Презентация Векторы. Скаляры. Понятие вектора онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Векторы. Скаляры. Понятие вектора абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 31 слайд. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Презентации » Математика » Векторы. Скаляры. Понятие вектора
Оцените!
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:31 слайд
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:583.17 kB
- Просмотров:93
- Скачиваний:3
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№2 слайд
![Скаляры. Понятие Вектора. Мы](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img1.jpg)
Содержание слайда: Скаляры. Понятие Вектора.
Мы знаем, что есть 2 вида величин. Например, длина, площадь,
объем, масса и прочие полностью определяются заданием своих
численных величин. Такие величины называются скалярными вели-
чинами или просто скалярами.
Но многие физические величины, например, сила, давление, скорость,
перемещение и т.д. характеризуются не только своим числовым
Значением, то и направлением в пространстве. Такие физические
Величины называются векторными величинами или просто
Векторами. Например, если на какое-либо тело воздействовать
определенной силой, то эта сила изображается направленным
отрезком. (см рис. на след.слайде) Длина отрезка соответствует численной величине силы, а
стрелка указывает на направление воздействия силы.
№4 слайд
![Векторы в геометрии](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img3.jpg)
Содержание слайда: Векторы в геометрии
Аналогично можно ввести понятие геометрического вектора. В
отличие от физических векторов, векторы в геометрии не имеют
конкретной природы (т.е. не выражают силу, скорость и т.п.). Геометри-
ческие векторы рассматриваются просто как «направленные отрезки».
Любой направленный отрезок называется вектором.
В геометрии также рассматривают вектор, в котором начало и конец
совпадают. Такой вектор называется нулевым вектором. Отсюда
следует,что любую точку плоскости можно рассматривать как нулевой
вектор. Нулевой вектор обозначается так: 0
№5 слайд
![Начало и конец вектора Любой](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img4.jpg)
Содержание слайда: Начало и конец вектора
Любой отрезок имеет 2 конца. Назовем один из этих концов
начальной точкой, или началом, а другой – концом и будем считать,
что отрезок направлен от начала к концу. Конец вектора изображается
стрелкой.
A а B
Векторы можно обозначать двумя заглавными латинскими буквами (AB) или одной строчной (а)
№6 слайд
![Равенство векторов Длину](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img5.jpg)
Содержание слайда: Равенство векторов
Длину отрезка АВ называют модулем вектора AB и обозначают
так: |AB|. Аналогично, модуль (длина) вектора a также записывают
через |a|. Например, |АВ|=3, |а|=7.
Если отрезок АВ лежит на примой а, то говорят, что вектор АВ также
лежит на прямой а.
Если 2 вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых,
то такие векторы называются коллинеарными. Коллинеарность
векторов а и b записывают так a||b. (см рис. 1 на след. слайде)
№8 слайд
![Если векторы а и b лежат на](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img7.jpg)
Содержание слайда: Если векторы а и b лежат на перпендикулярных прямых, то их
называют перпендикулярными (ортогональными) векторами и
записывают а ⊥ b. (см рис. 2)
Если коллинеарные векторы имеют одинаковые направления, то их
называют сонаправленными векторами. Сонаправленность векторов
а и b записывают так: a b. Если векторы с и d коллинеарны и имеют
разные направления, то их называют противоположно
направленными и записывают так: c d. (см рис. 3)
№10 слайд
![Свойства равных векторов](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img9.jpg)
Содержание слайда: Свойства равных векторов
Теорема. Равные векторы можно совместить параллельным
переносом, и, обратно, если векторы совмещаются парллельным
переносом, то эти векторы равны.
Доказательство. Пусть векторы АВ и CD равны (см. рис. на след. слайде). Тогда
по определению |AB|=|CD| и AB CD, т.е. четырехугольник ABCD является
параллелограммом, т.к. противоположные стороны АВ и CD параллельны
и равны. Следовательно, АС=BD и AC||BD, т.е. АС=BD. Это значит, что
векторы AB и CD можно совместить параллельным переносом. При этом
точка А переходит в точку С, а точка В переходит в точку D.
Обратно, пусть векторы АВ и СD совмещаются некоторым параллельным
переносом и при этом точка А переходит в точку С, а точка В – в D. Тогда
по определению параллельного переноса АС=BD и AC||BD, т.е. ABCD –
параллелограмм. Следовательно, AB||CD |AB|=|CD|. Так как при парал-
лельном переносе начало вектора АВ переходит в начало CD, а конец AB-
в конец CD, то AB CD, т.е. AB=CD.
Ч.Т.Д.
№14 слайд
![Правило параллелограмма](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img13.jpg)
Содержание слайда: Правило параллелограмма
Правило параллелограмма
Пусть даны векторы а и b. Отметим на плоскости точку А и отложим от
этой точки вектор АВ, равный вектору а, и вектор АD, равный вектору b.
Из этого достроим параллелограмм АВСD так, что АВ=DС, а АD=ВС.
Построим вектор АС, который будет также являться диагональю АВСD, и
будет суммой векторов а и b.
№15 слайд
![Свойства сложения векторов](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img14.jpg)
Содержание слайда: Свойства сложения векторов
Теорема 1. Для любых векторов a, b и c верно:
1) а+b=b+a (переместительный закон);
2) (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон).
Доказательство. 1) Пусть векторы а и b не коллинеарны. От
некоторой точки А плоскости отложим векторы АВ=а и AD=b. (рис 1)
Тогда получим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС=АВ+ВС=
=а+b. Аналогично, АС=AD+DC=b + a. Следовательно, а + b = b + а.
2)Отметим точку A на плоскости и отложим векторы AB = a, BC = b и CD = c (рис 2 на след слайде). Тогда (a + b) + c=(AB + BC) +CD = AC + CD = AD.
С другой стороны, a + (b + c) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD. Отсюда имеем (a + b) +c =
а + (b + c)
Ч.Т.Д.
№17 слайд
![Разность векторов Разностью](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img16.jpg)
Содержание слайда: Разность векторов
Разностью векторов а и b называется вектор, который в сумме с вектором
b равен вектору а. Разность векторов а и b обозначается так: а – b.
От некоторой точки О откладываем векторы ОА=а, ОВ=b. Тогда вектор
ВА равен разности a – b. Так как ОА=ОВ+ВА, то ВА=ОА-ОВ= а – b.
a A
a
O b B
b
№18 слайд
![Умножение вектора на число](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img17.jpg)
Содержание слайда: Умножение вектора на число
Произведением вектора а≠0 на число k называется вектор, модуль
которого равен числу |k| • |a| и сонаправлен с вектором а при k >0,
противоположно направлен с вектором а при k < 0. Произведение числа
k на вектор а записывают так: k • а.
Если k=0, то 0 • а = 0.
Теорема. Для любых чисел α, β и любых векторов а, b верно равенство:
1. (α • β)а = а(βα ) (сочетательный закон);
2. (α+β)а = αа + βа ( I распределительный закон);
3. α(а+b) = αa + αb ( II распределительный закон).
Доказательство 1. Если αβ >0, т.е. числа α и β имеют одинаковые знаки,
то вектор (α • β)а и а; α(βа) и а сонаправлены, а если числа α и β имеют
разные знаки, то векторы (α • β)а и а; α(βа) и а противоположно
направлены. Поэтому при любых α, β векторы (α • β)а и α(βа)
сонаправлены. Теперь осталось показатать равенство их модулей:
l(α•β)аl=lαβl•lаl=lαl•lβl•lаl и lα(βа)l=lαllβаl=lαl•lβl•lаl.
Следовательно, (α • β)а = α(βа). Ч.Т.Д
№19 слайд
![Признак коллинеарности](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img18.jpg)
Содержание слайда: Признак коллинеарности векторов
Теорема. Чтобы вектор b был коллинеарен ненулевому вектору а,
необходимо и достаточно существование числа α такого, что b= αa.
Доказательство. Если b = αa , то векторы a и b коллинеарны по определению.
Ч.Т.Д
Следствие. Для того, чтобы точка С лежала на прямой АВ, необходимо
и достаточно, чтобы существовало число α такое, что АС= α АВ.
№20 слайд
![Угол между векторами Углом](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img19.jpg)
Содержание слайда: Угол между векторами
Углом между векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между
ненулевыми векторами а и b называется угол, образованный при
откладывании этих векторов от одной точки.
Угол между векторами а и b обозначают через (а , b).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°, а если
векторы противоположно направлены, то угол между ними равен 180 °
№21 слайд
![Скалярное произведение](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img20.jpg)
Содержание слайда: Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению модулей этих векторов на косинус угла угла между ними,
т.е. скалярное произведение векторов равно числу |a| •|b| • cos(a , b).
φ= ( a , b). a • b=|a| • |b| • cos φ.
Скалярное произведение равных векторов называется скалярным
квадратом этого вектора и обозначается через а².
= а • а = |a| • |a| • cos0° = | а²|, т.е = |
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. Для любых векторов а и b верно равенство
a • b = b • a
2. Для любых векторов а, b и c любого действительного числа α верно
равенство
(αa) • b = α( a • b)
3. Для любых векторов а, b и с верно равенcтво
( а + b) • c = a • c + b • c
№22 слайд
![Дополноительная информация.](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img21.jpg)
Содержание слайда: Дополноительная информация. История векторов.
Раздел математики, изучающий векторы и действия над ними называется векторной алгеброй.
Основные действия над векторами, изученные нами ранее, составляют основу векторной алгебры.
3 векторных направления : геометрическое, алгебраическое, физическое.
Основатель векторного исчисления-норвежец Каспар Вессель (1745-1818)
Дальнейшее развитие дали англичанин Уильям Гамильтон (1805-1865), основавший алгебру комплексных чисел и другие теории, являющиеся основой векторного исчисления, ввел понятие вектор, и немец Герман Грассман (1809-1877), основавший понятие вектора с геометрической точки зрения независимо от Гамильтона.
№23 слайд
![Разложение вектора по двум](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img22.jpg)
Содержание слайда: Разложение вектора по двум неколлинеарным
Теорема. Если ненулевые векторы а и b не коллинеарны, то для любого
вектора с найдутся числа х и у такие, что выполняется равенство
с = ха + уb,
причем коэффициенты разложения х и у определяются единственным
образом. (рис на след слайде)
Из этой теоремы вытекает, что любой вектор можно разложить по двум
произвольным неколлинеарным векторам. Если на плоскости выбраны
такие 2 неколлинеарных вектора, то они называются базисными
векторами плоскости. Итак, любые 2 неколлинеарных вектора можно
принять в качестве базисных векторов и любой вектор этой плоскости
однозначно разлагается по этим базисным векторам. А действительные
числа х и у называются координатами вектора с в базисе а , b.
№25 слайд
![Координаты вектора в](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img24.jpg)
Содержание слайда: Координаты вектора в прямоугольной системе координат
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Пусть i- единичный
вектор, сонаправленнный с осью Ох, а j – единичный вектор,
сонаправленный с осью Оу. Эти векторы называют координатными
векторами. Так как векторы i и j не коллинеарны, то их можно рассматри-
вать в качестве базисных векторов. Тогда для любого вектора а плоскости
Оху найдутся единственные действительные числа х и у такие, что
а = хi+ yj.
Здесь числа х и у называются координатами вектора а в прямоугольгой
системе координат Оху, и это записывается так: а= (х; у).
№26 слайд
![Свойства координат вектора .](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img25.jpg)
Содержание слайда: Свойства координат вектора
1. У равных векторов соответствующие координаты равны: если
а= (х; у), b= (u; v) и а = b, то х=u и y=v.
Обратно, векторы, у которых соответствующие координаты равны
между собой: если а= ( х; у), b= (u; v) и x= u, y= v, то а=b.
2. При сложении векторов складываются их соответствующие
координаты: если а=(х;у), b=(u;v), то а+b=(x+u; y+v).
3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на
это же число, если а=(х; у) и λ- число, то λ • а =(λ • х; λ • у).
Следствие. Координаты разности векторов равны разности
соответствующих координат этих векторов : если а= (х; у), b= (u; v), то
a – b = (x-u; y-v).
№28 слайд
![Координатный вид](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img27.jpg)
Содержание слайда: Координатный вид коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение угла между векторами.
Если векторы а=(х1;у1) и b=(х2;у2) взаимно перпендикулярны, то (a , b) =
= 90°. Поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. a • b =
= |a| • |b| • cos90° = 0. Тогда имеем: х1х2+у1у2=0.
Это и есть условие перпендикулярности ненулевых векторов.
С помощью формулы а • b = x1 • y2 + x2 • y2 можно найти косинус угла
между векторами а=(х1;у1) и b=(х2;у2). Действительно, их формулы
a • b = |a| • |b| • соs(a , b) находим, что cos(a , b)= a • b
|a| • |b|
Отсюда получим cos(a , b)= x1x2+y1y2
·
№29 слайд
![Уравнение прямой.](/documents_6/89377215d81697ad13825365bbf2b3c4/img28.jpg)
Содержание слайда: Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой.
Уравнение прямой можно задать различными способами. Например, в 8
классе мы определили прямую как серединный перпендикуляр некоторого
отрезка. Теперь определим уравнение прямой с помощью векторов.
Пусть дана точка М0 (х0 ;у0 ) и вектор р = (α;β) (см рис 1 на след слайде). Тогда
через точку М0 параллельно вектору р проходит одна и только одна прямая
l. Точка М0 называется начальной точкой прямой l, а вектор р-
направляющим вектором этой прямой. Если М (х;у) является
произвольной точкой прямой l, то М0М || р. Здесь направляющий вектор р
= (α;β)не параллелен осям координат, т.е. α≠0, β≠0. Используя условие
коллинеарности векторов, р и М0М = (х-х ;у- у ), получим уравнение:
х-х0 у-у0
α β
Скачать все slide презентации Векторы. Скаляры. Понятие вектора одним архивом:
Похожие презентации
-
Определители 2 и 3 порядков. Векторы: основные понятия, линейные операции. Скалярное произведение и его свойства
-
По математике "Скалярное произведение векторов" - скачать бесплатно
-
СКАЛЯРНОЕ ПРОЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Подготовили: Рощупкина Л. И. , Воложанина Т. Н. урок математики 9 класс МБОУ СОШ 96 Г. Барнаул
-
На тему Скалярное произведение векторов 9 класс
-
Скачать презентацию Скалярное произведение векторов
-
Скачать презентацию Скалярное произведение векторов (9 класс)
-
Линейные операции. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Базис векторов. Тема 5
-
Понятие вектора. Равенство векторов
-
Тест по теме: "Скалярное произведение векторов. Теоремы треугольника"
-
Скалярное произведение векторов в координатах