Презентация Проекционные методы решения краевых задач онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Проекционные методы решения краевых задач абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 25 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:25 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:225.00 kB
- Просмотров:87
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Тема 7. Проекционные методы решения краевых задач
Теоретические основы проекционных методов
Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле
Двумерная краевая задача Дирихле
Метод Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ
№2 слайд
Содержание слайда: Теоретические основы проекционных методов
Основная задача классического вариационного исчисления:
Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1
На которой достигается
минимум функционала
Центральная теорема: минимум доставляет решение дифференциального уравнения Эйлера
№3 слайд
Содержание слайда: Например
u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T
- скорость
Затраты пропорциональны квадрату скорости
При каком законе движения обеспечивается минимум затрат на пути 0≤ u(х) ≤ s ?
Уравнение Эйлера
Оптимальный закон (линейный!)
№4 слайд
Содержание слайда: Сведение решения ДУ к минимизации функционала
Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению ДУ.
Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала.
Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:
Область определения функции u: R(u)=; Г – граница .
№5 слайд
Содержание слайда: Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид
№6 слайд
Содержание слайда: Метод Ритца
Выбираем базис
Свойства линейной независимости и полноты
Ищем решение в виде
Подставляем в функционал
получаем задачу минимизации функции n переменных
№7 слайд
Содержание слайда: Примеры базисных функций обладающих полнотой
Полиномы
Тригонометрические функции
От удачного выбора базиса зависит эффективность решения задачи
№8 слайд
Содержание слайда: Минимизация квадратичного функционала с линейным оператором L
После подстановки uN(x)
Воспользуемся условием экстремума
Получаем СЛАУ
№9 слайд
Содержание слайда: Системы проекционных уравнений
Запишем
Или
Проекция
Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса
В общем случае
Два базиса
Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0
№10 слайд
Содержание слайда: Проекционные методы
Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915 г.
Б.Г. Галеркин
В зависимости от выбора в функций и оператора K эти методы имеют свои названия
метод Бубнова-Галеркина: K=I , = оператор L может не быть симметричным и положительно определенным
метод Галеркина-Петрова: K=I , ≠
метод наименьших квадратов: K=L , =
№11 слайд
Содержание слайда: Решение одномерной краевой задачи
Найти решение
Ищем решение в виде
Проекционное уравнение
преобразуем
№12 слайд
Содержание слайда: Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)
Подставляем uN
Преобразуем и получаем
систему основных проекционных уравнений
В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций
№13 слайд
Содержание слайда: Задача Дирихле
Выбираем систему базисных функций вида:
В силу того, что
Получаем проекционное уравнение вида
Или для выбранных функций
№14 слайд
Содержание слайда: Программная реализация задачи Дирихле
function V2_1;
Be0=1; be1=0; N=4; M=10;
for i=1:N
F1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);
d(i) = quad(F1,0,1);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2;
G(i,k)=quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1 %выдача графика
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y);
return
№15 слайд
Содержание слайда: Задача со свободным левым концом
Выбираем базис вида
Первый член проекционного уравнения используя гр. условие:
Проекционное уравнение
№16 слайд
Содержание слайда: Задача со свободным левым концом (продолжение)
Проекционное ур-е
После подстановки функций базиса:
№17 слайд
Содержание слайда: Программная реализация задачи со свободным левым концом
function V2_2(al0,be0,be1,N,M);
for i=1:N
F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))-
g(x).*be1.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*(1-x));
d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x))
*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be1*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i)));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return
№18 слайд
Содержание слайда: Задача со свободным правым концом
Выбираем базис вида
Первый член проекционного ур-я
Проекционное уравнение
№19 слайд
Содержание слайда: Задача со свободным правым концом (продолжение)
Проекционное уравнение
После подстановки функций базиса
№20 слайд
Содержание слайда: Программная реализация задачи со свободным правым концом
function V2_3(al1,be0,be1,N,M);
for i=1:N
F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)-
g(x).*be0.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*x);
d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i) =(i-1)/M;
y(i)=be0*(1- xt(i) );
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return
№21 слайд
Содержание слайда: Двумерная краевая задача Дирихле
Выбираем базис
Решение ищем в виде
Проекционное уравнение
№22 слайд
Содержание слайда: Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение)
Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного случая
Получаем проекционное уравнение без вторых производных
№23 слайд
Содержание слайда: Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ методом Канторовича
Задана краевая задача в цилиндрической области вида
Г - граница области поперечного сечения
Решение ищем в виде разложения по базису
Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak
№24 слайд
Содержание слайда: Метод Канторовича (продолжение)
Метод Канторовича (продолжение)
№25 слайд
Содержание слайда: Конец темы 7
Скачать все slide презентации Проекционные методы решения краевых задач одним архивом:
