Презентация Теоремы дифференциального исчисления. Тема 10 онлайн

Содержание слайда: Раздел V. Дифференциальное исчисление Теоремы Ролля Теорема Лагранжа Правило Лопиталя

Содержание слайда: Теорема Ролля Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция непрерывна на отрезке   ; дифференцируема на интервале  ; на концах отрезка  принимает равные значения   . Тогда на интервале    найдется, по крайней мере, одна точка   , в которой  Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля) Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Следствие. Если   , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Содержание слайда: Пример 1. Покажем, что функция    на отрезке   удовлетворяет теореме Ролля, и найдем соответствующее значение c. Пример 1. Покажем, что функция    на отрезке   удовлетворяет теореме Ролля, и найдем соответствующее значение c. Решение: 1) функция    непрерывна и дифференцируема на заданном интервале;    значит, на отрезке    теорема Ролля применима для данной функции. Для нахождения  c составим уравнение:    , Значит,     ;    ; но отрезку принадлежит лишь  , поэтому    .

Содержание слайда: Теорема Лагранжа Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях) Пусть функция непрерывна на отрезке   ; дифференцируема на интервале  .  . Тогда на интервале    найдется, по крайней мере, одна точка   , такая, что Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда  Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа) На кривой    между точками a и b  найдется точка такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде AB (см.рис.). Формулой Лагранжа может быть переписана в виде:

Содержание слайда: Пример 2. Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа для функции   на отрезке   и найдем соответствующее значение c. Пример 2. Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа для функции   на отрезке   и найдем соответствующее значение c. Решение: 1) Функция    непрерывна и дифференцируема на заданном интервале, поэтому теорема Лагранжа применима. 2) Найдем     ;  3) Cоставим уравнение:  ; ,     . 4) Отрезку    принадлежит   , значит,    .

Содержание слайда: Правило Лопиталя Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида (0/0), (∞⁄∞). К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности (0·∞)  и (∞-∞). Формулировка : Если  , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки  x0, то  . В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Содержание слайда: Пример 5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя  Пример 5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя  Решение. Подставляем значение Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя: Ответ: