Презентация Случайные процессы (лекция 13). Закон распределения и основные характеристики случайных процессов онлайн

Содержание слайда: Лекция 13 Случайные процессы Основные понятия. Закон распределения и основные характеристики случайных процессов. Стационарные, эргодические, элементарные случайные процессы (Ахметов С.К.)

Содержание слайда: Определения

Содержание слайда: Классификация случайных процессов Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты t1, t2, t3….. tn, число которых конечно или счетно Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент времени t наблюдаемого периода Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным состоянием, если его сечение в любой момент t представляет собой не дискретную, а непрерывную величину Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным состоянием, если в любой момент времени t множество его состояний конечно или счетно, то есть, если его сечение в любой момент t характеризуется дискретной случайной величиной

Содержание слайда: Классификация случайных процессов Таким образом, все СП можно разделить на 4 класса: Процессы с дискретным состоянием и дискретным временем; Процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем; Процессы с непрерывным состоянием и дискретным временем; Процессы с непрерывным состоянием и непрерывным временем. Большинство гидрологических процессов являются процессами с непрерывным состоянием и непрерывным временем. Но при вводе шага дискретности по времени они превращаются из процесса с непрерывным временем в процесс с дискретным временем. При этом процесс остается непрерывным по состоянию

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов Сечение случайного процесса х(t) при любом фиксированном значении аргумента t представляет собой СВ, которая имеет закон распределения F (t, x) = P{X(t) < x} Это одномерный закон распределения случайного процесса X(t) Но, он не является исчерпывающей характеристикой СП, так как характеризует свойства любого, но отдельно взятого сечения и не дает представления о совместном распределении двух или более сечений. Это видно на рисунке, где показаны два СП с разными вероятностными структурами, но примерное одинаковыми распределениями СВ в каждом сечении

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов Поэтому более полной характеристикой СП является двумерный закон распределения F(t1,t2,x1,x2) = P {X(t1) < x1, X(t2) < x2}  В общем случае исчерпывающей характеристикой СП является n - мерный закон распределения На практике вместо многомерных законов распределения используют основные характеристики СП, такие как МО, дисперсия, начальные и центральные моменты, но только для СП эти характеристики будут не числами, а функциями Математическое ожидание СП X(t) - неслучайная функция mx(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения СП:

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов МО СП представляет собой некоторую «среднею» функцию, вокруг которой происходит разброс СП

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов Для полной характеристики СП необходимо учитывать взаимосвязь между различными сечениями. Поэтому, к комплексу перечисленных характеристик нужно добавить также корреляционную функцию СП: Корреляционной (или ковариационной) функцией СП X(t) называется неслучайная функция Kx(t,t’), которая при каждой паре значений аргументов t и t’ равна корреляции соответствующих сечений X(t) и X(t’)   Kx(t,t’) = M{[X(t) – mx(t)] x [X(t’) - mx(t’)]} или Kx(t,t’) = M[X0(t) X0(t’)] = M[X(t) X(t’)] - mx(t) mx(t’)   Свойства корреляционной функции: - при равенстве t = t’ корреляционная функция равна дисперсии СП, т. е. Kx(t,t’) = Dx(t)   - корреляционная функция Kx(t,t’) симметрична относительно своих аргументов, то есть Kx(t,t’) = Kx(t’,t)

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов Нормированной корреляционной функцией rx(t,t’) СП X(t) называется функция, полученная делением корреляционной функции на произведение среднеквадратических отклонений σx(t) σx(t’)   rx(t,t’) = [Kx(t,t’)]/(σx(t)σx(t’)) = [Kx(t,t’)]/(√(Dx(t)Dx(t’))   Свойства нормированной корреляционной функции: - при равенстве аргументов t и t’ нормированная корреляционная функция равна единице rx(t,t’) = 1   нормированная корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, то есть rx(t,t’) = rx(t’,t) - нормированная корреляционная функция по модулю не превышает единицу rx(t,t’) ≤ 1

Содержание слайда: Основные характеристики случайных процессов Скалярный СП – это когда речь идет об одном СП, как было до сих пор. Векторный СП – это когда рассматриваются 2 и более СП. Допустим заданы расходы воды в нескольких створах во времени В этом случае для характеристики СП нужно знать для каждого скалярного процесса: МО корреляционную функцию взаимную корреляционную функцию Взаимной корреляционной функцией Ri,j(t,t’) двух случайных процессов X(t) и X(t’) называется неслучайная функция двух аргументов t и t’, которая при каждой паре значений t и t’ равна ковариации (линейной связи) двух сечений СП X(t) и X(t’)   Ri,j(t,t’) = M[X0(t) X0(t’)]

Содержание слайда: Стационарные случайные процессы Стационарные СП – это СП, у которых все вероятностные характеристики не зависят от времени, то есть: - mx = const - Dx = const Отличие стационарных и нестационарных СП показано на рисунке

Содержание слайда: Свойства корреляционной функции стационарного СП Четность функции от своего аргумента, то есть kx(τ) = kx(-τ) τ – сдвиг всех временных аргументов СП на одинаковую величину Θ k – корреляционная функция СП при Kx(t1,t2) = kx(τ) Значение корреляционной функции стационарного СП при нулевом сдвиге τ равно дисперсии СП Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)   |kx(τ)| ≤ kx(0)   Помимо корреляционной функции используется нормированная корреляционная функция стационарного СП, которую называют автокорреляционной функцией rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)

Содержание слайда: Эргодические случайные процессы Эргодическое свойство СП – это когда по одной достаточно продолжительной реализации СП можно судить о СП в целом Достаточным условием эргодичности СП является условие lim kx(τ) = 0 при τ → ∞, т.е. при увеличении сдвига между сечениями корреляционная функция затухает На рисунке показаны а) неэргодический и б) эргодический СП

Содержание слайда: Элементарные случайные процессы Элементарный СП (э.с.п) – это такая функция аргумента t, для которой зависимость от t представлена обычной неслучайной функцией, в которую в качестве аргумента входит одна или несколько обычных СВ То есть каждая СВ порождает свою реализацию СП К примеру, если в каком – то створе ветвь спада половодья является устойчивой и описывается уравнением   Q(t) = Qнe-at a - районный параметр (a>0) Qн - расход воды в начальный момент времени t = t0   то процесс спада половодья можно считать э.с.п., где a - неслучайная величина, Qн -случайная величина

Содержание слайда: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!