Презентация Математический анализ онлайн

Содержание слайда: Математический анализ Поток ММ лектор Профессор, доктор физико-математических наук, Заслуженный деятель науки РФ Треногин Владилен Александрович

Содержание слайда: ПРОГРАММА ПЕРВОГО СЕМЕСТРА Раздел 1. Введение в анализ. Раздел 2. Предел функции. Непрерывность функций одной переменной. Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Содержание слайда: РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.– М.: Физматлит, 2003. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1969. – Т. 1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1981. – Т. 1. Сборник задач по математике для втузов. Под редакцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике.

Содержание слайда: Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

Содержание слайда: Лекция 1.1. Предмет математического анализа, его роль в изучении и создании математических моделей. Математическая символика. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числового множества. Теорема существования точной грани ограниченного множества. Числовые функции

Содержание слайда: Предмет математического анализа. Математический анализ – обширный раздел математики, в котором функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями; законы явлений природы также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Основы математического анализа включают в себя теорию действительного числа, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их приложения, теорию рядов.

Содержание слайда: Историческая справка Начиная с математиков Древней Греции и вплоть до Начиная с трудов математиков Древней Греции и вплоть до 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении проводилось вычисление площадей различных фигур и объемов тел с кривыми границами, вычисление работы переменной силы и т. д. Каждая такая задача решалась сложным и громоздким методом исчерпывания. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И.Ньютона (I.Newton), Г.Лейбница (G.Leibniz), Л.Эйлера (L.Euler), Ж.Лагранжа (J.Lagrange) и других ученых 17-18 века, а его современная база – теория пределов – была разработана О.Коши (A.Cauchy) лишь в начале 19 века.

Содержание слайда: Ньютон (Newton) Исаак (1643 – 1727) Великий английский математик, механик, астроном и физик, президент Лондонского королевского общества с 1703 г. Разработал (независимо от Г. Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления.

Содержание слайда: Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716) Выдающийся немецкий математик, физик, языковед и философ-идеалист . Основатель и президент Берлинского научного общества. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России. Создатель теории нестандартного дифференциального и интегрального исчисления.

Содержание слайда: Эйлер (Euler) Леонард (1707 - 1783) Великий швейцарский, российский и немецкий математик, механик, физик и астроном. Не найдя в Швейцарии условий для научной деятельности, переехал в 1727 году в Россию. С 1766 академик Петербургской АН. В период политической неустойчивости России, когда наукой пренебрегали перешел на работу в Германию. Вернулся в Россию по приглашению Екатерины Второй. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике и гидромеханике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших решающее влияние на развитие всех этих и многих других областей науки.

Содержание слайда: Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813) Выдающийся французский математик и механик, президент Берлинской АН, иностранный почетный член Петербургской АН. Основополагающие труды по математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению, .

Содержание слайда: Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857) Выдающийся французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Разработал базу математического анализа – теорию пределов. Один из создателей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Содержание слайда: Символы математической логики

Содержание слайда: Множества. Операции над множествами.

Содержание слайда: Числовые множества.

Содержание слайда: . .

Содержание слайда: . .

Содержание слайда: Некоторые свойства модуля вещественного числа. Для любого вещественного числа а число называется абсолютной величиной числа а или модулем. Неравенство а   эквивалентно неравенствам –  а   . Неравенство а >  эквивалентно совокупности неравенств Перечислим без доказательства основные свойства модуля: – а = а ; аb = а  b ; а  b  а +b ; а –  b  а – b .

Содержание слайда: Ограниченные и неограниченные множества Множество Х R называется ограниченным снизу, если существует число С1R такое, что для всех хХ выполняется неравенство С1 x. Число С1 называется нижней гранью множества Х. Множество Х R называется ограниченным сверху, если существует число С2R, такое что для всех хХ выполняется неравенство x  С2. Число С2 называется верхней гранью множества Х. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством. Последнее определение эквивалентно следующему: Множество Х R ограничено  С > 0 : хХ  х  С. Определение неограниченного множества можно сформулировать как отрицание последнего: Множество Х R неограничено, если  С > 0 хХ: х  > С.

Содержание слайда: Определение точной верхней и нижней грани Наименьшая из верхних граней множества Х R называется его точной верхней гранью и обозначается через supX или (читается «супремум»). Определение 1. Число М = supX, если: 1) х  Х  x  М; 2) ε >0  хε Х : М - ε < хε < М. Наибольшая из нижних граней множества Х R называется его точной нижней гранью и обозначается через inf X или (читается «инфимум»). Определение 2. Число m = inf X, если: 1) х  Х  x  m; 2)  ε >0  хε  Х : m < хε < m + ε.

Содержание слайда: ПРИМЕРЫ. ПРИМЕРЫ. 1) Х = (0, 1) supX = 1 Х, inf X = 0  Х; 2) Х = (0, 1] supX = 1 Х, inf X = 0  Х; 3) Х = (0, 1){2} supX = 2  Х. АКСИОМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ. К известным из школы свойствам вещественных чисел добавим следующее: У всякого непустого, ограниченного сверху множества существует его точная верхняя грань. Отсюда имеем: У всякого непустого, ограниченного снизу множества существует его точная нижняя грань.

Содержание слайда: Числовые функции Понятие числовой функции действительной переменной Если каждому х Х  R поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное y Y  R, то говорят, что на множестве Х определена числовая функция действительной переменной х. Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например f, и пишут y = f(x), х  Х. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f). Множество Y называют множеством значений функции и обозначают Е(f). Для обозначения функции используют также запись вида f: XY.

Содержание слайда: График функции График функции Графиком функции y = f(x), хХ в прямоугольной системе координат называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). ПРИМЕР y = signx = График функции иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции f(x), как показано в таблице:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Четные и нечетные функции Четные и нечетные функции Функция f(x) определенная на множестве X, называется четной, если для любого x  X выполняются условия: - x  X и f(- x) = f(x), нечетной, если для любого x  X выполняются условия: - x  X и f(- x) = - f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Содержание слайда: Периодические функции Периодические функции Функция f(x) определенная на множестве X, называется периодической с периодом Т > 0 , если для любого x  X выполняются условия: x + T X, x - T X и f(x +T) = f(x-T) = f(x). Ограниченные и неограниченные функции Функция f(x), называется ограниченной на множестве X, если множество ее значений ограничено, т.е. существует такое число C>0, что для любого x X выполняется неравенство: f(x)  C. Функция f(x) не ограничена на множестве X, если последнее условие не выполняется, т.е. С > 0  xc X: f(xc) > C.

Содержание слайда: Монотонные функции Монотонные функции Функция f(x) называется возрастающей (строго возрастающей) на множестве X, если для всех х1, х2  X, таких что х1 < х2, выполняется неравенство: f(x1)  f(x2) ( f(x1) < f(x2) ). Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на множестве X, если для всех х1, х2  X, таких что х1 < х2 , выполняется неравенство: f(x1)  f(x2) (f(x1) > f(x2) ). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Содержание слайда: Обратная функция D(f) = [a, b] – область определения функции f(x), Е(f) = [c, d] – область значений функции f(x). Если f(x) такова, что для любого уо Е(f), уравнение f(x) = уо имеет единственное решение, то эту функцию называют обратимой. В этом случае, выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию, обозначаемую символом f -1или g: у = f -1(x) = g(x), x D(g).

Содержание слайда: Отметим следующие свойства, показывающие, как связаны данная функция и обратная к ней: Отметим следующие свойства, показывающие, как связаны данная функция и обратная к ней: 1. Если g – функция, обратная к f, то f – функция, обратная к g; при этом D(g) = Е(f), Е (g) = D (f). 2. g(f(x)) = x ,x D (f); f (g (x)) = x, x E(f). 3. Если f – строго монотонная функция, то она обратима. 4. График обратной функции у = g(x), симметричен графику функции y = f(x) относительно прямой у = х.

Содержание слайда: Спасибо за внимание!