Презентация Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4) онлайн

Содержание слайда: Основные уравнения теории упругости Обобщенный закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. Уравнения равновесия   в   перемещениях   (уравнения  Ляме). Уравнения неразрывности   деформаций    в    напряжениях    (уравнения Бельтрами-Мичелла).

Содержание слайда: Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука Рассмотрим отдельно воздействие сил, возникающих на гранях элементарного параллелепипеда, вырезанного в изотропном теле вокруг рассматриваемой точки.

Содержание слайда: Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука Найдем , вызванных всеми нормальными напряжениями. За счет напряжения параллелепипед растягивается на относительную величину . Напряжения растягивают его вдоль осе й y и z соответственно, следовательно, вдоль оси х за счет этого происходит сжатие. Соответствующие деформации отрицательны и равны , . Поэтому суммарная деформация вдоль оси х Аналогичные соотношения для

Содержание слайда: Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука В пределах малых деформаций существует линейная зависимость между физическими свойствами материала и напряжениями и деформациями. Эта зависимость носит название обобщенного (1) закона Гука. Где - модуль сдвига

Содержание слайда: - коэффициент Пуассона, он характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (т.е. длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. - коэффициент Пуассона, он характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (т.е. длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает во сколько раз изменяется поперечное сечение деформированного тела при его растяжении или сжатии.

Содержание слайда: Обратная форма закона Гука Обратная форма закона Гука Где и - упругие постоянные, или коэффициенты Ламе. (2) Они также как и модули E и G, характеризуют упругие свойства материала, причем G=

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация Наряду с линейной и угловой деформациями иногда используется понятие объемной деформации, т.е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда dx, dy, dz, взятого вокруг точки, в результате деформирования изменяются и становятся равными:

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация Абсолютное приращение объема вычисляется как разность между новым и старым объемом: Раскрывая скобки и пренебрегая произведением линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получим

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация Отношение приращения к первоначальному объему параллелепипеда называется объемной деформацией . Она равна сумме трех линейных осевых деформаций: (3)

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация При повороте осей координат величина объемной деформации в точке не изменяется, так как совпадает по величине с первым инвариантом тензора деформаций. Выражение объемной деформации через нормальные напряжения получим, подставляя в (3) соотношения обобщенного закона Гука (1): (4)

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация Из (4) можно установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Соотношение (4) применимо для произвольного напряженного состояния, следовательно, оно применимо и для случая всестороннего равномерного растяжения . Тогда

Содержание слайда: Объемная деформация Объемная деформация Так как величина , то объемная деформация также должна быть положительной. Это возможно, если . Следовательно , значение коэффициента Пуассона не может превышать 0.5. Полученный вывод вытекает из частного случая напряженного состояния, однако он является общим для изотропных материалов, поскольку является характеристикой материала и в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит.

Содержание слайда: Коэффициент Пуассона Для абсолютно хрупкого материала , для абсолютно упругого 0.5. для большинства сталей коэффициент Пуассона лежит в районе 0.3, для резины . – величина безразмерная.

Содержание слайда: Полная потенциальная энергия деформации Полная потенциальная энергия деформации Удельная потенциальная энергии единицы объема (5)

Содержание слайда: Полная потенциальная энергия деформации Полная потенциальная энергия деформации Через главные напряжения удельная потенциальная энергия (5) выражается в виде: (6) Полную потенциальную энергию получим, проинтегрировав удельную деформацию (5), (6) по объему деформированного тела.

Содержание слайда: Формулировка основной задачи теории  упругости. Типы  граничных условий на поверхности тела. Теорема о единственности решения. Понятие о температурных напряжениях  и  деформациях упругих телах.

Содержание слайда: Задача ТУ Задача ТУ Полученные закономерности можно использовать для решения задачи ТУ о напряжениях и деформациях, возникающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил. Задача ТУ найти напряжения и деформации, возникающие в упругом изотропном теле под действием внешних сил.

Содержание слайда: Решение задачи ТУ любым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Решение задачи ТУ любым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия диктуют задание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно один из трёх типов краевых задач.

Содержание слайда: Первая краевая задача – кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности определенные значения. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемещений на этой поверхности. Первая краевая задача – кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности определенные значения. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемещений на этой поверхности.

Содержание слайда: Вторая краевая задача – статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задаются уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения на поверхности. Вторая краевая задача – статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задаются уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения на поверхности.

Содержание слайда: В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, краевые условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности. В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, краевые условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности.

