Презентация Текстовые задачи. ЕГЭ-2014. В-14 онлайн

Содержание слайда: Текстовые задачи ЕГЭ-2014 В-14

Содержание слайда: I. Задачи на движение 1. Движение по прямой дороге 2. Движение по замкнутой дороге 3. Движение по реке 4. Движение протяженных тел 5. Средняя скорость

Содержание слайда: Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле: S = v ∙ t , где S – расстояние, пройденное телом; v – скорость движения тела; t – время движения тела. Отсюда t = S : v и v = S : t Важно! Указанные величины должны быть в одной системе единиц.

Содержание слайда: Движение по прямой дороге Пример 1. Поезд, пройдя 450 км, был остановлен из-за снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив скорость поезда на 15 км/ч, привел его на станцию без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда, если путь, пройденный им до остановки, составил 75% всего пути.

Содержание слайда: Движение по замкнутой дороге

Содержание слайда: Пример 2. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 2 мин быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник проходит круг? Решение. Пусть x мин и y мин – время, за которое проходит круг первый и второй лыжники соответственно. Из первого условия получаем уравнение y – x = 2. Из второго условия получим . Решим систему уравнений , сделаем подстановку у = х + 2, получим х2 + 2х – 120 = 0, х =10, значит у = 12 Ответ: 10мин, 12мин.

Содержание слайда: Движение по реке Если объект движется по течению реки, то его скорость равна vпо теч. =vсоб. +vтеч. Если объект движется против течения реки, то его скорость равна vпротив теч. = v соб. - vтеч. Собственная скорость объекта (скорость в неподвижной воде) равна vсоб. = ( vпо теч. + vпр. теч.):2 Скорость течения реки равна v теч. = (vпо теч. - vпр. теч.) : 2 Скорость движения плота равна скорости течения реки.

Содержание слайда: Пример 3. Катер спустился вниз по течению реки на 50 км, а затем прошел в обратном направлении 36 км, что заняло у него на 30 минут больше времени, чем по течению. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 4км/ч? Решение Пусть собственная скорость катера равна х км/ч, тогда его скорость по течению реки равна (x + 4) км/ч, а против течения реки (x - 4) км/ч.

Содержание слайда: Пример 4. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км, а против течения 48км, затратив на весь путь столько времени, сколько надо на прохождение 90 км по озеру. Найдите собственную скорость лодки, если скорость лодки равна 3 км/ч. Решение. Пусть собственная скорость лодки составляет х км/ч. Составим таблицу.

Содержание слайда: Движение протяженных тел Пример 5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 500 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам 33 секундам. Ответ дайте в метрах.

Содержание слайда: Средняя скорость Чтобы найти среднюю скорость движения объекта, необходимо все пройденное расстояние разделить на общее время движения. Пример 6. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 90 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть автомобиль проехал S км со скоростью 60 км/ч, S км со скоростью 90 км/ч и S км со скоростью 45км/ч. Всего автомобиль проехал 3S км и затратил на это =. Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути vср =3S : = 60 (км/ч). Ответ: 60.

Содержание слайда: II. Задачи на работу Задачи на работу аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. В задачах на работу обычно используют три величины: время t , в течение которого производится работа; производительность N – работа, произведенная в единицу времени; объем работы A , произведенный за время t . Указанные величины связаны формулой: A ∙ N=t . Отсюда N= и t= . Все величины (объем работы, производительность, время) считаются положительными.

Содержание слайда: К задачам на работу относят также задачи на заполнение резервуаров. В качестве произведенной работы рассматривают объем перекаченной жидкости. К задачам на работу относят также задачи на заполнение резервуаров. В качестве произведенной работы рассматривают объем перекаченной жидкости. Время и объем работы (при постоянной производительности) – прямо пропорциональные величины: Производительность и объем работы (при постоянном времени) – прямо пропорциональные величины: Производительность и время (при постоянном объеме работы) – обратно пропорциональные величины:

Содержание слайда: Явный объем работы Пример 1. Одна тракторная бригада должна была вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй бригады, первая всё же закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно? Решение. Так как 35% = 0,35 , то вторая бригада должна вспахать на 0,35∙ 240 = 84 (га) больше, чем первая, то есть вспахать всего 240 + 84 = 324 (га). Пусть первая бригада вспахивает x гектаров ежедневно.

Содержание слайда: Составим таблицу

Содержание слайда: Вторая бригада на выполнение работы тратит на 2 дня больше, чем первая бригада. Вторая бригада на выполнение работы тратит на 2 дня больше, чем первая бригада. Составим уравнение:   х2 - 39x +360 = 0 . x1 = 24 и x2 = 15 . Если первая бригада ежедневно вспахивала 24 га, то вторая бригада 24+3=27 (га); Если первая бригада ежедневно вспахивала 15 га, то вторая бригада 15 + 3 = 18 (га). Ответ: 24 га; 27 га или 15 га; 18 га.

Содержание слайда: Неявный объем работы Рассмотрим задачи, в которых объем работы не указывается и не является искомым. Объем всей работы, который должен быть выполнен, принимается за единицу. Пример 8. Аквариум наполняется водой через две трубки за 3 часа. За сколько часов может наполниться аквариум через первую трубку, если для этого потребуется на 2,5 ч меньше, чем для наполнения аквариума через вторую трубку?

Содержание слайда: Решение. Примем объем аквариума за1. Пусть аквариум наполняется через одну первую трубку за х часов. Составим таблицу и найдем производительности (пропускную способность) трубок.

Содержание слайда: Последнее уравнение имеет один положительный корень x = 5 . Последнее уравнение имеет один положительный корень x = 5 . Значит, аквариум наполняется через одну первую трубку за 5 часов. Ответ: 5 часов.

Содержание слайда: Пример 9. Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обрабатывает задачу за 2 ч. 24 мин. Если оператор проработает 2 ч, а ученик 1 ч, то будет выполнено всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи? Решение. Обозначим производительность (часть работы, выполненная за 1час) оператора и ученика соответственно через x и y . Весь объем работы примем за единицу, тогда оператору и ученику в отдельности на обработку задачи потребуется соответственно часов и часов.

Содержание слайда:

Содержание слайда: III. Задачи на проценты 1. Части и проценты 2. Процентное сравнение величин 3. Сложные проценты

Содержание слайда: 1. Части и проценты Чтобы найти проценты от данного числа, надо: а) выразить проценты в виде дроби; б) умножить данное число на эту дробь. (а составляет р% от b)=>а =

Содержание слайда:

Содержание слайда: 2. Процентное сравнение величин При сравнении двух величин за 100% принимается та, с которой производится сравнение. В задачах на проценты сначала следует понять, какая величина принимается за 100%. Пример 11. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

Содержание слайда: Решение. Пусть назначенная цена книги составляет х рублей, тогда книгу продали за 0,9х рублей, что составляет 108% от первоначальной цены книги в у рублей (100%). Решение. Пусть назначенная цена книги составляет х рублей, тогда книгу продали за 0,9х рублей, что составляет 108% от первоначальной цены книги в у рублей (100%). Из пропорции найдем первоначальную цену книги y = рублей. Из пропорции находим, что назначенная цена х рублей составляет z =120%. Значит, магазин предполагал получить прибыль 120 -100 = 20(%) . Ответ: 20%.

Содержание слайда: 3. Сложные проценты При неоднократном процентном изменении величины удобно использовать формулу «сложных» процентов. Формула «сложных» процентов для двукратного изменения выглядит так: A2 = A0 (1± 0,01p1)(1± 0,01p2 ) , где A0 - первоначальное значение величины А, A2 - новое значение величины А после ее двукратного процентного изменения, p1 и p2 – проценты изменения величины А. Формула сложных процентов особенно удобна тем, что допускает простое и логичное обобщение в виде увеличения числа сомножителей аналогичного вида для любого нужного числа изменений.

Содержание слайда: Пример 12. Число 240 увеличили на 30%, а затем увеличили на 70%. Найти полученное число. Пример 12. Число 240 увеличили на 30%, а затем увеличили на 70%. Найти полученное число. Решение. Так как 30% = 0,3 и 70% = 0,7, то после первого увеличения имеем 240(1+ 0,3) = 312. После второго увеличения получаем 312(1+ 0,7) + 530, 4 . Краткая запись: 240(1+ 0,3)(1+ 0,7) = 530, 4. Ответ: 530,4. Пример 13. Зарплата служащего составляла 2000 у.е. Затем зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%. Сколько стал получать служащий? Решение. Так как 20% = 0, 2 , то имеем 2000(1+ 0,2)(1- 0, 2) =1920. Ответ: 1920 у.е.

Содержание слайда: Пример 14. Зарплата служащего составляла 2000 у.е. Затем зарплату понизили на 20%, а вскоре повысили на 20%. Сколько стал получать служащий? Пример 14. Зарплата служащего составляла 2000 у.е. Затем зарплату понизили на 20%, а вскоре повысили на 20%. Сколько стал получать служащий? Решение. Так как 20% = 0, 2 , то имеем 2000(1- 0,2)(1+ 0, 2) =1920. Ответ: 1920 у.е. Пример 15. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии? Решение. Обозначим через a часть, на которую увеличилась стипендия во втором полугодии, через x первоначальную стипендию. Так как 10% = 0,1 и 32% = 0,32, то получаем уравнение x(1+ 0,1)(1+ a) = x(1+ 0,32) или 1,1(1+ a) =1,32. Далее имеем 1+ a = 1, 2; a = 0, 2. Значит, во втором полугодии стипендия увеличилась на 20%. Ответ: 20%.

Содержание слайда: Пример 16. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года – 726 изделий. Пример 16. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года – 726 изделий. Решение. Обозначим через a часть, на которую увеличивался выпуск продукции каждый раз. Тогда имеем уравнение 600(1+ a)(1+ a) = 726. Далее получаем (1+a)2 = ; (1+ a)2 = 1,21; 1+ a = 1,1; a = 0,1. Значит, завод дважды увеличивал выпуск продукции на 10%. Ответ: 10%.

Содержание слайда: Пример 17. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 682 рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? Пример 17. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 682 рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? Решение. Обозначим через x – часть, на которую банк повышает сумму вклада. Тогда через два года на счету клиента А. будет 6200(1+ x)(1+ x) рублей, а у клиента Б. через год – 6200(1+ x) рублей. Согласно условию задачи составим уравнение 6200(1+ x)2 = 6200(1+ x) = 682 , 100(1+ x)2 -100(1+ x) – 11= 0 . Сделаем замену 100(1+ x) = t , тогда уравнение примет вид - t - 11 = 0 или t2 -100t -1100 = 0 . Находим корни t1=110 и t2 = -10 последнего уравнения. Для положительного корня рассмотрим уравнение 100(1+ x) =110 . Отсюда x = 0,1. Следовательно, банк начисляет 10% годовых по вкладам. Ответ: 10%.

Содержание слайда: Пример 18. Начальный капитал акционерного общества составляет 15 миллионов рублей. Пример 18. Начальный капитал акционерного общества составляет 15 миллионов рублей. Ежегодно капитал увеличивался на 25%. Найдите минимальное количество лет, после которых капитал акционерного общества превысит 45 миллионов рублей. Решение. Так как 25% = 0,25, то имеем неравенство 15(1+ 0, 25)n > 45, где через n обозначено искомое количество лет. Решаем неравенство 1, 25n > 3. Так как 1, 254 < 3 и 1, 255 > 3 ,то n = 5. Ответ: 5 лет.

Содержание слайда: IV. Задачи на концентрацию Основной принцип решения задач на концентрацию заключается в определении массы «сухого вещества» в данной массе раствора.

Содержание слайда: Пример 19. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Пример 19. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Решение. 1) 120 + 480 = 600 (г) – масса нового раствора. 2) 0,8∙120 = 96 (г) – масса безводной соли в первом растворе. 3) 0, 2 ∙ 480 = 96 (г) – масса безводной соли во втором растворе. 4) 96 + 96 = 192 (г) – масса безводной соли в новом растворе. 5) 192 : 600 ∙100 = 32 (%) – процентное содержание соли в новом растворе. Ответ: 32%.

Содержание слайда: Пример 20. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй – 70% кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% раствора кислоты? Пример 20. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй – 70% кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% раствора кислоты? Решение. Пусть для получения нового раствора необходимо взять x литров первого раствора, а значит, и (100 - x) литров второго раствора. Так как 20% = 0, 2 и 70% = 0,7 , то первый раствор содержит 0,2x л кислоты, а второй раствор 0,7(100 - x) л кислоты. Новый раствор содержит 0,5∙100 = 50 литров кислоты. Используя объем безводной кислоты, составим уравнение 0, 2x + 0,7(100 - x) = 50 . 2x + 7(100 - x) = 500 . 2x + 700 - 7x = 500 . -5x = -200 . x = 40 . Итак, необходимо взять 40 литров первого раствора и 100 - 40 = 60 (литров) второго раствора. Ответ: 40 л; 60 л.