Презентация Стационарные случайные процессы онлайн

Содержание слайда: Лекция 16 11. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Содержание слайда: 11.1. Основные понятия и определения СП Вещественную переменную t будем называть временем; вещественную функцию x(t) – процессом; график функции x(t) – траекторией процесса. Множество возможных значений t обозначим Т. Пусть Xt или Х(t) – случайная величина, определенная на вероятностном пространстве {, F, P} и зависящая от tT. Множество {Хt} случайных величин, соот-ветствующих различным tT, будем

Содержание слайда: называть случайным процессом; случайную величину Хt – сечением случайного процесса в момент времени t. Реализацию сечения Хt будем обозначать хt или x(t). В соответствии с определением случайных величин x(t)=X(t, ), где . Функцией распределения сечения Хt называют одномерной функцией распределения случайного процесса (СП) и обозначают F(x; t)=P(Хt <x). Одномерной плотностью СП будем называть функцию называть случайным процессом; случайную величину Хt – сечением случайного процесса в момент времени t. Реализацию сечения Хt будем обозначать хt или x(t). В соответствии с определением случайных величин x(t)=X(t, ), где . Функцией распределения сечения Хt называют одномерной функцией распределения случайного процесса (СП) и обозначают F(x; t)=P(Хt <x). Одномерной плотностью СП будем называть функцию f(x; t)=F(x; t) / x.

Содержание слайда: n-мерной функцией и n-мерной плотностью распределения СП Хt назовем n-мерной функцией и n-мерной плотностью распределения СП Хt назовем (*)

Содержание слайда: Множество всех конечномерных законов распределения (*) будем называть законом распределения СП Хt. Математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратическим отклонением СП Хt будем называть функции (1) Множество всех конечномерных законов распределения (*) будем называть законом распределения СП Хt. Математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратическим отклонением СП Хt будем называть функции (1)

Содержание слайда: – центрированный СП. Ковариационным и корреляционным моментами СП Хt называются функции (2)

Содержание слайда: Нормированной корреляционной функцией сечений Хt, Хt’ СП Хt будем называть функцию Нормированной корреляционной функцией сечений Хt, Хt’ СП Хt будем называть функцию Числовые характеристики получены для СВ Хt и Хt’ - сечений СП, то операции M, D, R, K,  обладают свойствами, установленными в теоремах о числовых характеристиках СВ и векторов

Содержание слайда: Если X(t) и Y(t) – два СП, определенные на {, F, P} и Т, то их взаимной корреляционной функцией будем называть Если X(t) и Y(t) – два СП, определенные на {, F, P} и Т, то их взаимной корреляционной функцией будем называть СП X(t) называют гильбертовым, если существует для любого tT

Содержание слайда: Теорема: СП X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t, t’)ТТ. Теорема: СП X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t, t’)ТТ. Множество Т может быть дискретным и континуальным. В первом случае СП Хt называют процессом с дискретным временем, во втором – с непрерывным временем. СП X(t) называется выборочно непрерывным, дифференцируемым и интегрируемым в точке , если его реализация x(t)=x(t, ) соответственно непрерывна, дифференцируема и интегрируема.

Содержание слайда: СП X(t) называется непрерывным: СП X(t) называется непрерывным: почти наверное (п.н.), если Р(А)=1 в среднем квадратическом (с.к.), если по вероятности (п.в.), если

Содержание слайда: Каноническим разложением СП X(t) называют его представление в виде Каноническим разложением СП X(t) называют его представление в виде где Vi – коэффициенты – СВ с характеристиками M(Vi )=0, D(Vi)= Di, M(Vi Vj)=0, которые называют элементарными; а i(t) – координатные функции канонического разложения процесса X(t).

Содержание слайда: 11.2. Основные понятия и определения стационарных СП СП X(t) называют стационарным в узком смысле, если F(x1,…,xn; t1,…,tn)= F(x1,…,xn; t1 +,…, tn +) при произвольных n1, x1,…,xn, t1,…,tn, ; t1 , ti+  T. Здесь F(x1,…,xn; t1,…,tn) – n-мерная ФР СП X(t). СП X(t) называют стационарным в широком смысле, если m(t)=m(t+ ), K(t,t’)=K(t+, t’+) , t’+, t+, t, t’  T (3). Для процесса, стационарного в широком смысле, можно записать

Содержание слайда: m(t)= mx(0)=const, D(t)=K(t, t)=K(0,0)=const, K(t, t’)=K(t-t’,0)=K(0, t’-t). m(t)= mx(0)=const, D(t)=K(t, t)=K(0,0)=const, K(t, t’)=K(t-t’,0)=K(0, t’-t). K(t,t’)=k()=k(- ),  =t’-t. k() – четная функция, при этом k(0)=D=2; |k() | k(0), D – дисперсия СП X(t).

Содержание слайда: 11.3. Спектральное разложение стационарных СП - стационарный СП, определенный на отрезке времени [0,T] с корреляционной функцией k(), определенной на отрезке [-T, T]. Поскольку k() – четная функция, то ее можно разложить в ряд Фурье (4)

Содержание слайда: (k=1, 2,…) (5) координатные функции cos kt, sin kt (k=0, 1,…) и коэффициенты канонического разложения Uk, Vk (k=0, 1,…) с характеристиками

Содержание слайда: М(Uk)=М(Vk)=0, D(Uk)=D(Vk)=Dk, М(Uk)=М(Vk)=0, D(Uk)=D(Vk)=Dk, М(Ui Uj)=М(Vi Vj)=0, M(Vi Uj)=0 (6) (7) Это выражение называют дискретным спектральным разложением стационарного СП. Полагая t’=t и учитывая формулу K(t, t) =D[X(t)], найдем

Содержание слайда: Множество пар {(k, Dk)} называют спектром дисперсий спектрального разложения (4). Множество пар {(k, Dk)} называют спектром дисперсий спектрального разложения (4). Если Т=, то вместо дискретного применяется так называемое непрерывное или интегральное каноническое разложение стационарного СП. (8) U(), V() – случайные функции вещественной переменной : 0 с характеристиками

Содержание слайда: M[U()]=M[V()]=0, KU(,’)=M[U()U(’)]=s()( - ’), (9) M[U()]=M[V()]=0, KU(,’)=M[U()U(’)]=s()( - ’), (9) KV(,’)=M[V()V(’)]=s()( - ’), KUV(,’)=M[U()V()]=0 s() – некоторая вещественная функция, называемая спектральной плотностью стационарного СП; () – функция Дирака; U(), V() – так называемые некоррелированные белые шумы с интенсивностью s(). (10)

Содержание слайда: (11) s() и k() спектральная функция.

Содержание слайда: Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, «затеняет», или маскирует, сигнал, это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так искусственные источники. Искусственные шумы – это шумы от родственных источников Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, «затеняет», или маскирует, сигнал, это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так искусственные источники. Искусственные шумы – это шумы от родственных источников

Содержание слайда: электромагнитного излучения (искровое зажигание). Естественные шумы исходят из атмосферы, солнца и др. галактических источников. Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования и т.д. Но существует один естественный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум вызывается тепловым движением электронов. Тепловой шум можно описать как гауссов случайный электромагнитного излучения (искровое зажигание). Естественные шумы исходят из атмосферы, солнца и др. галактических источников. Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования и т.д. Но существует один естественный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум вызывается тепловым движением электронов. Тепловой шум можно описать как гауссов случайный

Содержание слайда: процесс с нулевым средним. Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот. Когда мощность шума имеет единообразную спектральную плотность, то шум называется белым. Прилагательное «белый» используется в том смысле, что и для белого света содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения. Белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию, процесс с нулевым средним. Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот. Когда мощность шума имеет единообразную спектральную плотность, то шум называется белым. Прилагательное «белый» используется в том смысле, что и для белого света содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения. Белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию,

Содержание слайда: но ни один случайный процесс в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах можно предположительно считать белым. но ни один случайный процесс в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах можно предположительно считать белым.