Презентация Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач онлайн

Содержание слайда: «Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач» Преподаватель математики Медицинского лицея СГМУ им. В.И. Разумовского Т.В. Маловичкина

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Акцентируем теорию по теме. 1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Ответ: перпендикулярные. 2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости» Ответ: да. 3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Содержание слайда: 4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? 4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой. 5. По рисунку назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной и её проекцию на плоскость α. 6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Содержание слайда: Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Обратно: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции.

Содержание слайда:

Содержание слайда: Iспособ (от противного) Теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Доказательство: Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: Получаем: ОА>OB. Между тем ОА < OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.

Содержание слайда: II способ (свойства равнобедренного треугольника) Доказательство: От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

Содержание слайда: III способ (теорема Пифагора) Доказательство: На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

Содержание слайда: IV способ (векторный) Доказательство: Зададим векторы Умножим обе части на Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: Но и не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

Содержание слайда: Задача № 1 Дано: АВСК –прямоугольник. Доказать:

Содержание слайда: Задача № 2 Дано: Доказать:

Содержание слайда: Задача № 3 Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Содержание слайда: Задача №4 На изображении куба построить несколько прямых перпендикулярных диагонали куба.

Содержание слайда: Задача №154 (Атанасян) Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

Содержание слайда: Задача № 158 Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.

Содержание слайда: Задача №161

Содержание слайда: Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны). Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)? Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)? Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

Содержание слайда: Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)? Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)? Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Содержание слайда: Критерии оценок 7 правильных ответов – «5» 6 правильных ответов – «4» 5 правильных ответов – «3»

Содержание слайда: I уровень.(на «3») Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана. Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)). II уровень ( на «4») Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см. Найти: расстояние от точки К до (АВС). III уровень.( на «5») Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС), <А – меньший, АМ = 20 см. Найти: МЕ.

Содержание слайда: Подведение итогов. Дано: AD┴ (АВС), Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте.

Содержание слайда: