Презентация Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: §3. Функция комплексного переменного 1. Основные определения Пусть D,E – множества комплексных чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если zD поставлен в соответствие элемент wE (один или несколько), то говорят, что на множестве D задана функция (отображение) с множеством значений E. Записывают: f: D  E, w = f(z) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: D – множество определения функции z (zD) – аргумент (независимая переменная) E – множество значений w (wE) – зависимая переменная (функция) Если z  w , то функцию называют однозначной. Если z  w1, w2, … wn, …, то функцию называют многозначной.

Содержание слайда: Пусть задана функция w = f(z) . Пусть задана функция w = f(z) . Если z = x + iy , w = u + iv , то u = u(x,y) , v = v(x,y) . Таким образом, f(z)  ↔  u(x,y) , v(x,y) . Функции u(x,y)  и v(x,y) называются соответственно действи- тельной и мнимой частью функции f(z) Обозначают: Ref(z) и Imf(z). Т.к. f(z) характеризуют 4 переменные (x, y, u, v), то геометри- ческая интерпретация f(z) невозможна. Для геометрической иллюстрации f(z) используют 2 экземпляра комплексных плоскостей: O1xy и O2uv (DO1xy , EO2uv).

Содержание слайда: Задание функции f(z) устанавливает соответствие между двумя множествами D и E: Задание функции f(z) устанавливает соответствие между двумя множествами D и E: z  w, где zD, wE . При этом устанавливается и обратное соответствие: w  z . Функция z = (w) называется обратной к f(z). Если f(z) и ее обратная (w) – обе однозначны, то функция f(z) называется однолистной.

Содержание слайда: 2.Элементарные функции комплексного переменного ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой w = f(z), где f(z) – выражение, составленное из основных элементарных функций и комплексных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. ОСНОВНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Ф.К.П. 1) Степенная: w = zn  (nℕ). Свойства функции а) D = ℂ̅ , E = ℂ̅  (n = ); б) однозначная, неоднолистная. 2) Корень n-степени (nℕ): Свойства функции а) D = ℂ̅ , E = ℂ̅ б) многозначна zℂ̅\{0;} .

Содержание слайда: 3) Показательная функция: w = ez ≝ ex  (cosy + isiny) . 3) Показательная функция: w = ez ≝ ex  (cosy + isiny) . Свойства функции а) D = ℂ , E = ℂ\{0}; б) ez | z = x = ex ; в) ez – периодическая, T = 2i . 4) Тригонометрические функции: w = cosz , w = sinz , w = tgz , w = ctgz . Свойства w = cosz , w = sinz а) D = ℂ , E = ℂ; б) cosz | z = x = cosx , sinz | z = x = sinx ; в) периодические, T = 2 ; г) неограниченные; д) cosz – четная, sinz – нечетная; е) имеют только действительные нули cosz = 0 при z = /2 + k , sinz = 0 при z = k .

Содержание слайда: Свойства w = tgz , w = ctgz Свойства w = tgz , w = ctgz а) D(tgz) = ℂ\{/2 + k} , E(tgz) = ℂ , D(ctgz) = ℂ\{k} , E(ctgz) = ℂ ; б) tgz | z = x = tgx , ctgz | z = x = ctgx ; в) периодические, T =  ; г) нечетные; д) имеют только действительные нули ctgz = 0 при z = /2 + k , tgz = 0 при z = k .

Содержание слайда: 6) Гиперболические функции: chz , shz , thz , cthz . 6) Гиперболические функции: chz , shz , thz , cthz . Свойства w = chz , w = shz а) D = ℂ , E = ℂ; б) chz | z = x = chx , shz | z = x = shx ; в) периодические, T = 2i ; г) chz – четная, shz – нечетная; д) справедливы равенства (доказать самостоятельно): ch2z – sh2z = 1 ch(z1 + z2) = chz1  chz2 + shz1  shz2  ch2z = ch2z + sh2z ; sh(z1 + z2) = shz1  chz2 + chz1  shz2  sh2z = 2shz  chz ; ch(x + iy) = chx  cosy + i  shx  siny ; sh(x + iy) = shx  cosy + i  chx  siny .

Содержание слайда: Свойства w = thz , w = cthz Свойства w = thz , w = cthz а) D(thz) = ℂ\{(/2 + k)i} , E(thz) = ℂ , D(cthz) = ℂ\{ki} , E(cthz) = ℂ ; б) thz | z = x = thx , cthz | z = x = cthx ; в) периодические, T = i ; г) нечетные. 7) Натуральный логарифм: w = Lnz : Lnz = ln|z| + i  Argz = ln|z| + i  argz + i  2k . Многозначная функция, определенная на ℂ\{0}. Функция lnz = ln|z| + i  argz  называется главным значением логарифма.

Содержание слайда: 8) Обратные тригонометрические: 8) Обратные тригонометрические: Arcsinz , Arccosz , Arctgz , Arcctgz . 9) Общая степенная: w = zμ , где μℂ . Многозначная функция, определенная на ℂ\{0} формулой w = zμ ≝ eμ  Lnz . Функция w = eμ  lnz называется главным значением общей степенной функции. 10) Общая показательная: w = az , где aℂ\{0} . Многозначная функция, определенная на ℂ формулой w = az ≝ ez  Lna . Функция w = ez  lna называется главным значением общей показательной функции.

Содержание слайда: §4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 1. Предел функции комплексного переменного Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z0ℂ̅, кроме, может быть, самой точки z0 . U*(z0, ) = U(z0, ) \ {z0} – проколотая окрестность точки z0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (по Коши, на языке -). Число w0ℂ называется пределом функции f(z) при z стремящемся к z0 (пределом функции f(z) в точке z0), если >0 >0 такое, что если zU*(z0, ), то f(z)U(w0, ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (по Гейне, на языке последовательностей). Число w0 ℂ называется пределом функции f(z) при z стремящемся к z0, если для любой последовательности {zn} значений аргумента, стремящейся к z0, соответствующая последовательность значений функции {f(zn)} сходится к w0 .

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны. ТЕОРЕМА 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны. Обозначают: Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 . Из определения 2 и теоремы 1 §2 получаем, что справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 2. Число w0 = u0 + iv0 является пределом функции f(z) = u(x,y) + iv(x,y) при z  z0   Из теоремы 2 следует, что на пределы ф.к.п. переносятся все свойства пределов функций нескольких переменных.

Содержание слайда: 2. Непрерывность функции комплексного переменного Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z0ℂ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(z) называется непрерывной в точке z0 если справедливо равенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке -). Функция f(z) называется непрерывной в точке z0 если >0 >0 такое, что если zU(z0, ) (т.е. | z – z0 | < ), то f(z)U(f(z0), ) (т.е. | f(z) – f(z0) | <  ). Функция, непрерывная в каждой точке множества Gℂ, называется непрерывной на множестве G.

Содержание слайда: Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 . Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 . Из теоремы 2 получаем, что справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 3. Функция f(z) непрерывна в точке z0   функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны в точке M0(x0 ,y0) . Из теоремы 3 следует, что на непрерывные ф.к.п. переносятся все свойства непрерывных функций нескольких переменных. В частности, для ф.к.п. будет справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 4 (аналог теоремы Вейерштрасса для ф.к.п.) Пусть Dℂ, D – замкнутое и ограниченное, f(z) – непре- рывна на D. Тогда 1) f(z) ограничена на D, т.е. M > 0 такое, что | f(z) | < M , zD ; 2) модуль функции f(z) достигает в D наибольшего и наименьшего значения