Содержание слайда: Третья краевая задача – смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой статические. Третья краевая задача – смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой статические. Все разнообразие краевых условий, этими тремя задачами не исчерпывается. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

Содержание слайда: Теорема о единственности Теорема о единственности При решении задачи ТУ может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение однозначным, т.е. соответствует ли заданным объемным и поверхностным силам одна система напряжений или их несколько. Докажем следующую теорему. Для тела, находящегося в естественном состоянии, решение задачи ТУ единственно, если справедлив принцип независимости действия сил.

Содержание слайда: Из доказанной теоремы следует: так как решение задачи ТУ единственно, то безразлично, каким математическим методом она решена. Можно указать три основных метода математического решения задачи ТУ. Из доказанной теоремы следует: так как решение задачи ТУ единственно, то безразлично, каким математическим методом она решена. Можно указать три основных метода математического решения задачи ТУ. 1. Прямой метод. Он заключается в непосредственном интегрировании уравнений ТУ совместно с заданными условиями на поверхности.

Содержание слайда: 2. Обратный метод. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений. 2. Обратный метод. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

Содержание слайда: 3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с помощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, которым должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения несколько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. 3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с помощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, которым должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения несколько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей.

Содержание слайда: Дифференциальные уравнения равновесия Дифференциальные уравнения равновесия Дифференциальные соотношения равновесия связывают составляющие объемной силы с составляющими напряжений, эти соотношения получили название уравнений равновесия. Если они выполняется, то элементарный параллелепипед находится в равновесии под действием внешних сил.

Содержание слайда: Геометрические соотношения носят название уравнений Коши. Геометрические соотношения носят название уравнений Коши.

Содержание слайда: Уравнения Сен-Венана Уравнения Сен-Венана

Содержание слайда: Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука

Содержание слайда: Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций: Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций: 6 составляющих напряжения: 6 составляющих деформации: 3 составляющих перемещения:

Содержание слайда: Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями. Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями. Т. о. с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности:

Содержание слайда: Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные. Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные. 1. Решение в перемещениях, когда за неизвестные приняты 3 составляющих перемещения:

Содержание слайда: 2. Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты 6 составляющих напряжений: 2. Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты 6 составляющих напряжений: 3. Решение в смешанной форме, когда за неизвестные приняты некоторые составляющие перемещений и некоторые составляющие напряжений.

Содержание слайда: Решение задачи ТУ в перемещениях (уравнения Ляме) Решение задачи ТУ в перемещениях (уравнения Ляме)

Содержание слайда: Решение задачи ТУ в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) Решение задачи ТУ в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла)

Содержание слайда: Решение задачи ТУ в напряжениях Решение задачи ТУ в напряжениях Для решения задачи ТУ в напряжениях приходится интегрировать 9 уравнений (6 уравнений Бельтрами-Мичелла и 3 уравнения равновесия). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения. Полученные после интегрирования 6 составляющих напряжений должны удовлетворять условиям на поверхности (граничным условиям). После этого по формулам обобщенного закона Гука определяют составляющие деформаций, а из геометрических соотношений Коши – составляющие перемещений.

Содержание слайда: Понятие о температурных напряжениях и деформациях в упругих телах. Понятие о температурных напряжениях и деформациях в упругих телах.

Содержание слайда: Неустановившийся температурный процесс Неустановившийся температурный процесс Неустановившимся называется такой температурный процесс, при котором неизвестная функция положения точки и времени . Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности

Содержание слайда: Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности где - коэффициент температуропроводности; - коэффициент теплопроводности; - удельная теплоемкость; - плотность; W - количество тепла, которое выделяется в единице объема за единицу времени источником тепла, расположенным внутри элементарного объема dV.

Содержание слайда: Уравнение теплопроводности интегрируют с учетом различных условий на поверхности. Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи: Уравнение теплопроводности интегрируют с учетом различных условий на поверхности. Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи: 1. Температура на поверхности является заданной функцией от координат и времени. 2. Поток тепла через поверхность тела равен нулю, т.е. во всех точках поверхности с нормалью . 3. Поток тепла через поверхность тела является заданной функцией от координат и времени.

Содержание слайда: 4. Происходит излучение с поверхности. Если поток тепла через поверхность пропорционален разности температур на границе между телом (t) и окружающей средой (t0), т.е. определяется выражением 4. Происходит излучение с поверхности. Если поток тепла через поверхность пропорционален разности температур на границе между телом (t) и окружающей средой (t0), т.е. определяется выражением где H-коэффициент теплоотдачи, то граничное условие имеет вид: 5. на границе двух слоев