дисперсия Закон распределения Максвелла. 1. Пространство скоростей. Принцип детального равновесия. 2. Распределение молекул газа по скоростям в условиях термодинамического равновесия. 3. Закон распределения скоростей Максвелла. Характерные скорости молекул.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Элементарные сведения из теории вероятностей. С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних: Здесь n  число раз, когда событие произошло, а n  общее число опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В пределе вместо ступенек будет гладкая кривая, которая называется функцией распределения вероятностей.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Закон распределения Гаусса. Нормальное распределение, также называ-емое гауссовским распределением или распре-делением Гаусса — распределение вероятнос-тей, которое задается функцией плотности распределения: где параметр μ — среднее значение (математи-ческое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Закон распределения скоростей молекул при тепловом равновесии Возьмём газ, состоящий из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определённой температуре Т ( т.е. в условиях термодинамического равновесия ). Предполагается, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. В газе в состоянии хаотического движения должны компенсировать

Содержание слайда:

Содержание слайда: Закон распределения скоростей Максвелла. Возьмём в воображаемом пространстве, которое назовём υ – пространством (пространством скоростей), прямоуго-льные координатные оси, по которым будем откладывать значения отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям x, y, z, взятым в обычном пространстве).

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определённым образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначным и единственно возможным, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

Содержание слайда: Мы будем искать число частиц (n) скорости которых лежат в определён-ном интервале значения скорости υ ( т.е. от υ до ). Здесь n – число благоприятных частиц, попавших в этот интервал. Очевидно, что в единице объёма число таких благоприятных частиц тем больше, чем больше υ.

Содержание слайда: Ясно так же, что n должно быть пропорционально концентрации молекул n . Число n зависит и от самой скорости, так как в одинаковых по величине интервалах, но при разных абсолютных значениях скорости, число молекул будет различным. Смысл сказанного легко понять из простого примера: неодинаково, число людей в возрасте от 20 до 21 года и от 90 до 91 года. И так:

Содержание слайда: Здесь f (υ) – функция распределения молекул по скоростям, n – концентрация молекул и υ - интервал значений скоростей. В пределе, получим: Физический смысл f(υ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интерва-ле скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей:

Содержание слайда: Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключён-ную в единичном интервале, вклю-чающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

Содержание слайда: Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Содержание слайда: В результате каждого столкно-вения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на υx, υy, υz, причем изменения каждой проекции скорости незави-симы друг от друга. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от до .

Содержание слайда: При этом, мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность. Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Содержание слайда: Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругос- ти. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям.

Содержание слайда: Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой составляющей скорости ), имеем: или где А1 из условия нормировки.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-ым компонентам скорости. Очевидно, что и по y–ым и z–ым компонентам скорости также можно получить:

Содержание слайда: Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале от υх до ; y – компонента, в интервале от υy до ; z – компонента, в интервале от υz до будет равна произведению вероятностей каждого из условий в отдельности: где ,

Содержание слайда: Или Этой формуле можно дать геометричес-кое истолкование: dnxyz – это число моле-кул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме , находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

Содержание слайда: Величина dnxyz не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости. Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаро-вом слое толщиной dυ и радиусом υ.

Содержание слайда: Шаровой слой толщиной dυ и радиусом от υ до υ+ dυ.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше. Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:

Содержание слайда: Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютным значениям скоростей: где – доля всех частиц единичного объёма, скорости которых лежат в интервале от υ до

Содержание слайда: При получаем плотность вероятности, или функцию Максвелла распределения молекул по скоростям: Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

Содержание слайда: Обозначим тогда получим: График этой функции показан на рис.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Выводы: - Вид распределения молекул газа по скоростям, для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют. - В показателе степени стоит отношение, кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к средней энергии теплового движения молекул при данной температуре:

Содержание слайда: Распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

Содержание слайда: Характерные скорости (наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя скорости молекул газа). Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

Содержание слайда:

Содержание слайда: НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНАЯ СКОРОСТЬ Наиболее вероятной называют такую скорость молекул Vв, для которой F(V) функция распределения F(V) при- Т1 < Т2 нимает максимальное значение, т.е. F΄(Vв)=0.

Содержание слайда: Величина скорости, на которую при-ходится максимум зависимости называют наиболее вероятной скоростью . Величину этой скорости находят из условия равенства нулю производной:

Содержание слайда: СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ Найдем среднюю скорость молекул Vc с помощью функции распределения:

Содержание слайда: Средняя скорость  υср где – число молекул со скоростью от υ до . Если подставить сюда F(υ) и вычислить, то получим: или

Содержание слайда: СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ СКОРОСТЬ Средней квадратичной скоростью молекул Vкв называется квадратный корень из среднего значения квадрата скорости , то есть по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы: Нахождении (V2)c с помощью функции распределения:

Содержание слайда: Среднюю квадратичную скорость находят используя соотношение :

Содержание слайда: Полезно знать, что

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Из рис. можно проследить за измене-нием при изменении m и T: (при ) или (при ). Площадь под кривой величина посто-янная, равная единице ( ), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: