Презентация Как найти корни квадратного уравнения? Авторы: учащиеся 8 класса Руководитель: Родина Алевтина Карловна МОУ «Блюментальская осно онлайн

Содержание слайда: Как найти корни квадратного уравнения? Авторы: учащиеся 8 класса Руководитель: Родина Алевтина Карловна МОУ «Блюментальская основная общеобразовательная школа»

Содержание слайда: Привет, восьмиклассник! Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе научиться находить корни, квадратных уравнений. Здесь ты найдёшь и общий алгоритм решения квадратных уравнений, и теоретические сведения и различные интересные задачи и многое другое. Так что – дерзай! Сядь поудобнее, засучи рукава и …ВПЕРЁД!

Содержание слайда: Цель проекта Цель данного проекта – привлечь внимание учащихся к исследовательской деятельности, вызвать интерес к изучению математики, а именно к решению квадратных уравнений. Данный проект предназначен для развития творческих способностей учащихся: предполагает развитие математического и логического мышления при решении поставленных проблем, нацеливает на самостоятельную исследовательскую деятельность, формирует навыки решения квадратных уравнений, активизирует учащихся к работе в предполагаемых проектах и созданию собственных творческих работ. Основной вопрос, на который должны ответить участники проекта: Как найти корни квадратного уравнения?

Содержание слайда: Дидактические цели проекта Совершенствование прикладных навыков работы с персональным компьютером в аспекте алгебраических исследований. Теоретическое и практическое владение основами решения квадратных уравнений. Дальнейшее формирование навыков самостоятельной работы в познавательной деятельности.

Содержание слайда: Методические цели проекта Научить школьников проводить исследования в области математики. Научить учащихся понимать структуру формулы и алгоритм вычисления корней. Научить школьников оформлять информацию, собранную им самим.

Содержание слайда: Этапы и ход работы 1 этап. Класс разбивается на группы 5-6 человек. 2 этап. Перед группой ставиться проблемный вопрос. 3 этап. Распределение работ внутри группы. 4 этап. Каждая группа должна выполнить:                поиск материала;                анализ материала;     оформить презентацию и буклет.

Содержание слайда: Этапы и ход работы Над проектом мы будем работать в течении 3-х недель. За это время мы… Должны решить, что будем делать и зачем. Как разделиться—кто и с кем. Теорию отлично изучить. Задачи подобрать. И алгоритмы получше осветить. И вам, друзьям об этом рассказать!

Содержание слайда: Подробнее о проекте Проект "Как найти корни квадратного уравнения?» посвящен изучению темы «Квадратные уравнения» В рамках проекта школьники знакомятся с учебным материалом по данной теме. После чего разбиваются на группы. Перед каждой группой ставится проблемный вопрос. Группа проводит поиск и анализ информации с целью проверки собственных гипотез по сформировавшимся вопросам. По итогам проекта каждая группа подготавливает отчет в виде мультимедийных презентаций, буклетов. В рамках проекта предусматривается выступление перед классом по разрабатываемой теме.

Содержание слайда: Темы исследования учащихся 1. «Квадратное уравнение и его корни» 2. «Неполные квадратные уравнения» 3. «Метод выделения полного квадрата» 4. «Решение квадратных уравнений» 5. «Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета.»

Содержание слайда: Немного истории Уравнение 2 – й степени умели решать ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Средне –азиатский учёный аль - Хорезми ( 19 век) в трактате «Китаб аль - джебр валь - мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата

Содержание слайда: Немного истории

Содержание слайда: Неполные квадратные уравнения Квадратное уравнение а х2 + в х + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0 . Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов: а х2 = 0, а х 2 + с = 0, c ≠ 0 a x ² + b x = 0, b ≠ 0.

Содержание слайда: Решение неполных квадратных уравнений Решим уравнение 5х2 = 0. Разделив обе части этого уравнения на 5, получим: х2 = 0, откуда х = 0. Ответ : 0

Содержание слайда: Решение неполных квадратных уравнений Решить уравнение 2х2 + 7 = 0. Уравнение можно записать так: х2 = - 7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х2 ≥ 0 для любого действительного числа х. Решить уравнение 3х2 – 27 = 0.Разделим обе части уравнения на 3: х2 – 9 = 0. Это уравнение можно записать так: х2 = 9, откуда х 1,2 = ± 3.

Содержание слайда: Квадратное уравнение и его корни Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 . Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом трёхчлена а х2 + в х + с Уравнение а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 . имеет два корня:

Содержание слайда: Метод выделения полного квадрата Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Поясним этот метод на примерах.

Содержание слайда: Метод выделения полного квадрата

Содержание слайда: Решение квадратных уравнений Задача 1. Решить уравнение 6х2 +х – 2 = 0. Здесь а = 6, в = 1, с = -2 . По формуле находим: х 1, 2 = ( -1 ±7)/12, откуда х1 =( -1 + 7)/12 = ½, х2 = (-1 – 7)/12 = -2/3. Ответ: ½, -2/3

Содержание слайда: Решение квадратных уравнений Задача 2. Решить уравнение 4х2 – 4х +1 = 0. Здесь а = 4, в = -4, с = 1 . По формуле находим: х 1, 2 = ( 4 ±0)/8 = ½. Ответ: ½.

Содержание слайда: Решение квадратных уравнений Если b ² - 4 a c < 0, уравнение a x ² + b x + c = 0 не имеет действительных корней. Задача 3. Доказать, что уравнение x² - 4 x + 5 = 0 не имеет действительных корней. Здесь а = 1, b = - 4, с = 5, b² - 4ac = (-4)2 – 4*1*5 = - 4 < 0. Следовательно данное уравнение не имеет действительных корней

Содержание слайда: Приведённое квадратное уравнение Квадратное уравнение x ² + p x + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² + 3 x - 4 = 0 является приведённым. Всякое квадратное уравнение а х ² + b x + c = 0 может быть приведено к виду x ² + p x + q = 0 делением обеих частей уравнения на a ≠ 0. Для приведённого квадратного уравнения формула корней приведенного квадратного уравнения Этой формулой удобно пользоваться когда p – чётное число. Например, решим уравнение x ² - 14 x - 15 = 0. По формуле находим: х 1,2 = 7 ± √ (49 + 15) = 7 ± 8 Х1 = 7 + 8 , х2 = 7 - 8 Х1 = 15, х2 = - 1 Ответ: 15, -1. Для приведённого квадратного уравнения справедлива следующая теорема

Содержание слайда: Теорема Виета Если х1, х2 – корни уравнения х2 + рх + g = 0 то справедливы формулы х1+х2 = - р, х1х2 = g. т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Содержание слайда: Теорема Виета Например уравнение х2 – 13 х + 30 = 0 имеет корни х1 = 10, х2 = 3; сумма его корней х1 + х2 = 13, а их произведение х1х2 = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х1 = х2 = - р/2. Например, уравнение х2 – 6х + 9 = 0 имеет равные корни: х1=х2 = 3; их сумма х1 + х2 = 6, произведение х1х2 = 9

Содержание слайда: Теорема Виета Задача 2. Составить приведённое квадратное уравнение корни которого х1= 3, х2 = 4. Так как х1=3, х2=4 – корни уравнения х2 + рх + g = 0, то по теореме Виета р = - (х 1 + х 2) = - 7, g = х1х2 = 12. Ответ: х2 – 7х +12 =0.

Содержание слайда: Обратная теорема Виета При решении некоторых задач применяется следующая теорема. Обратная теореме Виета: Если число р, g, х1, х2 таковы, что х1+х2 = - р, х1х2 = g, то х1 и х2 – корни уравнения х2 + рх + g = 0 Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения

Содержание слайда: Группа теоретиков: учит основы теории решения квадратных уравнений выступает на семинаре первыми! Группа практиков: Учит алгоритм решения квадратных уравнений выступает на семинаре вторыми!

Содержание слайда: Используемые ресурсы Учебник «Алгебра 8» Ш.А. Алимов. И др. «История математики в школе.» Г.И.Глейзер. 60-1-10.