Презентация Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Тема 3 онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Тема 3 абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 21 слайд. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Презентации » Математика » Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Тема 3
Оцените!
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:21 слайд
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:152.31 kB
- Просмотров:69
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№2 слайд
Содержание слайда: Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными переменными (p может быть равно n) вида
Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными переменными (p может быть равно n) вида
- неизвестные переменные,
- коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),
- свободные члены (также действительные или комплексные числа).
Такую форму записи СЛАУ называют координатной.
№4 слайд
Содержание слайда: Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов
№6 слайд
Содержание слайда: Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.
№8 слайд
Содержание слайда: Решение СЛАУ матричным методом
(с помощью обратной матрицы)
Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность nхn и ее определитель отличен от нуля.
Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных
№10 слайд
Содержание слайда: Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:
Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:
№12 слайд
Содержание слайда: Решение СЛАУ методом Гаусса
Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n-неизвестными переменными определитель основной матрицы которой отличен от 0.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится xn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.
№13 слайд
Содержание слайда: Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
№14 слайд
Содержание слайда: Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего (аналогично исключению x1).
№15 слайд
Содержание слайда: Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.
№16 слайд
Содержание слайда: Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида
В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n:
Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.
№17 слайд
Содержание слайда: Теорема Кронекера – Капелли
Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли: для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными (p может быть равно n) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T).
№18 слайд
Содержание слайда: А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?
А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?
Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.
Минор наивысшего порядка матрицы А, отличный от нуля, называется базисным.
Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.
№20 слайд
Содержание слайда: Что нам дает теорема о ранге матрицы?
Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).
№21 слайд
Содержание слайда: В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая:
1) Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.
2) Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n, то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.
Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными.
Неизвестные переменные (их n - r штук), которые оказались в правых частях, называются свободными.
Cxитаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.
Скачать все slide презентации Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Методы их решения. Тема 3 одним архивом:
-
Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)
-
Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
-
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Логвинова И. А. , учитель математики МАОУ СОШ 19
-
По математике "Аналитический и численный методы решения систем уравнений с параметром" - скачать
-
Урок по алгебре в 7 классе Решение систем линейных уравнений МАОУСОШ 8 учитель математики г. Стара
-
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
-
На тему Графический метод решения системы линейных уравнений
-
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 7 класс
-
Решение систем линейных уравнений методом подстановки. 7 класс
-
Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки