Презентация Числовые, функциональные и степенные ряды онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Числовые, функциональные и степенные ряды абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 52 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:52 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:3.36 MB
- Просмотров:123
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда:
№2 слайд
Содержание слайда:
№3 слайд
Содержание слайда:
№4 слайд
Содержание слайда:
№5 слайд
Содержание слайда:
№6 слайд
Содержание слайда:
№7 слайд
Содержание слайда:
№8 слайд
Содержание слайда:
№9 слайд
Содержание слайда:
№10 слайд
Содержание слайда:
№11 слайд
Содержание слайда:
№12 слайд
Содержание слайда:
№13 слайд
Содержание слайда: Определение 1:
Определение 1:
Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от аргумента x:
При x=n функциональный ряд становится числовым, который либо сходится, либо расходится.
№14 слайд
Содержание слайда: Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
.
Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая
очевидно является функцией от х.
№15 слайд
Содержание слайда: Определение 2:
Определение 2:
Совокупность значений x, при которых ФР сходится, называется областью сходимости ряда.
Сумма ФР может быть представлена:
№16 слайд
Содержание слайда: Определение 3:
Определение 3:
ФР называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого ε>0 найдется такое N(ε)>0, что при n>N выполняется неравенство:
S(x) – непрерывная функция
№17 слайд
Содержание слайда: Определение 4:
Определение 4:
Пусть даны:
причем в некоторой области выполняется условие:
Тогда
№18 слайд
Содержание слайда: Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно.
Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно.
№19 слайд
Содержание слайда: Пусть даны функциональные ряды:
Пусть даны функциональные ряды:
№20 слайд
Содержание слайда: Определение 5:
Определение 5:
Функциональный ряд вида:
называется степенным рядом.
№21 слайд
Содержание слайда: Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|.
Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|.
Если степенной ряд расходится при x = x2, то он расходится для всех |x |> |x2|.
Из теоремы следует, что существует такое положительное значение x = R, что при |x| < R степенной ряд сходится,
а при |x| > R расходится, R - радиус сходимости.
№22 слайд
Содержание слайда: По признаку Даламбера:
По признаку Даламбера:
№23 слайд
Содержание слайда: По радикальному признаку Коши:
По радикальному признаку Коши:
№24 слайд
Содержание слайда: Определение 6:
Определение 6:
Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
это есть разложение функции в окрестности точки x0.
Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x0, т.е. Для разложения в ряд Тейлора необходимо, чтобы f(x)существовала в x0 вместе со своими производными.
№25 слайд
Содержание слайда: Определение 6:
Определение 6:
Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|<r может быть разложена в степенной ряд Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю:
№26 слайд
Содержание слайда: Определение 7:
Определение 7:
Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд вида:
это есть разложение функции в окрестности точки x=0.
Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x=0, т.е. Для разложения в ряд Маклорена необходимо, чтобы f(x)существовала в x=0 вместе со своими производными.
№27 слайд
Содержание слайда: Определение. Ряд
Определение. Ряд
называется степенным по степеням х . Ряд
является степенным по степеням .
№28 слайд
Содержание слайда: Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при
Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при
ряд сходится, а при расходится.
Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
№29 слайд
Содержание слайда: Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если
Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если
,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.
№30 слайд
Содержание слайда: В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
.
За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где
, требуется
дополнительное исследование.
№31 слайд
Содержание слайда: Найти интервал сходимости ряда
Найти интервал сходимости ряда
.
Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
№32 слайд
Содержание слайда: Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится
Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится
(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд ,
который сходится условно в силу теоремы Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).
№33 слайд
Содержание слайда: Найти интервал сходимости степенного
Найти интервал сходимости степенного
ряда . Здесь ,
= .Тогда
= =
№34 слайд
Содержание слайда: = .
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.
Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
№35 слайд
Содержание слайда: Найти интервал сходимости ряда .
Найти интервал сходимости ряда .
= =
= = .
Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.
№36 слайд
Содержание слайда: 1. Сумма степенного ряда
1. Сумма степенного ряда
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.
Например,
непрерывна , если .
№37 слайд
Содержание слайда: 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если
2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если
, то
№38 слайд
Содержание слайда: 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
где .
№39 слайд
Содержание слайда: Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются
по формулам , т.е. ряд
или .
№40 слайд
Содержание слайда: Теорема. Если в некоторой окрестности точки
Теорема. Если в некоторой окрестности точки
,
то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом Тейлора единственно.
№41 слайд
Содержание слайда: Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции .
Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.
№42 слайд
Содержание слайда: Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
Тогда
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
№43 слайд
Содержание слайда: Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
№44 слайд
Содержание слайда: Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
выполняется условие
при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
№45 слайд
Содержание слайда: Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:
Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:
Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции
№46 слайд
Содержание слайда: Вычислим производные синуса:
Вычислим производные синуса:
№47 слайд
Содержание слайда: Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.
№48 слайд
Содержание слайда: Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001
№49 слайд
Содержание слайда: Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
№50 слайд
Содержание слайда: Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
№51 слайд
Содержание слайда: Вычислив еще несколько членов ряда
Вычислив еще несколько членов ряда
видим, что
Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:
№52 слайд
Содержание слайда: Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем
Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем
Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и
Скачать все slide презентации Числовые, функциональные и степенные ряды одним архивом:
