Презентация Разработка, исследование и применение методов и алгоритмов приближенного решения типовых математических задач. Лекция 1 онлайн

Содержание слайда: Основы вычислительной математики Предмет Разработка, исследование и практическое применение методов и алгоритмов приближенного решения типовых математических задач. Литература: - Б.П. Демидович, И.А. Марон «Основы вычислителной математики» - Г.И. Марчук «Методы вычислительной математики»

Содержание слайда: Основные источники погрешностей Основные источники погрешностей Погрешности, возникающие при решении математических зада имеют различную природу. Источники неустранимой погрешности: Погрешность задачи (математическая модель), Погрешность начальная (исходные данные, наличие физических констант). Источники устранимой погрешности: Погрешность метода (остаточная погрешность), Погрешность округления (конечность разрядной сетки), Погрешность действий (+, -, *, /).

Содержание слайда: Тема 1. Приближенные числа Определение 1. Приближенным числом называется число, незначительно отличающееся от точного и заменяющее последнее в вычислениях. Приближенное число будем обозначать ‘a’, точное число буквой ‘A’. Определение 2. Погрешностью приближенного числа ‘а’ (∆a) называют разность А-а. То есть ∆a= А-а Определение 3. Абсолютной погрешностью числа ‘а’ называют модуль погрешности, то есть ∆= |А-а|. Определение 4. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа называют любое число ∆а не меньшее ее абсолютной погрешности (∆а ≥ ∆). ∆= |А-а|≤ ∆а /* Стремятся выбрать его как можно меньшим в сложившихся условиях. */

Содержание слайда: Соотношения, вытекающие из определений ∆=|A-a|≤∆а --> a - ∆а ≤ A ≤ a + ∆а Пример. Определим предельную погрешность числа 3.14, заменяющего число π , если известно, что 3.14 < π < 3.15. Так как число π может быть любой точкой из интервала (3.14, 3.15), длина которого 0.01, то погрешность числа 3.14 может быть любой величиной из интервала (0.0, 0.01). В силу определения, предельная абсолютная погрешность должна быть не меньше любого из этих чисел, а тогда получаем ∆а = 0.01. Если сложившиеся условия немного поменять 3.14 < π < 3.142 , то можно получить лучшую оценку абсолютной погрешности, а именно: ∆а = 0.002.

Содержание слайда: Определение 5. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности к модулю точного значение, т. е. δ = ∆ / |A|. Определение 5. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности к модулю точного значение, т. е. δ = ∆ / |A|.

Содержание слайда: Взаимосвязь абсолютной и относительной погрешностей Взаимосвязь абсолютной и относительной погрешностей Будем считать, что А>0, a>0, ∆а < a. Тогда можно записать δ= ∆/А ≤ ∆а /( a - ∆а ). Отсюда следует, что, зная предельную абсолютную погрешность ∆а, можно определить предельную относительную погрешность как δа = ∆а / (а - ∆а) Аналогично получаем 2) ∆ = А*δ ≤ (а + ∆)δа  ∆ ≤ a* δа + ∆ * δа Отсюда получаем, ∆(1- δа) ≤ a* δа далее ∆ ≤ a* δа /(1 - δа). Значит, зная предельную относительную погрешность δа можно получить предельную абсолютную погрешность ∆а = a* δа /(1 - δа). Упрощенный вариант полученных формул. Если принять, что ∆а << a, δа <<1, тогда δа = ∆а / а, ∆а = а* δа .

Содержание слайда: Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков Всякое число в десятичной система счисления можно представить в виде а = αm10m + αm-110m-1 + αm-210m-2 + … + αm-n+110m-n+1 + … , где αm ≠ 0. Определение 7. Значащей цифрой числа называют любую цифру в ее записи, отличную от нуля, и ноль, если он стоит между ненулевыми цифрами, или служит для обозначение сохраненных разрядов.

Содержание слайда: Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков