Презентация Линейные операции. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Базис векторов. Тема 5 онлайн

Содержание слайда: Тема 1-6. Линейные операции. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Базис векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

Содержание слайда: Основные определения векторной алгебры Вектором называется направленный отрезок. Длиной вектора называется длина задающего его направленного отрезка. Нулевым вектором называется вектор нулевой длины. Единичным вектором называется вектор длины 1. Векторы называются равными, если равны их длины и они одинаково направлены. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (лежат в одной плоскости).

Содержание слайда: Линейные операции 1) Сложение: (первые три правила для векторов компланарных, т.е. лежащих в одной плоскости)

Содержание слайда: Линейные операции 2) Вычитание: 3) Умножение на число:

Содержание слайда: Свойства линейных операций

Содержание слайда: Проекция вектора на ось

Содержание слайда: Свойства проекций:

Содержание слайда: Скалярное произведение векторов

Содержание слайда: Скалярное произведение в координатах Применение скалярного произведения

Содержание слайда: Базис векторов

Содержание слайда: Чаще всего пользуются прямоугольным базисом

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Векторное произведение векторов

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Смешанное произведение векторов

Содержание слайда:

Содержание слайда: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Примеры вычисления длины вектора Пример. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}. Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6. Определение равенства векторов Пример. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны. Решение: Проверим равенство компонентов векторов ax = bx = 1 ay = by = 2 az = bz => 4 = 2n => n = 4/2 = 2 Ответ: при n = 2 вектора a и b равны. Пример умножения вектора на число Пример . Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3. Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}. Примеры на сложение (вычитание ) векторов Пример 1. Найти сумму векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}. Решение: a + b = {1 + 4; 2 + 8} = {5; 10}

Содержание слайда:

Содержание слайда: Вычисление угла между векторами Вычисление угла между векторами Пример. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}. Решение: Найдем скалярное произведение векторов: a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28. Найдем модули векторов: |a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5 |b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6 Найдем угол между векторами: Примеры задач с направляющими косинусами вектора Пример. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}. Решение: Найдем модуль вектора a: |a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5. Найдем направляющие косинусы вектора a:

Содержание слайда: Определение линейной зависимости Пример. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми. Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x1, x2, x3 таких, что линейная комбинация векторов a, b, c равна нулевому вектору, например: -a + b + c = 0, а это значит вектора a, b, c линейно зависимы.

Содержание слайда: Коллинеарность векторов Коллинеарность векторов Пример. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны. Пример. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Содержание слайда: Ортогональность векторов Ортогональность векторов Пример . Проверить являются ли вектора a = {3; -1} и b = {7; 5} ортогональными. Решение: Найдем скалярное произведение этих векторов: a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 - 5 = 16 Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны. Пример . Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4} и b = {n; 1} будут ортогональны. Решение: Найдем скалярное произведение этих векторов: a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4 2n + 4 = 0 2n = -4 n = -2 Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Содержание слайда: Вычисление координат Вычисление координат Пример. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1). Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4; 1 - 5} = {2; -3; -4}. Пример. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3). Решение: ABx = Bx - Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8 ABy = By - Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3 ABz = Bz - Az   =>   Bz = ABz + Az   =>   Bz = 2 + 3 = 5 Ответ: B(8; -3; 5). Вычисление векторного произведения Пример. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Содержание слайда: Смешанное произведение векторов Смешанное произведение векторов Пример. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}. Компланарность векторов Пример. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Содержание слайда: Базис векторов

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: