Презентация Теоремы о пределах функции и о непрерывных функциях. Асимптотические приближения. Точки разрыва. (Лекция 4) онлайн

Содержание слайда: Лекция 4. Основные теоремы о пределах функции. Асимптотические приближения. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о пределах

Содержание слайда: Из равенства (2) вытекает, что сумма f(x)+g(x)-h(x) отличается от A+B+C на бесконечно малую функцию и следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем Из равенства (2) вытекает, что сумма f(x)+g(x)-h(x) отличается от A+B+C на бесконечно малую функцию и следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем (3). Теорема доказана. Следствие Функция может иметь только один предел при . Действительно, если и при , то на основании теоремы 1 получим при . Так как предел постоянной функции равен самой функции и единственен, то имеем A-A’=0, то есть A=A’. Замечание В условии теоремы предполагалось, что каждая из функций имеет предел и доказывалось, что их сумма также имеет предел. Обратное в общем случае неверно, то есть из существования предела суммы не следует существование пределов слагаемых. Пример ,тогда как не существует и не существует

Содержание слайда: Теорема 2 Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при . существует и равен произведению пределов сомножителей. Доказательство Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей f(x)g(x) и пусть , .Имеем (4),где ,при . Отсюда получаем (5),где (6). Из основных теорем о бесконечно малых (теорема 1,2,3) следует, что при .Поэтому на основании равенства (5) будем иметь (7). 2)Рассмотрим случай произведения трех функций f(x)g(x)h(x), имеющих конечные пределы при . Используя первую часть доказательства находим Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть С – постоянная функция, тогда

Содержание слайда: Следствие 2 Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при , то придел целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть Пример Лемма Пусть при . Тогда обратная по величине функция ограничена в некоторой окрестности точки а. Доказательство Положим . На основании определения предела функции имеем ,при . Отсюда получаем при . Таким образом, . Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при , отличный от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, то есть (8).

Содержание слайда: Доказательство Доказательство Пусть Тогда на основании леммы и учитывая, что произведение ограниченной функции на бесконечно малую функции, есть бесконечно малая функция, будем иметь при . Отсюда получаем Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть (9). Доказательство Пусть . Тогда, используя теорему о пределе произведения (теорема 2) и теорему о пределе обратной величины функции (теорема 3), получим Пример

Содержание слайда: Теорема 5 Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при и (n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то (10) Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, если даже она ограничена. Укажем два признака существования предела функции. Теорема о промежуточной функции Пусть в некоторой окрестности точки а функции f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то есть (1) и (2), тогда функция f(x) имеет тот же предел, то есть (3). Доказательство Из неравенства (1) имеем , отсюда (4). На основании условия (2) для , что и при (5). Поэтому из неравенства (4) получаем при . (6) Определение 1.Функция f(x) называется возрастающей (не убывающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно .

Содержание слайда: 2.Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно . 2.Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно . 3.Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве Х. Теорема Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x<a и x>a. Тогда существует соответственно левый предел и правый предел ее . Если = , то функция имеет предел в точке а.

Содержание слайда: Первый замечательный предел Первый замечательный предел (предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге) Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть (1) Доказательство Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат то есть или . В силу четности функций и это неравенство справедливо и для интервала . Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в силу непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство получим что равносильно .

Содержание слайда: Второй замечательный предел Второй замечательный предел Рассмотрим выражение , где n – натуральное число. Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем . Получим следующий результат Как видно из таблицы при увеличении n выражение изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Теорема Последовательность стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3. (Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак ,е=2,7182818284… Рассмотрим функцию ,где Можно доказать, что Другое выражение для числа е. Полагая будем иметь .

Содержание слайда: При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: ; ; . Данные формулы легко получаются из двух основных формул. Понятие об асимптотических формулах Пусть -функции определенные в окрестности точки а. Обобщая определение о бесконечно малой функции будем говорить, что при (1). если где при (2). Если в некоторой окрестности точки а, то из (2) имеем (3). Определение Если при справедливо равенство (4), то функция называется асимптотическим выражением для функции f(x) при . Используется запись при .Если , то при из формулы (4) получаем (5). Выясним условие существования для функции f(x) ненулевого асимптотического приближения при (6).

Содержание слайда: Пусть (7) где при , то есть при Пусть (7) где при , то есть при ,причем очевидно также, что при .Их (7) будем иметь (8) Переходя к пределу при в равенстве (8) и учитывая, что при получим (9).Из формулы (7) (10). Обратно, если существуют пределы (9),(10), из которых хотя бы один не нулевой, то справедливо асимптотическое разложение (7). График линейного асимптотического разложения y=kx+b называется асимптотой кривой y=f(x) и имеет вид: Здесь для точек M(x,y) и M’(x,Y) при

Содержание слайда: Пример Пример Построить при линейную асимптотическую формулу для функции Решение Используя формулы (9),(10) имеем Таким образом ~ при . Непрерывность функции Приращение аргумента и функции. Пусть х– некоторое значение данной переменной величины. Наряду с х рассмотрим и другое значение этой переменной величины . Определение 1 Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым значением этой величины и ее прежним значением. В нашем случае

Содержание слайда: Обозначение - приращение величины х. Обозначение - приращение величины х. Прибавляя к значению переменной величины ее приращение, получаем приращенное значение этой величины. -приращенное значение величины х. Рассмотрим функцию y=f(x) (1) Даём для х, тогда y получает соответствующее приращение . Очевидно это можно записать (2). Из (1) и (2) следует (3). Геометрическая интерпретация Кривая АВ – график функции f(x).

Содержание слайда: Рассмотрим точку M(x,y). Даем приращение координате х - .Тогда ордината y получит приращение . Точка M(x,y) займет положение . Рассмотрим точку M(x,y). Даем приращение координате х - .Тогда ордината y получит приращение . Точка M(x,y) займет положение . Пусть С – точка пересечения прямой параллельной ОХ и перпендикуляра M’N’ на ОХ. Очевидно . Может случиться, что для некоторого х при стремлении точка M’ неограниченно приблизится к М, то есть . В таком случае y=f(x) называется непрерывной при данном значении х. Определение 2 Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Используя понятие предела функции, получаем развернутое определение непрерывности функции в точке. Определение 3 Функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда , такое, что (4),если и , любое допустимое приращение.

Содержание слайда: Определение 4 Определение 4 Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве Х, если 1)она определена на этом множестве, то есть 2) непрерывна в каждой точке этого множества, то есть справедливо равенство (5), где . Пример Исследовать на непрерывность функцию Решение Давая х приращение , получим Очевидно, каково бы ни было фиксированное значение х, если ,то ,то есть функция непрерывна при любом Определение 5 Точка, в которой нарушается непрерывность функции называется точкой разрыва этой функции. Если -точка разрыва функции y=f(x), то возможны два случая: 1) функция f(x) определена при ,причём при

Содержание слайда: 2) функция f(x) не определена при и говорить о приращении функции в точке 2) функция f(x) не определена при и говорить о приращении функции в точке не имеет смысла . В этом случае условимся называть точкой разрыва функции f(x) только тогда, когда функция f(x) определена в непосредственной близости значения . Если можно изменить или дополнительно определить функцию f(x) в точке ,то есть выбрать число , так, что измененная или дополненная функция f(x) будет непрерывна при ,то эта точка называется устранимой точкой разрыва функции f(x). В противном случае, то есть когда функция f(x) остается разрывной при при любом выборе числа значение называется неустранимой точкой разрыва функции f(x). Пример 1 Рассмотрим функцию Е(х), равную целой части числа х, то есть, если x=n+q, где n – целое число, , то E(x)=n

Содержание слайда: Так Функция Е(х) разрывная при каждом целочисленном значении аргумента х. Действительно при x=1 и достаточно малом получаем Отсюда, приняв во внимание, что E(1)=1 получим

Содержание слайда: Следовательно, приращение функции не стремится к нулю при Следовательно, приращение функции не стремится к нулю при то есть функция разрывная при х=1. Аналогичное рассуждение можно провести и для x=k, где k -целое. Пример 2 Функция , не определена при х=2, но имеет смысл для всех значений Какое бы значение не приписывали числу f(2), всегда будем иметь при . Таким образом, при х=2 при любом выборе значения f(2) при , следовательно, эта функция имеет неустранимую точку разрыва при х=2.

Содержание слайда: В виду важности понятия непрерывности функции приведем другое определение непрерывности функции в точке, эквивалентное, приведенному выше. В виду важности понятия непрерывности функции приведем другое определение непрерывности функции в точке, эквивалентное, приведенному выше. Определение 6 Функция f(x) называется непрерывной при , если эта функция определена при ; имеет место равенство (1). То есть функция непрерывна в данной точке , тогда и только тогда, когда предел функции при равен значению функции в предельной точке. Точка - предельная точка области определения функции f(x). Для функции, непрерывной на множестве Х, в силу формулы (1) для каждого значения выполнено неравенство Так как ,то отсюда получаем (2) , то есть , если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановочны. Справедливо усиленное свойство перестановочности функции f(x) и предела, а именно - непрерывная функция при , тогда для f(x) имеем

Содержание слайда: Основные теоремы о непрерывных функциях Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема 1 Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Доказательство Пусть - непрерывные функции на множестве Х и , тогда , то есть предел суммы при равен значению этой суммы при . Следовательно также непрерывная на множестве Х. Теорема 2 Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Доказательство аналогично доказательству в теореме 1. Следствие Полином - непрерывная функция. Теорема 3 Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от 0. Доказательство аналогичное.

Содержание слайда: Следствие Следствие Дробно-рациональная функция непрерывна всюду за исключением тех значений х, где знаменатель обращается в 0. Теорема 4 Непрерывная функция от непрерывной функции также непрерывна. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна. Доказательство Пусть и - определена в этой точке, причем непрерывная в точке , а f(u) непрерывная в точке . На основании усиленного свойства перестановочности функции и предела имеем , то есть непрерывная в точке . Пример Функции и - непрерывные в силу непрерывности функций sinx и Теорема 5 Если функция y=f(x) непрерывная и строго монотонная на интервале (a,b), то существует однозначная обратная функция , определенная на интервале (f(a),f(b)), которая также непрерывная и монотонная.

Содержание слайда: Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенностей Может случиться, что f(x) определена и непрерывная всюду, за исключением некоторого значения , при котором функция f(x) теряет смысл, то есть становиться неопределенной. Каким образом можно выбрать число . Чтобы дополненная функция была непрерывной при . Для этого необходимо и достаточно выполнение равенства . Операция нахождения предела функции f(x) при в этом случае называется раскрытием неопределенности, а сам предел, если он существует носит название истинного значения функции f(x) при Пример при х=2 функция не определена. Полагая, дополнительно получим функцию непрерывную всюду, в том числе и при х=2. Если же положить ,то то соответствующая функция будет разрывная при х=2.

Содержание слайда: Классификация точек разрыва Классификация точек разрыва Определение Точка разрыва функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции При этом f(x) не обязательно должна быть определена в точке , то есть может не существовать - называется скачком функции f(x) в точке Все прочие точки разрыва функции f(x) называются ее точками разрыва второго рода. Точки бесконечного разрыва характеризуются тем, что для них существуют односторонние пределы

Содержание слайда: хотя бы один из которых, является бесконечным. В этом случае прямая называется вертикальной асимптотой графика функции f(x)