Презентация Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. (Лекция 6) онлайн

Содержание слайда: Лекция 6. Понятие о логарифмической производной. Производные высших порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков с применением производных. Производная логарифмической функции Рассмотрим логарифмическую функцию Переходя к пределу при получим Следовательно В частности Понятие о логарифмической производной Рассмотрим сложную функцию Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем Производная от логарифмической функции называется логарифмической производной функции. Пример

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Производная функции, заданной параметрическими уравнениями  Производная функции, заданной параметрическими уравнениями  Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями (1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). Например, в механике t – время, уравнения (1) – параметрические уравнения траектории движущейся точки. В общем случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно x. Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это возможно), получим функция, обратная к функции . Далее, исключая из уравнений (1) параметр t, получаем (2). Пользуясь формулой (2) легко найти производную как производную сложной функции. Кроме того, существует правило для нахождения не требующее исключение параметра t (параметр невозможно исключить). Теорема Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями где - дифференцируемые функции и то производная этой функции есть (3) .

Содержание слайда: Доказательство Доказательство В цепочке равенств ,где обратная функция по отношению к функции , будем рассматривать t как промежуточный аргумент. Тогда, согласно правила дифференцирования сложной функции будем иметь (4). Применяя правило дифференцирования обратной функции получим (5) Из (4) и (5) получаем В обозначениях Лейбница Пример Производные высших порядков Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной. Обозначение f”(x)=[f’(x)]’ Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка или третьей производной Обозначение f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее.

Содержание слайда: - производная n – го порядка. - производная n – го порядка. Пример Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями (1),где - дифференцируемые функции и , Причем на отрезке функция имеет обратную функцию Для первой производной имеет место формула (2). Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х.

Содержание слайда: Или (3) Или (3) Аналогичным образом можно найти производные Пример Решение Формула Лейбница На производные высших порядков распространяются общие правила дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислить производную n – го порядка от произведения двух функций, то есть y=uv …

Содержание слайда: Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается в следующем: Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается в следующем: Надо выражение разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном выражении, заменить показатели степеней для u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени входящие в крайние элементы разложения, надо заменить самими функциями (то есть производными нулевого порядка). Получаем - формула Лейбница Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом математической индукции. Пример Решение … тогда

Содержание слайда: Производные высших порядков для функции заданной неявно Производные высших порядков для функции заданной неявно Рассмотрим на примере вычисление производной второго порядка для функции заданной неявно. Пример Решение Далее в выражении для второй производной используем найденное выражение производной первого порядка. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема о корнях производной (теорема Ролля) Если функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах отрезка f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка [a,b] по крайней мере одна точка x=c, a<c<b, в которой производная f’(x) обращается в 0. Доказательство Так как f(x) непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (М) и наименьшее (m) значения. Если M=m, то f(x) постоянна, то есть при всех значениях х - f(x)=0 и для

Содержание слайда: Теорема доказана. Теорема доказана. Если ,то пологая M>0 и f(x) принимает наибольшее значение при х=с, то есть f(c)=M, при этом так как по условию f(a)=f(b)=0 Учитывая, что f(c) - наибольшее значение функции, то при Отсюда следует при (1') при (1’’) Так как по условию теоремы f’(x) существует при х=с, то переходя к пределу при получим Но соотношения совместимы лишь в том случае, когда f’(c)=0. Следовательно, внутри отрезка [a,b] имеется точка с, в которой f’(c)=0. Геометрическая интерпретация Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекается с осью ОХ в точках x=a,x=b, то на этой кривой найдется, по крайней мере одна точка с абсциссой x=c, a<c<b, в которой касательная параллельна оси ОХ.

Содержание слайда: 2.Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) 2.Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) Если y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], то внутри отрезка [a,b] найдется, по крайней мере, одна точка c, a<c<b, что f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1) Доказательство Обозначим (2) Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)Q (3) Геометрический смысл F(x) следующий: Напишем уравнение хорды AB. Учитывая, что ее угловой коэффициент равен и, что она проходит через точку (a,f(a)). y-f(a)=Q(x-a) ,но F(x)=f(x)-[f(a)+Q(x-a)] следовательно, F(x) для каждого значения х равняется разности ординат кривой f(x) и хорды y=f(a)+Q(x-a) для точек с одинаковой абсциссой. Так как F(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно применить теорему Ролля, согласно которой существует точка что F’(c)=0. Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q=0 Подставляя это в равенство (2) получаем

Содержание слайда: Теорема доказана. Теорема доказана. Геометрическая интерпретация Если во всех точках дуги AB существует касательная, то существует точка с, в которой касательная параллельна хорде AB. 3.Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши) Если непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке [a,b], причем при то найдется такая точка x=c, a<c<b, что (1). Доказательство Обозначим (2).

Содержание слайда: Отметим, что так как в противном случае по теореме Ролля обращалась бы в 0 внутри отрезка [a,b], что противоречит условию теоремы. Отметим, что так как в противном случае по теореме Ролля обращалась бы в 0 внутри отрезка [a,b], что противоречит условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-Q (3). Так как F(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно применить теорему Ролля, согласно которой существует точка что что F’(c)=0. Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q=0 Теорема доказана. Понятие о правиле Лопиталя Рассмотрим отношение где функции определены и дифференцируемы в окрестности точки а. Может случиться, что при стремятся к 0 или к то есть обе функции одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими. Тогда в точке а функция f(x) имеет неопределенность вида или (1) В этом случае, используя производные можно сформулировать простое правило для нахождения предела функции f(x) при , то есть дать способ раскрытия неопределенностей вида (1). Это правило Лопиталя.

Содержание слайда: Теорема Теорема Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Доказательство Доказательство проведем для случая неопределенности вида и для простоты будем предполагать, что - непрерывны в точке а и (2) Разность можно рассматривать как приращение в точке а, соответствующее приращению аргумента Поэтому (3) (3’) Учитывая (2), (2’) при получим

Содержание слайда: Отсюда переходя к пределу при и используя (3) и (3’) получим Отсюда переходя к пределу при и используя (3) и (3’) получим (4) Но по предположению непрерывны при , причем , поэтому (5) Сопоставляя формулы (4) и (5) получим правило Лопиталя Указанные виды неопределенностей или не являются единственными. Возможны неопределенности то есть причём Или неопределенность то есть причем Возможны и другие неопределенности. Для раскрытия этих неопределенностей их стараются с помощью тождественных преобразований свести к неопределенностям вида или и затем применить правило Лопиталя.

Содержание слайда: Примеры Примеры 1. 2. 3. 4. Для функции в случаях при Получаем неопределенности вида Для нахождения предела удобно логарифмировать функцию f(x).

Содержание слайда: Пример Пример Логарифмируя выражение и используя непрерывность логарифмической функции находим