Презентация Алгебра и геометрия. Основные понятия онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Алгебра и геометрия. Основные понятия абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 51 слайд. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:51 слайд
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.88 MB
- Просмотров:77
- Скачиваний:1
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
(учебная дисциплина)
Составители
доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС
Шуман Галина Ивановна
Волгина Ольга Алексеевна
№2 слайд
Содержание слайда: Элементы векторной алгебры
№3 слайд
Содержание слайда: Содержание
§ 1. Основные понятия
§ 2. Линейные операции над векторами
§ 3. Проекция вектора на ось
§ 4. Координаты вектора
§ 5. Скалярное произведение векторов
§ 6. Векторное произведение векторов
§ 7. Смешанное произведение векторов
№4 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается символом или .
Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору и обозначается .
№5 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается .
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления.
№6 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом (орт) вектора и обозначается .
№7 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначается коллинеарность . Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены () и противоположно направлены ().
№8 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.
№9 слайд
Содержание слайда: § 1. Основные понятия
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
№10 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число.
Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .
№11 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
№12 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов.
Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.
№13 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Разностью векторов и называется вектор такой, что .
№14 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а второй , совпадающий с другой диагональю, - разности .
№15 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
№16 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Произведением вектора на число (скаляр) называется вектор , который имеет длину , коллинеарный вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .
№17 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
.
№18 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1) ;
2) ;
3) ;
№19 слайд
Содержание слайда: § 2. Линейные операции над векторами
4) ;
5) ;
6)
7) .
№20 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая.
Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра ,
опущенного из точки М на ось.
№21 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
Пусть - произвольный вектор ( ). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Вектор называется составляющей вектора по оси l и обозначается .
№22 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l сонаправлены, отрицательное число -, если вектор и ось l противоположно направлены и 0, если .
Проекция вектора на ось l обозначается .
№23 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
Основные свойства проекций:
1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть
.
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол – тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.
№24 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось .
№25 слайд
Содержание слайда: § 3. Проекция вектора на ось
3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, то есть .
Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая связаны соотношением
.
№26 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы соответственно, - произвольный вектор. Обозначим
,
тогда .
№27 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Полученная формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.
№28 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора
.
Пусть вектор образует с осями Ox, Oy, Oz углы соответственно. По свойству проекции вектора на ось имеем
.
№29 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Или, что то же самое,
.
Числа называются направляющими косинусами вектора.
,
то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
№30 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , то есть
.
№31 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует: если , то
1) тогда и только тогда, когда
- равные векторы имеют соответственно равные координаты;
№32 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
2)
- при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются;
3)
- при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;
№33 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
4) , то есть
или
условие коллинеарности двух векторов в координатной форме.
№34 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Говорят, что точка М делит отрезок
в отношении , если , или
где .
№35 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Векторы и коллинеарны , поэтому . После преобразований получим формулы вычисления координат точки М, делящей отрезок в данном отношении :
№36 слайд
Содержание слайда: § 4. Координаты вектора
Если точка М делит отрезок пополам, то , тогда
№37 слайд
Содержание слайда: § 5. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и ( ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается .
, где .
№38 слайд
Содержание слайда: § 5. Скалярное произведение векторов
Пусть заданы два вектора и .
Тогда
№39 слайд
Содержание слайда: § 5. Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) тогда и только тогда, когда , или , или ;
5) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
№40 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если смотреть с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший по
ворпроооот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
№41 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1) перпендикулярен векторам и , то есть , ;
2) имеет длину , где ;
3) векторы , и образуют правую тройку.
№42 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
Векторное произведение обозначается , то есть .
Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:
, .
№43 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
№44 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
Свойства векторного произведения:
1) ;
2) );
3) ;
4) тогда и только тогда, когда , или , или ;
5) .
№45 слайд
Содержание слайда: § 6. Векторное произведение векторов
Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка
№46 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .
Пусть заданы векторы , и . Векторное произведение векторов и - это вектор, равный
№47 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
=
а вектор , тогда скалярное произведение векторов и имеет вид
№48 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
смешанное произведение трех векторов в координатной форме.
№49 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
Свойства смешанного произведения:
1) смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть ;
2) смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов - сомножителей, то есть , ,
№50 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
3) смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть
векторы , , -компланарны ();
№51 слайд
Содержание слайда: § 7. Смешанное произведение векторов
4) смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать:
Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах , , равен
Скачать все slide презентации Алгебра и геометрия. Основные понятия одним архивом:
