Презентация ТЕМА: Объемы тел Проект выполнили ученицы 11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШ Плешакова Дарья и Щукова Ксения Работа выполнена под онлайн

Содержание слайда: ТЕМА: Объемы тел Проект выполнили ученицы 11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШ Плешакова Дарья и Щукова Ксения Работа выполнена под руководством учителя математики Плешаковой О.В. 2010 год

Содержание слайда: Содержание: История изучения объемов тел. История измерения объемов тел. Понятие объема. Свойства объемов тел. Объем куба. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы. Объем цилиндра. Объем наклонной призмы. Объем пирамиды. Объем конуса. Применение. Вывод. Источники информации.

Содержание слайда: История изучения объемов тел: Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

Содержание слайда: Архимед       В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

Содержание слайда: История измерения объемов тел: В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Содержание слайда: Демокрит        Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.

Содержание слайда: Евклид Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Содержание слайда:       Теоремы Евклида       Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.        Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

Содержание слайда: Понятие объема:        Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.

Содержание слайда: Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Содержание слайда: Свойства объемов тел: Объем тела есть неотрицательное число; Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих; Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице; Равные геометрические тела имеют равные объемы. Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 < V2.

Содержание слайда: Объем куба: V=a³

Содержание слайда: Объем прямоугольного параллелепипеда:

Содержание слайда: Примеры из жизни:

Содержание слайда: Объем прямой призмы: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V  =  SH . Доказательство : Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA 1 B 1 D 1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики. Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, тогда получим V=SABCCC1=SоснH

Содержание слайда: Объем цилиндра: Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V. Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H. Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда

Содержание слайда: Примеры из жизни:

Содержание слайда: Объем наклонной призмы:   Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.          Доказательство. Пусть площадь основания призмы равна S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в одной из вершин верхнего основания призмы, а ось Ох направим перпендикулярно плоскости основания призмы . Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси Ох, равно основанию призмы, следовательно,

Содержание слайда: Объем пирамиды: Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH

Содержание слайда: Примеры из жизни:

Содержание слайда: Объем конуса: Объем конуса вычисляется по формуле где R — радиус основания конуса, H -- его высота

Содержание слайда: Примеры из жизни:

Содержание слайда: Применение: Формулы объемов тел широко применяются в строительстве

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Вывод: 1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³ 2.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:  V=abc. 3. Объем  прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH 4. Объем  произвольного  параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH 5.  Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH 6. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы:   V1′ = V2′ 7.  Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH 8. Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH 9.  Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:  V= ПR^2H  10. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:  V=1/3ПR^2H 11.  Объем усеченного конуса равен V=1/3 H(R^2+Rr+r^2), где R  и r  – радиусы оснований усеченного конуса. 12.  Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Содержание слайда: Источники информации: Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев. http://e-science.ru/ http://www.freesession.ru/ http://festival.1september.ru/

Содержание слайда: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Содержание слайда: