Презентация Степенные ряды. (Лекции12-14) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Степенные ряды. (Лекции12-14) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 36 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:36 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:294.00 kB
- Просмотров:72
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Степенные ряды
Лекции12, 13, 14
№2 слайд
Содержание слайда: Функциональные ряды
Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается
.
Если при ряд сходится, то
называется точкой сходимости функционального ряда.
Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
№3 слайд
Содержание слайда: Пример функционального ряда
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
.
Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая
очевидно является функцией от х.
№4 слайд
Содержание слайда: Степенные ряды
Определение. Ряд
называется степенным по степеням х . Ряд
является степенным по степеням .
№5 слайд
Содержание слайда: Интервал сходимости степенного ряда
Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при
ряд сходится, а при расходится.
Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
№6 слайд
Содержание слайда: Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера
Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если
,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.
№7 слайд
Содержание слайда: Продолжение
В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
.
За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где
, требуется
дополнительное исследование.
№8 слайд
Содержание слайда: Примеры
Найти интервал сходимости ряда
.
Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
№9 слайд
Содержание слайда: Примеры
Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится
(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд ,
который сходится условно в силу теоремы Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).
№10 слайд
Содержание слайда: Примеры
Найти интервал сходимости степенного
ряда . Здесь ,
= .Тогда
= =
№11 слайд
Содержание слайда: Продолжение
= .
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.
Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
№12 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти интервал сходимости ряда .
= =
= = .
Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.
№13 слайд
Содержание слайда: Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда
1. Сумма степенного ряда
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.
Например,
непрерывна , если .
№14 слайд
Содержание слайда: Почленное дифференцирование
2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если
, то
№15 слайд
Содержание слайда: Почленное интегрирование
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
где .
№16 слайд
Содержание слайда: Разложение функций в степенные ряды
№17 слайд
Содержание слайда: Определения
Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются
по формулам , т.е. ряд
или .
№18 слайд
Содержание слайда: Степенной ряд как ряд Тейлора
Теорема. Если в некоторой окрестности точки
,
то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом Тейлора единственно.
№19 слайд
Содержание слайда: Формула Тейлора
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции .
Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.
№20 слайд
Содержание слайда: Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
Тогда
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
№21 слайд
Содержание слайда: Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)
Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
№22 слайд
Содержание слайда: Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
выполняется условие
при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
№23 слайд
Содержание слайда: Разложение
Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:
Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции
№24 слайд
Содержание слайда: Разложение в ряд синуса.
Вычислим производные синуса:
№25 слайд
Содержание слайда: Продолжение
Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.
№26 слайд
Содержание слайда: Разложения некоторых функций в ряд Тейлора
При решении задач удобно пользоваться разложениями:
1.
2.
3.
№27 слайд
Содержание слайда: Продолжение
Геометрическую прогрессию мы получили выше:
4.
Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд:
5.
№28 слайд
Содержание слайда: Биномиальный ряд
6.
7.
Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).
№29 слайд
Содержание слайда: Пример
Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию
Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом.
, где
№30 слайд
Содержание слайда: Применение степенных рядов
№31 слайд
Содержание слайда: Приближенное вычисление интегралов
Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001
№32 слайд
Содержание слайда: Решение
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
№33 слайд
Содержание слайда: Продолжение
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
№34 слайд
Содержание слайда: Продолжение
Вычислив еще несколько членов ряда
видим, что
Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:
№35 слайд
Содержание слайда: Приближенное вычисление значений функций
Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем
Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и
№36 слайд
Содержание слайда: Продолжение
Получим
Скачать все slide презентации Степенные ряды. (Лекции12-14) одним архивом:
